专题01 三角形（期末复习专项训练，10大题型）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 三角形 题型1 三角形的三边关系（常考点） 题型6 等腰三角形的判定与性质（重点） 题型2 三角形的中线、角平分线、高（常考点） 题型7 等边三角形的判定与性质（重点） 题型3 全等三角形的概念与性质（常考点） 题型8 倍长中线法与截长补短法（难点） 题型4 全等三角形的判定（常考点） 题型9 全等模型（难点） 题型5 全等三角形的判定与性质综合（重点） 题型10 全等三角形中的动点求t（难点） 26 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的三边关系（常考点） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系的应用是解此题的关键． 【详解】解：选项A：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项B：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项C：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项D：，则能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 2．若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 3．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键． （1）根据题意，利用三角形的三边关系及不等式的基本性质即可求解； （2）延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （4）利用（2）的结论和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即； （4）解：由（2）得，， ， ， ∴， ∴， 即； 在中，； 在中，； 在中，； ∴， ∴， 即； 综上，， 故答案为：． 题型二 三角形的中线、角平分线、高（常考点） 1．下列四个图形中，是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是的高，选项不符合题意； B、不是的高，选项不符合题意； C、线段BD是的高，选项符合题意； D、不是的高，选项不符合题意． 故选：C 2．如图，在中，已知点分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，由点为边的中点，就可得到的面积即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点为边的中点，且的面积等于， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故答案为：． 3．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上性质，并理解新定义． 题型三 全等三角形的概念与性质（常考点） 1．请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 2．如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 3．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 题型四 全等三角形的判定（常考点） 1．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 2．丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 【答案】第2块 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块． 根据已知图形及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：只有第2块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合． ∴应带去的一块是第2块， 故答案为：第2块． 3．如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （2）由全等得到．再根据互余关系得到，则，则； （3）由平行得到，再由即可证明全等． 【详解】（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． （2）证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型五 全等三角形的判定与性质综合（重点） 1．如图，已知的面积为12，平分，且于M，D为边上靠近点B的三等分点，连接，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算，延长交于，证明，得出，从而可得，，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵D为边上靠近点B的三等分点， ∴的面积为， 故选：C． 2．如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 通过证明，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 题型六 等腰三角形的判定与性质（重点） 1．如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A． B．2025 C． D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，推出，，即的边长为；同理可得：，，即的边长为；，，即的边长为；即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴，即的边长为； 同理可得：， ∴，即的边长为； ， ∴，即的边长为； …. ∴的边长为， 故选：C 2．如图，已知和均为等腰三角形，，若为线段上的一个动点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出 ，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半求得时的 的值，即可求得线段的最小值． 【详解】解：取的中点为点，连接， ， ， 即， ，P为中点， ， 在和中， ， ， ， 点在直线上运动， 当时，最小， 是等腰三角形， ， ， ， 线段的最小值为1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题． 3．问题情境：数学实践活动中，小明把两个等腰直角三角板和如图1：背靠背放在一起，直角顶点C重合，，． 问题探究： (1)和的位置关系是________，数量关系是________，________度． (2)如图2，当是等腰直角三角形时，，，于点C，，若G恰好是中点． ①证明． ②请探究：，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据和都是等腰直角三角形得到，进而证明，得到，，根据，可得，得到．过点C作于点M，作于点N，根据可得，根据角平分线的判定定理得到平分，即可求解； （2）①由，是等腰直角三角形得到，，从而可得，根据线段的和差证明，进而证得，得到，由有，即可得证． ②根据全等三角形的性质得到，，从而． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 过点C作于点M，作于点N， ∵， ∴， ∵，，又， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 故答案为：；；． （2）解：①∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）有， ∴， ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七 等边三角形的判定与性质（重点） 1．如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 作于M，延长至N使，设，先证明为等腰三角形，然后证明，推出，从而得出，即可得到是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：作于M，延长至N使，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． (1)探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． (2)探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 【答案】(1)点B，① (2)①同意，理由见解析②见解析 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及等边三角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键． （1）利用三角形任意两边之和大于第三边判断即可； （2）①利用旋转变换的性质判断出：点A、P、在同一直线上，的值最小，可得结论； ②在的下方作等边，在的右侧作等边，连接交于点P，与交于点，连接，根据，则，可得，则，再根据可得，则，故点P即为所求． 【详解】（1）解：当点A、B、C在同一直线上（如图1），点B在点A和点C之间，要使得最小，点P的位置为点B．依据是三角形任意两边之和大于第三边． 故答案为：点B，①； （2）解：①同意． 理由：由旋转变换的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点A、P、在同一直线上，的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图5中，点P即为所求． 题型八 倍长中线法与截长补短法（难点） 1．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据中线的性质证得，再由对顶角相等的性质证得，结合，利用全等三角形的判定方法证得； （2）延长至点，使，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，再根据三角形的三边关系证得，计算求解即可； （3）延长至，使，连接，根据中线的性质，可证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证得，由全等三角形的性质得到，进而证得即可． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图： 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 2．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)EF=2AD，EF⊥AD，见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； （3）解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 3．【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）见解析． 【分析】（1）①证明，后证明即可；②证明，后证明 （2）在上截取，则，得到，先证明，再证明，得到即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，互余的性质，熟练掌握构造辅助线，灵活证明三角形的全等是解题的关键． 【详解】（1）①证明：在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②证明：延长到点E，使，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：、、的数量关系为． 在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 全等模型（难点） 1．在中，，，点D是射线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)观察猜想 如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)类比探究 如图2，当点D在线段的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； (3)拓展应用 当点D在射线上运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，； (2)仍然成立，见解析 (3)2或10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先证明，再证明，得出，，即可得解； （2）先证明，再证明，得出，，即可得解； （3）分两种情况：当点D在线段上时；当点D在线段的延长线上时；分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵在直线的右侧作，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：画出图形如图所示： ， ∵在中，，， ∴， ∵在直线的右侧作，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：当点D在线段上时，； 当点D在线段的延长线上时，； ∴线段的长为或． 2．如图，三角形中，为锐角，以、为边作等边、，连接、交于点． (1)求证； (2)连接，求证： ①平分； ②． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明即可得到结论； （2）①过点作于点，作于点，证明，根据角平分线的判定即可得到结论；②证明，再证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵以、为边作等边、， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）①过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 3．在中，，，直线经过点C，于D，于E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明：①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ②， ，， ． （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ． （3）解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 题型十 全等三角形中的动点求t（难点） 1．如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)①；；②当与全等时，秒或 5 秒或秒 【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）①由轴对称的性质可得出答案； ②动点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】（1）证明：∵直线， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：①由题意得，， 则， 根据题意得， 由轴对称的性质可知，， ， 故答案为：． ②由轴对称的性质可知，， ， ， ∴当时，与全等， 当点沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，． 解得，， 综上所述，当与全等时，秒或 5 秒或秒． 2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】(1)， ； (2)①秒，②见解析 (3)为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形 【分析】（1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解；         （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；②根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. 【详解】（1）解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴   故答案为：， ； （2）①当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②能，当点在上时， ∵，， ∴ 即    解得：秒   ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分 （3）当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形   则 ∴ ∴ 解得： ②若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. 3．如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①全等，理由见解析；②运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； (2)存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 【分析】本题主要考查点的运动，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据点的运动速度与点的运动速度相等，，又，由等边三角形的性质可得，由此可证和全等，； ②分类讨论：当时，是直角三角形；当时，是直角三角形；由含角的直角三角形的性质列式求解； （2）点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒，分类讨论：当时，（厘米），，当时，（厘米），，据此列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①和全等，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度相等，即6厘米/秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②当时，是直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，即厘米/秒， ∴， ∴， ∴， 解得，； 当时，是直角三角形， 同理，，则， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； （2）解：存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当时，（厘米），， ∴， 解得，（厘米/秒），即点的运动速度为厘米/秒，不符合题意，舍去； 当时，（厘米），， ∴，， 解得，，（厘米/秒）； 综上所述，点的运动速度与点的运动速度不相等，和全等时，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． $专题01 三角形 题型1 三角形的三边关系（常考点） 题型6 等腰三角形的判定与性质（重点） 题型2 三角形的中线、角平分线、高（常考点） 题型7 等边三角形的判定与性质（重点） 题型3 全等三角形的概念与性质（常考点） 题型8 倍长中线法与截长补短法（难点） 题型4 全等三角形的判定（常考点） 题型9 全等模型（难点） 题型5 全等三角形的判定与性质综合（重点） 题型10 全等三角形中的动点求t（难点） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的三边关系（常考点） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 3．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 题型二 三角形的中线、角平分线、高（常考点） 1．下列四个图形中，是的高的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知点分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ． 3．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 题型三 全等三角形的概念与性质（常考点） 1．请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 2．如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则 ． 3．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 题型四 全等三角形的判定（常考点） 1．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 3．如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 题型五 全等三角形的判定与性质综合（重点） 1．如图，已知的面积为12，平分，且于M，D为边上靠近点B的三等分点，连接，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为 ． 3．如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型六 等腰三角形的判定与性质（重点） 1．如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A． B．2025 C． D．2024 2．如图，已知和均为等腰三角形，，若为线段上的一个动点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 3．问题情境：数学实践活动中，小明把两个等腰直角三角板和如图1：背靠背放在一起，直角顶点C重合，，． 问题探究： (1)和的位置关系是________，数量关系是________，________度． (2)如图2，当是等腰直角三角形时，，，于点C，，若G恰好是中点． ①证明． ②请探究：，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 题型七 等边三角形的判定与性质（重点） 1．如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则 ． 3．数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． (1)探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． (2)探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 题型八 倍长中线法与截长补短法（难点） 1．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 2．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 3．【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 题型九 全等模型（难点） 1．在中，，，点D是射线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)观察猜想 如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)类比探究 如图2，当点D在线段的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； (3)拓展应用 当点D在射线上运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 2．如图，三角形中，为锐角，以、为边作等边、，连接、交于点． (1)求证； (2)连接，求证： ①平分； ②． 3．在中，，，直线经过点C，于D，于E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 题型十 全等三角形中的动点求t（难点） 1．如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 3．如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． $