第1章三角形 期末复习压轴题专题提升训练 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《第1章三角形》 期末复习压轴题专题提升训练（附答案） 1.如图1，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD 与CE相交于点F, D B D 图1 图2 (1)求证：AF=CF; (2)如图2，若∠B=30°，AF⊥EC,连接ED,直接写出图中的所有等腰三角形 (△ABC和△AFC除外). 2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC, D (1)求证：AM平分∠DAB· (2)求证：DM⊥AM 3)线段CD、AB、AD之间，有怎样的数量关系？并证明. 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=24cm,BC=16cm,D为AB的中点.点 P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以acm/s的速度 由点C向点A运动.设运动的时间为ts. 备用图 (1)填空：CP= cm,CQ=_cm(用含t,a的代数式表示)： (2)当a=4时，若△PBD兰△QCP,求此时t的值； (3)当a≠4时，以D,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角形仍全等，求对应 的t,a的值. 4.己知：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°.点D在AB上且AD=AC,连接 CD E D 图1 图2 (1)如图1，求证：BD=CD; (2)过点D作△DEF,使∠DEF=90°，∠EDF=60°，连接CE并延长CE至点G,使 EG=CE,连接BF,BG,FG.如图2，当点F在DB的延长线上时，求证：△BFG是等 边三角形 5.综合与实践 如图所示，点O是线段AC的中点，OB⊥AC,∠AB0=30°，0A=4. 图1 图2 (1)如图1，△ABC的形状为 (2)如图1，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长 线交直线OB于点P. ①求证：△ABD兰△CBQ;②求PC的长度 (3)如图2，若动点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，则∠OCN的度数为 若点M沿着线段BC从点B运动到点C,点N随之运动，则点N的运动路径的长度为 6.综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 己知，在△ABC中，AB=AC,D是射线BC上一动点，点E在AD的右侧，线段 AE=AD,且∠DAE=∠BAC=· D 图1 图2 【实践探究】 (1)如图1，这是“团结小组”探究《=60°画出的图形，并得到BD=CE的数量关系，请 给予证明。 (2)如图2，这是“雄鹰小组”探究《=90·画出的图形，请判断(1)中的结论是否成立， 并说明理由， 【拓展应用】 (3)“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段 BC,DC,CE之间的数量关系 7.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提 炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即一线三等角模型和K字模型， 【问题发现】 (1)如图2，己知，△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶点C,过A,B分 别作其垂线，垂足分别为E,F.求证：EF=AE十BF; (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出EF,AE,BF之间的 数量关系； 【问题提出】 (3)在(2)的条件下，若BF=4AE,EF=6,求△BFC的面积 (4)如图4，正方形ABCD中，AE⊥DE,DE=5,求△CDE的面积. b 朱实 黄实 赵爽 弦图 图1 图2 图3 图4 8.如图1所示，等边△ABC与等边△DCE的顶点A,C,E三点在一条直线上，连接 AD交BE于O点，AD交BC于P点，BE交CD于Q点，连OC,PQ. 图1 备用图 (1)求证：AD=BE: (2)求证：△PCQ为等边三角形： (3)设B0=a,D0=b,OC=C,若AE=4CE,直接写出a,b,c之间满足的数量关系. 9.(1)提出问题：如图1，已知0C平分∠A0B,点D、E分别在0A,OB上.若 ∠0DC=∠0EC=90°，求证：CD=CE 思路梳理：（请根据思路梳理的过程填空） 证法1：由0C平分∠A0B,∠0DC=∠0EC,0C=0C,可得①兰一，则 CD=CE. 证法2：由OC平分∠A0B,∠0DC=∠0EC=90·,则CD=CE,其理论依据是② (2)类比探究：如图2，已知OC平分∠A0B,点D、E分别在OA,OB上.若 ∠0DC+∠0EC=180°，求证：CD=CE. 图1 图2 10.如图，在等边△ABC中，BD=AE,CD与BE交于点F. D B (1)求∠BFD (2)在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60·得到线段CM,连接MF,点N是MF的 中点，连接CN. ①补全图形 ②用等式表示线段BF,CF,CN间存在的数量关系并证明. 11.李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光 看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计 的问题，请你解答 D 图1 图2 图3 (1)如图1，AP是△ABC的角平分线，AB<AC,在AC上截取AQ=AB,连接PQ,则 PB与PQ的数量关系是 (2)如图2，△ABC的角平分线AE、BF相交于点P,∠AFB+∠AEB=180·,判断线 段PE与PF的数量关系，并说明理由 3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好 交于CD边上的点P,试判断PD与PC的数量关系，并说明理由. 12.【探究】(1)如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在∠A0B的两边上分别取 OM=ON,再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P,画射线OP,则得到OP平 分∠AOB.请用你所学的知识说明其中的道理. 图① 图② 图③ 【应用】(2)己知：如图②，AC平分∠BAD,∠BAF=60°，CE⊥AB于E,CF⊥AD 于F,CDAB,且满足BC=DC.求∠BCE的度数 【拓展】(3)如图③，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，若CD=AD,过D 点作DE⊥AB,求证：AB+BC=2BE. 13.(1)【母题呈现】如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点 B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD,求△AED的周长 (2)【知识应用】在Rt△ABC中，∠C=90·,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB边上的点E处，折痕为BD,过点E作∠BED的平分线交BD于点P连接AP 图1 图2 图3 ①如图1，若CD=4cm,AB+BC=18cm,求△ABC的面积； ②如图2，求证：AP平分∠CAB; ③如图3，过点P作PH⊥AB于H,若AB=15cm,BC=12cm,AC=9cm,求PH的长. 14.(1)观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线1过点C,点A B在直线同侧，BD⊥小AE⊥，垂足分别为点D、E:求证：△AEC兰△CDB (2)类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,将斜边AB绕点A逆时 针旋转90°至AB1(即∠BAB1=90°，AB=AB1),连接B1C,求△AB1C的面积 (3)拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm,点0在BC上且OC=2cm, 动点P从点E沿射线EC以1Cm/s速度运动，连接0P,将线段0P绕点0逆时针旋转120·得 到线段0F(即∠POF=120°，OP=OF),设点P运动的时间为t秒. ①当t= 秒时，OFED. ②若要使点F恰好落在射线EB上，请在备用图中画出符合要求的图，并求点P运动的时间 B 图1 图2 图3 备用图 15.综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系。 己知，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是直线BC上的一个动点，连接AD, 在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,连接DE,CE. ② (1)图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段 BD与CE的数量关系是 一，BD与CE的位置关系是 (2)图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1) 中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若BC=8, CE=3,请直接写出线段CD的长. 16.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的 取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,这样就 把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断AE的取值范围是 一，则中线AD的取值范围是 (2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，过点D作DE⊥DF于点 D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证BE十CF>EF. (3)问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=160°，以C为顶 点作∠ECF=80°，角的两边分别交AB,AD于E、F两点，连接EF,探索线段BE,DF, EF之间的数量关系，并加以证明. B B B 图① 图② 图③ 17.像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三 垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索.请结合以上阅读， 解决下列问题： 图1 图2 图3 (1)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,过点A作直线AB,BD⊥AE于点 D,CE⊥AE于点E,探索BD、DE、CE之间的数量关系，并证明你的结论 (2)请根据(1)的方法研究下列问题：小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图3，小丽坐在秋千 的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1,2m的B处接 住她后用力一推，爸爸在距地面1.5m的C处接住她.若妈妈与爸爸水平距离DE为3.1m, ∠B0C=90°，求秋千悬挂处O与地面的距离0F的值， (3)如图4，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90·,AC=BC ,AE=DE,且点E在BC上，连接BD,求证：∠ABD=90°. D E B 图4 18.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E .由∠1十∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得 到△ABC兰△DAE.进而得到AC=-,BC=AE.我们把这个数学模型称为“K字"模 型或“一线三等角”模型： B E B 6 ■ ■ A G C 图1 图2 图3 [模型应用] 如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算 图中实线所围成的图形的面积. [深入探究] 如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于 点F,DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点 19.已知：如图，△ABC中，AB=AC,设∠BAC=C,点D是直线BC上一动点，连接 AD,将线段AD绕点A顺时针旋转C至AE,连接DE,BE,过点E作EF⊥BC,交直线 BC于点F.探究如下： 图1 图2 图3 (1)若α=60°时， ①如图1，当点D在CB的延长线上，且点D在点F左侧时，求证：BF=DF+BC: ②如图2，当点D在CB的延长线上，且点D在点F右侧时，试探究线段BF,DF,BC之间 存在怎样的等量关系； (2)如图3，若α《=120°，点D在BC的延长线上，线段BF,DF,BC之间又有怎样的等量 关系？请直接写出结论，不需要证明 20.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB=7, AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围， 图1 图2 图3 图4 (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1)： ①延长AD到Q使得DQ=AD: ②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在△ABQ中： ③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10,则AD的取值范围是 (直接写出其 取值范围) 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形， 把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中， (2初步运用：如图2，AD是△ABC的中线，延长DA到点E,连接BE,使BE=AC,求 证∠BEA=∠DAC; (3)拓展提升：已知，如图3，AE是△ABC的中线，AB=AD,AC=AF, ∠BAD十∠FAC=180°，试探究线段AE与DF的数量关系，并给予证明. (4)应用实践：如图4，张大爷有一块五边形苗圃ABCDE,其五个内角之和为 540°，测得∠ABC+∠AED=180°，且AB=BC,AE=ED,M为边CD的中点， BM=10米，EM=15米，直接写出苗圃ABCDE的面积.