第01讲空间向量及其运算讲义（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未一 第01讲空间向量及其运算 内容预览 知识清单 知识点01：空间向量的线性运算 知识点02：共线定理 知识点03：共面定理 知识点04：数量积运算 知识点05：空间向量基本定理 知识点06：基底 题型1：空间向量概念的辨析 题型2：空间向量的加减运算 题型讲解 题型3：空间向量的数乘运算 题型4：空间向量的数量积 (举三反三) 题型5：由空间向量共线求参数或值 题型6：空间向量共面求参数 题型7：空间共面向量定理的推论及应用 强化训练 一、单选题(8) 二、多选题(3) 三、填空题(3) 四、解答题(5) 知识清单 知识点01空间向量的线性运算 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中入，u∈R): 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c),(ua)=(2u)a: 分配律：(2+u)a=2a+ua,2(a+b)=2a+b. 知识点02共线定理 对于空间中任意的两个向量a,b,若存在实数2，使得a=2b,则a与b共线. 知识点03：共面定理 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 两个不共线的向量a,b,若存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb,则向量p与向量a,b共面. 知识点04数量积运算 已知两个非零向量a,b,则|a|bcos<a,b>叫做a,b的数量积，记作ab,即a·b=a |b lcos<a,b> 知识点05空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z}使得p=xa十yb十zc 知识点06基底 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z}使得p=xa+yb+zc,我们 把{a,b,c}叫做空间的一个基底 888 题型讲解 题型1：空间向量概念的辨析 【例1-1】在正方体ABCD-A,BCD中，与向量AD相反的向量是() A.CB B.BC C.BA D.AB 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可 【详解】 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 7B1 B 如图所示，可知C,B是AD的相反向量 故选：A 【例1-2】对于空间任意两个非零向量ā，五，“a6”是“(a,b)=0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量共线与向量夹角的关系，判断 【详解】空间任意两个非零向量a,b, a/b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况， 即当alb时，有(a,b〉=0或(a,b）=元，不能得到(a,b）=0,充分性不成立 《a,b)=0,则a和b方向相同，有a1b,必要性成立； 故“al/仍”是“(a,b)=0”的必要不充分条件。 故选：B 【例1-3】在空间直角坐标系O-)z中，请写出一个单位向量的坐标为 (写出一个符合题意的坐标即可) 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】(1,0,0)（答案不唯一） 【分析】根据题意，由单位向量的模长为1，即可得到结果 【详解】因为单位向量的模长为1，不妨令x=1,y=z=0, 则可得一个单位向量的坐标为1,0,0) 故答案为：（1,0,0 【变式1-1】在长方体ABCD-A,B,C,D,中，下列向量与CD是相等向量的是() A.AB B.BA C.AB D.DC 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可。 【详解】如图所示的长方体ABCD-A,B,C,D,中， A:向量AB与CD方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； B:向量BA与CD大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确： C:向量AB,与CD方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确： D:显然向量CD与向量DC方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确， 故选：B D C B 分 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【变式1-2】给出下列命题： ①向量AB的长度与向量BA的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量： ④若向量AB与向量CD是共线向量，则点A,B,C,D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段。 其中假命题的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】②可举出反例，①③④⑤可用向量的概念进行判断 【详解】 对于①， AB=BA. 故①为真命题； 对于②，若与五中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题； 对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题； 对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A,B,C,D必在同一条直线上，故④为假命题； 对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题. 故假命题的个数为4 故选：C 【变式1-3】如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'CD'的棱中，与向量A4模相等的向量有_个 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期株☐ D' B D B 【答案】7 【分析】根据向量模长相等即可结合几何体特征求解 【详解】与AA模长相等的向量有：A'A,BB',B'B,CC',C'C,DD',DD共有7个 故答案为：7 题型2：空间向量的加减运算 【例2-1】（25-26高二上江苏无锡月考)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，M为AC的中点，若 AB=a,AC=b,AA=c,则BM可表示为() By M A 1 2a-zb+c B.1.1 1 a-b+-c 2 2 2 C.-a- +c D.-a+ 2 +c 2 【答案】D 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 【分析】利用向量的三角形法则，将所求向量BM分解为己知向量或可转化为己知向量的组合，再根据向量的线性运 算规则进行计算即可 【详解】由已知BM=BA+AA+AM=BA+AA+AC,=-AB+AA+)AC=-a+b+C 1 故选：D. 【例2-2】如图，在斜三棱柱ABC-A,B,C,中，M为BC的中点，N为4C靠近A的三等分点，设AB=a,AC =6,44=c,则用a6,c表示NM为() M B A. 1a+6- B.-1212 a+二b+c 2 6 2 6 C. D.- 1a-16+c 2a-6b 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解 【解1Nw=NC+CC+Cw--c+--+- 3 故选：A 【例2-3】在四面体ABCD中，设AB=a,AC=b,AD=C,E,F分别是AB,CD的中点，试用a,b,C表示 向量EF 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】2a+2b+20 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可 【详解】如图所示， D EF=EB+BC+CF=1AB+(AC-AB)+(AF-AC) E B 方48-(c-A8+4c+0n-4c 1 1 1 -AC+ 4D=- a+ -b+ 2 【变式2-1】(24-25高二下江苏南京·期末)在三棱锥0-ABC中，OA=a,0B=b,0C=c，且OM=2MA, BN=NC,则MN等于() A.11 1 .1 -a+-b-二c B.2a+26+c 2 22 3”32 1 2 2.1 1 C. -a- b+C D,- b+ 2”3 3a+ 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 M 【详解】 ---C N B 由题意， MN=0N-0M-0B+0C)-20=-2a+5b+g a+ 3 3 2 故选：D 【变式2-2】如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，AE=4AF,则() A.DF=1 -AC-AD 4 4 B.DF=14B+AC-AD 1 8 8 C.DF=-14B-1AC+AD 4 4 D.DF=- B、 1 -AC+AD 【答案】B 【分断】根据条件可得出4P-4B+4C) 然后根据空间向量的减法即可得解。 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 1 【详解】AE=4AF,.AF=三AE, ·E是BC的中点， 4E=4B+4C DF=AF-AD=-AB+-AC-AD. 8 8 故选：B. 【变式2-3】如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，化简向量表达式： D C A B D B (1)AB+CD+BC+DA: 2AA +BC +DD: (3AA +BC +DD+CB 【答案】(1)0 (2)AD (3)0 10 第01讲空间向量及其运算 知识清单 知识点01：空间向量的线性运算 知识点02：共线定理 知识点03：共面定理 知识点04：数量积运算 知识点05：空间向量基本定理 知识点06：基底 题型讲解 （举三反三） 题型1：空间向量概念的辨析 题型2：空间向量的加减运算 题型3：空间向量的数乘运算 题型4：空间向量的数量积 题型5：由空间向量共线求参数或值 题型6：空间向量共面求参数 题型7：空间共面向量定理的推论及应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01空间向量的线性运算 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 知识点02共线定理 对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线. 知识点03:共面定理 两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面. 知识点04数量积运算 已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作，即||||cos<,>. 知识点05空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 知识点06基底 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底. 题型1：空间向量概念的辨析 【例1-1】在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-3】在空间直角坐标系中，请写出一个单位向量的坐标为 .（写出一个符合题意的坐标即可） 【变式1-1】在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有 个. 题型2：空间向量的加减运算 【例2-1】（25-26高二上·江苏无锡·月考）如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【例2-3】在四面体ABCD中，设＝，＝，＝，E，F分别是AB，CD的中点，试用，，表示向量. 【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，在正方体中，化简向量表达式： (1)； (2)； (3). 题型3：空间向量的数乘运算 【例3-1】（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【例3-2】在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【例3-3】在四面体 中，分别为的中点，则 【变式3-1】在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 【变式3-2】设是三棱锥的底面重心，用空间的一组基向量表示向量 【变式3-3】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型4：空间向量的数量积 【例4-1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 【例4-3】已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 【变式4-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏镇江·月考）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为 ． 【变式4-3】如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 题型5：由空间向量共线求参数或值 【例5-1】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【例5-2】已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【例5-3】若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【变式5-1】在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【变式5-2】已知，，三点共线，则 . 【变式5-3】已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 题型6：空间向量共面求参数 【例6-1】（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【例6-2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知，若不能构成空间的一个基底， 则m=（    ） A．7 B．-1 C．5 D．1 【例6-3】（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 【变式6-1】已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【变式6-3】已知，，，若，，三向量共面，则实数等于 ． 题型7：空间共面向量定理的推论及应用 【例7-1】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【例7-2】已知点在平面内，并且对平面外任意一点，有，则＝ . 【例7-3】已知三点A，B，C不共线，对平面ABC外一点O，且满足，判断点P是否与点A，B，C共面. 【变式7-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·江苏盐城·月考）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是 . 【变式7-3】如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 一、单选题 1．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 4．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 8．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏常州·月考）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 10．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点.则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏无锡·月考）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 . 13．（24-25高二上·江苏无锡·月考）已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为 . 14．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足，则 . 四、解答题 15．如图，在三棱锥中，平面，，，．试确定在上的投影向量，并求． 16．已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 17．如图，在四面体中，，，.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 18．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. (1)，，，用a，b，c表示； (2)若，求. 19．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，．    (1)分别用，，来表示向量，； (2)若，，两两垂直，求直线PM与BN所成角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $