1.3 证明 第2课时教案　　 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

第1章 三角形的初步认识 1.3证明(第2课时)   一、教材分析 本节课内容是三角形初步知识的深化，三角形内角和定理是几何推理的基础，外角性质由内角和定理推导而来，二者是研究三角形及多边形角度关系的关键，为后续学习四边形、圆等知识奠定基础，也能帮助解决生活中诸多角度计算、平行判定等实际问题，是连接理论与实践的重要纽带. 教材先通过作平行线的方法证明三角形内角和为180°，在此基础上，利用内角和定理推导出三角形外角性质(外角等于不相邻两个内角和)，并结合例题(证明两直线平行)展现性质的应用，知识呈现由浅入深，符合学生认知规律，注重培养逻辑推理与知识应用能力.   二、教学目标 1.探索并理解三角形内角和定理的几何证明，理解三角形外角及外角的推论； 2.理解添加辅助线在解决几何问题过程中的重要性，能熟练运用定理和推论进行简单的几何证明与角度计算； 3.在探究推论及应用过程中，提升学生分析问题、解决问题的能力，体会从特殊到一般的思维方法； 4.让学生在几何证明的探究中，感受数学的严谨性与逻辑性，激发对数学学科的学习兴趣，培养勇于探索、敢于质疑、严谨求证的学习态度.   三、教学重难点 重点：探索并理解三角形内角和定理的几何证明，理解三角形外角及外角的推论． 难点：理解添加辅助线在解决几何问题过程中的重要性，能熟练运用定理和推论进行简单的几何证明与角度计算.   四、教学过程 · 情境导入 泰勒斯是古希腊著名的哲学家、数学家，在数学领域有着诸多开创性的贡献.他在游历埃及期 间，被古埃及人精湛的建筑技艺所吸引，在观察金字塔的过程中，他思考着各种几何问题. 当时，人们对几何图形的认识大多停留在直观的观察层面，并没有形成系统的理论.泰勒斯试图用逻辑推理的方式来揭示几何图形的奥秘.他在研究三角形时，发现可以通过一些简单的几何变换来探究内角和的规律，并对三角形内角和进行了初步的论证. 今天让我们跟随古人的步伐，用学过的几何知识，严谨地证明 “三角形三个内角的和等于180°这个结论吧！ 师生活动：老师讲解古希腊著名的哲学家、数学家泰勒斯的有关知识， 学生认真听讲. · 探究新知 　　活动一：探究三角形内角和定理 问题1：除了度量以外，你还有什么办法能验证三角形的内角和为180°呢? 师生活动:学生独立思考，动手操作，教师巡视，选两名学生作答. 答：剪拼 三角形的三个内角拼在一起恰好构成一个平角. 追问：观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗? 答：把三个角凑到一起. 设计意图：通过剪拼，让学生了解到三角形的内角和是180°，同时也能培养学生的独立思考和动手操作能力. 问题2：你能用学过的知识证明命题“三角形三个内角的和等于180°是真命题吗？ 已知：如图，∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° 师生活动：给学生3-5分钟，让其尝试在练习本上证明三角形内角和为180°，教师巡视，观察学生思路.讲解辅助线概念：“为了证明需要，在原图上添加的线叫辅助线，通常画虚线 .过点A作直线MN/BC，大家想想能得到什么结论？” 引导学生利用 “两直线平行，内错角相等”，得出∠B=∠MAB，∠C=∠NAC . 分析：可以把三个角“凑”到A处，过点A作直线BC的平行线MN. 注意：这里的MN称为辅助线，辅助线通常画成虚线. 证明：如图，过点A作直线MN/BC， 则∠B=∠MAB(两直线平行，内错角相等). 同理，∠C=∠NAC. 故∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠MAB+∠NAC=180°（将三角形三个内角转化为一个平角） 添辅助线的过程要写入证明中 问题2：你还有其他证明方法吗? 师生活动：教师提问还有其他方法吗？鼓励学生分享不同作辅助线的方法，拓宽思维.学生小组谈论，举手回答问题. 证明2：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB， 则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等) ∠2=∠B(两直线平行，同位角相等) 因为∠1+∠2+∠ACB=180° 所以∠A+∠B+∠ACB=180° 问题4：你还能想到其他证法吗? 证明3：在BC上任取一点D，过D作DE//AB，作DF//AC，分别交AB，AC于点F，E 所以∠1=∠C，∠2=∠B，∠DEC=∠A (两直线平行，同位角相等)， ∠3=∠DEC(两直线平行，内错角相等)， 所以∠3=∠A， 因为∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠A+∠B+∠C=180°. 归纳：关于辅助线： ①辅助线是为了证明需要在原图上添画的线； ②添加辅助线的过程需要写入证明中，通常画成虚线； ③它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用； ④添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定，平时做题时要注意总结. 活动二：探究三角形的外角 师生活动：展示教材图，指出∠ACD是△ABC的外角，讲解外角定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角.让学生找一找身边三角形的外角，加深概念理解. 如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角. 注意： 1 三角形的外角与和它相邻的内角互补； ②一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角.如图，△ABC的顶点C处的外角有两个，分别为么∠ACD，∠BCE. ③三角形的外角共有6个. 问题5：三角形的外角与和它不相邻的两个内角有什么关系呢? 师生活动：提问：“结合三角形内角和定理，大家能推出外角∠ACD与内角∠A、∠B的关系吗?”引导学生利用∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，通过等式变换得出∠ACD=∠A+∠B，总结出三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 分析：由∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180° 得∠ACD=∠A+∠B. 总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 注意：这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论.推论也可以作为推理的依据. 追问：还能得出什么结论？ 因为∠ACD=∠A+∠B， 所以∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 总结：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 证明几何命题时，表述格式一般是： (1)按题意画出图形.(标上必要的字母) (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论.(用字母、符号表示命题的条件和结论) (3)在“证明”中写出推理过程. · 应用新知 例1． 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE. 分析：要证明AB∥DE，根据平行线的判定方法，需要一条截线，即与AB，DE都相交的直线.如图，延长BC，交DE于点F.只要证明∠B=∠CFD，或∠B+∠BFE=180°，就能证明AB∥DE. 证明：如图，延长BC，交DE于点F. 因为∠BCD是△DCF的外角， 所以∠BCD=∠D+∠CFD (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和). 又因为∠B+∠D=∠BCD(已知)， 所以∠B+∠D=∠D+∠CFD， 即∠B=∠CFD. 所以AB//DE(内错角相等，两直线平行). 追问：还有其他证明方法吗？ 证明：过点C做直线CF，使得CF//AB. 所以∠B=∠BCF (两直线平行，内错角相等) 因为∠BCD=∠B+∠D(已知) 且∠BCD=∠BCF+∠DCF. 所以∠B+∠D=∠BCF+∠DCF=∠B+∠DCF 即∠D=∠DCF. 所以CF//ED(内错角相等,两直线平行) 所以AB//ED(两条直线分别平行于第三条直线，两直线平行) 总结：辅助线把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来. 例2．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线. (1)若∠BED=46°，∠BAD=25°，求∠ABC的大小； (2)若△ABC的面积为30，BD=5，求AF的长. 分析：(1)由三角形的外角性质得到∠ABE=∠BED-∠BAD=21°，由角平分线定义得到∠ABC=2∠ABE=42°; (2)由三角形的中线得到BC=2BD=10，由三角形的面积公式得到△ABC的面积=BC·AF=30，即可求出AF的长. 解：(1)因为∠BED=∠ABE+∠BAE，∠BED=46°，∠BAD=25° 所以∠ABE=∠BED-∠BAD=46°-25°=21°， 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABC=2∠ABE=2×21°=42°. (2)因为AD为中线，BD=5， 所以BC=2BD=10， 因为AF⟂ BC 所以△ABC的面积=BC·AF=×10·AF=30， 所以AF=6. 例3．已知直线，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点. (1)如图1，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明； (2)如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明. 分析： (1)过点P作PE//AB，根据AB//CD，得出CD//PE//AB，根据平行线的性质得出∠A+∠APE=180°，∠CPE+∠C=180°，即可得出答案; (2)延长PA交CD于点E，根据平行线的性质得出∠PAB=∠PED，根据三角形外角的性质得出∠PED=∠P+∠C，即可得出答案. 解：(1)∠A+∠APC+∠C=360°， 证明如下：过点P作PE//AB，如图所示： 因为AB∥CD，所以CD∥PE∥AB. 所以∠A+∠APE=180°，∠CPE+∠C=180° 所以∠A+∠APE+∠CPE+∠C=360°， 所以∠A+∠APC+∠C=360°. (2)∠PAB=∠P+∠C，证明如下： 延长PA交CD于点E，如图所示: 因为AB∥CD， 所以∠PAB=∠PED 因为∠PED为△PCE的外角， 所以∠PED=∠P+∠C，所以∠PAB=∠P+∠C. 师生活动：教师讲解例题的解题思路和方法，引导学生分析问题，学生进行小组讨论“解题思路”，再汇报展示，最后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． · 课堂练习 1.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，∠ADC=72°，求证：AD平分∠BAC. 分析：先根据三角形内角和与外角的性质求出∠BAC与∠1，∠2的度数，再通过角的度数关系证明AD平分∠BAC. 证明：在△ABC中，∠C=90°，∠B=54° 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-54°-90°=36° 在△ADC中，∠C=90°，∠ADC=72° 所以∠1=180°-72°-90°=18° 因为∠ADC是△ABD的外角， 即∠ADC=∠B+∠2， 所以∠2=∠ADC-∠B=72°-54°=18° 所以∠1=∠2， 即AD平分∠BAC. 2.已知：如图，O为△ABC内任意一点.求证：∠BOC=∠1+∠2+∠A 分析：通过延长BO交AC于点D，利用三角形外角的性质进行证明. 证明：延长BO交AC于点D， 在△ABD中，∠BDC是外角， 所以∠BDC=∠A+∠1. 在△DOC中，∠BOC是外角， 同理可得∠BOC=∠BDC+∠2 所以∠BOC=∠A+∠1+∠2 即∠BOC=∠1+∠2+∠A. 3.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ACB=80°，AD平分∠BAC，点P为线段AD上一点，过点P作PE⟂AD交BC的延长线于点E，则∠E的度数为 . 分析：因为∠BAC=70°，∠ACB=80° 所以∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30° 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠BAC=35° 所以∠PDE=∠B+∠BAD=65°. 因为PE⟂AD，所以∠E=180°-90°-∠PDE=25° 答：25° 4．如图，AE//DB，∠1=80°，∠2=32°，则∠C的度数为( ) A.58° B.80° C.52° D.48° 4．如图，在下列给出的四个条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠4+∠2=180°；④∠A=∠1中，能判定AC//DF的是 (填序号) 分析：因为AE//DB，∠1=80° 所以∠ADB=∠1=80° 因为∠ADB是△BDC的外角， 所以∠C=∠ADB-∠2=80°-32°=48° 故选：D. 答：D 5．已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. 解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A 设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x 所以x+2x+2x=180° 解得：x=36° 所以∠C=2x=72° 在△BDC中，BD是AC边上的高， 所以∠BDC=90°，所以∠DBC=180°-90°-72°=18°. 6.如图，在五角星图形中，求：∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E的度数. 解：如右图所示， 因为∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D， 所以∠1=∠C+∠A+∠D， 又因为∠1+∠B+∠E=180°， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 7.如图，AB//CD，CF平分DCG，GE平分CGB交FC的延长线于点E，若E=34°，求B的度数. 解：如图，延长DC，交BG于点M， 因为CF平分DCG，GE平分CGB 所以DCF=GCF=DCG，CGE=BGE=CGB， 设DCF=GCF=x，CGE=BGE=y， 则DCG=2x，CGB=2y 由三角形的外角性质得： 即 由①-②×2得：CMG-2E=0， 即CMG=2E. 因为E=34° 所以CMG=68° 又因为AB//CD 所以B=CMG=68° 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．外角的定义是什么，关于外角的推论是什么？ 3．在证明过程中添加的“辅助线”有什么注意事项？ · 实践作业：数学文化“外角智慧溯源” 目标：古籍探秘：查《九章算术》等典籍，找涉及三角形外角的内容(如建筑/工具角度设计)，梳理片段、翻译解读(可借助工具). 要求：古今解题：选1个古代三角形角度问题(自拟/古籍摘录)，用“古代思路(推测)+ 现代性质” 分别解答对比“方法异同”. 成果：整理成文化笔记(古籍+解题对比). 学科网（北京）股份有限公司 $$