精品解析：甘肃省武威市普通高中教育联盟（天祝藏族自治县第一中学等校）2025-2026学年高一上学期1月质量检测数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版必修第一册第1章~第5章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（ ） A. 40米 B. 110米 C. 米 D. 米 8. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 小于的角一定是锐角 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 当时，的单调递增区间为 C. 的图象关于轴对称 D. 当时，的定义域为 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，且，则的值是_____． 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 14. 已知函数，则_____，在区间上的最大值与最小值之和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. （1）已知，，求和的值； （2）已知，求和的值． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 19. 已知函数． （1）若，求的值域； （2）若，函数，且，求的零点的个数，并证明； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版必修第一册第1章~第5章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是由所有属于或者属于的元素所组成的集合. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题可得答案. 【详解】存在量词命题“”的否定为全称命题“”， 原命题的结论为“”，其否定为“”， 所以命题“”的否定为“，”. 故选：C. 3. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长、半径与圆心角的关系，可得半径r的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，则，解得， 所以扇形的面积. 故选：B 4. 已知实数满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先得到若，则，充分性成立，再得到若，则或，必要性不成立，得到答案. 【详解】由于，故，若，则，则，充分性成立， 但若，则，则或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用指数运算与对数运算法则，以及指数函数与对数函数的单调性，与“1”作比较，即可得解. 【详解】， ，， 因为在上单调递减，故， 综上，. 故选：A. 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 7. 如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（ ） A. 40米 B. 110米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设函数的表达式，即可根据周期以及最值点求解参数值，进而得函数表达式，代入即可求解. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为， 由题意得：，，，， 又，即，故，， 所以， 所以， 即摩天轮转动12分钟后点距离地面40米. 故选:A. 8. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 易知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 小于的角一定是锐角 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用弧度转角度的公式计算验证选项A，利用正切的诱导公式化简计算选项B，根据锐角的定义判断选项C，根据三角函数在象限内的符号判断选项D． 【详解】，故A正确； ，故B正确； 锐角是大于且小于的角，但小于的角包含负角（如）， 小于的角不一定是锐角，故C错误； ， ，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 当时，的单调递增区间为 C. 的图象关于轴对称 D. 当时，的定义域为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，结合复合函数的单调性判断选项A、B，利用函数的对称性结合奇偶性判断选项C，利用赋值法判断选项D． 【详解】选项A、B：当时，， ，解得或， 函数的定义域为， 函数开口向上，对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，在上单调递减， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A正确， 不在定义域内，故B错误； 选项C：，定义域关于原点对称， 若图象关于轴对称，则是偶函数，即， ， 是偶函数，其图像关于轴对称，故C正确； 选项D：当时，，定义域为，不是，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，运用零点存在定理可判断；对于B，运用指对同构将转化为，得到，再根据函数的单调性得到，即可判断；对于C，将选项B代入，即可判断；对于D，运用零点存在定理求出的范围，再将选项C代入选项D，解出，即可判断. 【详解】对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，， 根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，易知与在上单调递增， 因此在上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在上单调递增， ，，由零点存在定理可知. 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，且，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义和正切值得到的方程，求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先得到在上单调递增，从而得到，结合单调性得到不等式，求出解集. 【详解】是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 又，故，即， 所以，故或，解得或， 故解集为. 故答案为： 14. 已知函数，则_____，在区间上的最大值与最小值之和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先推导为常数，利用该常数计算含对数的函数值和，再结合常数分析区间上的最值的和. 【详解】， 则. 因，故. ， 因此. 设在上的最大值为，最小值为， 由可知，若，则，得； 若，则，得， 综上所述. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. （1）已知，，求和的值； （2）已知，求和的值． 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及商关系求解；（2）利用诱导公式求出正切值，再利用诱导公式及同角三角函数的商关系进行化简求值. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）因为，所以， ， . 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 【答案】（1） （2）和. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解， （2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， （3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解. 【小问1详解】 由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故， 函数的最小正周期，又，所以， 由，所以，，解得，，又，得， 所以. 【小问2详解】 令，，解得，， 因为，所以令，得，又，所以； 令，得， 又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和. 【小问3详解】 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 又图象经过点，所以，， 解得，，所以，即的最小值是. 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1），. （2） 在上单调递增. 证明：由（1）可知，， 任取，且，则 ， 因为，且在上单调递增，所以，即， 又，故，即， 因此在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数和题中条件解得参数的值； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性和单调性解得不等式的解集. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以，即，解得， 当时，，可知，所以是奇函数. 因为，即，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解不等式， 因为是奇函数，所以， 又在上单调递增，故：， 即，所以， 进而有，解得， 因此不等式的解集为. 19. 已知函数． （1）若，求的值域； （2）若，函数，且，求的零点的个数，并证明； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 的零点的个数为1个，证明如下： 若，，且， 所以， 又，所以，所以， 所以在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递增， 当时，则，所以，所以， 又，所以，故在无零点， 当时，，， 所以存在，使， 又在上单调递增，故的零点的个数为1个； （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的性质可求得函数的值域； （2）若，可得，可得的单调性，进而由根的存在性定理可求得的零点个数； （3）由题意可得，利用换元法，结合分类讨论可求得的取值范围． 【小问1详解】 若，. 因为，所以， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以，又对恒成立， 所以对恒成立，故. 由，得，所以， 所以， 当时，令，则对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，函数在上单调递增， 由关于的不等式对任意的恒成立，可得，显然无解； 若时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，又，所以不等式任意的恒不成立； 当时，在上单调递减，所以，又， 故不等式任意的恒不成立； 当时，函数在上单调递增，所以， 又，所以对任意的恒成立； 综上所述：的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $