专题07 期末复习之三角形角度计算综合 （考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义以“三角形角度计算”为核心，通过考情分析表格系统梳理内角和定理、外角性质、角平分线等6大考点，结合题型分层框架（基础-提升-培优）构建知识脉络，用错题警示模块标注动态问题分类讨论等易错点，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如将共享单车、日晷等现实场景抽象为三角形模型，培养数学眼光（几何直观）。动态问题中强调“画图分类+锁定不变量”技巧，如动点在边上与延长线的分类讨论，提升推理能力。分层题型覆盖基础计算到压轴多结论判断，同步练习含选择、填空、解答题，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题07 三角形角度计算综合 期末考点 复习目标 考察形式 1.三角形内角和定理、外角性质 1.掌握内角和定理与外角性质的核心公式； 2.能运用定理进行基础角度的“知二求一”计算 基础题，选择/填空（1-2题），直接考察公式应用或简单代换 2.三角形角平分线、高线相关角度计算 1.理解角平分线、高线的定义及角度关联； 2.能结合内角和定理推导简单角度关系 基础-中档题，选择/填空或解答题小问（1题），常结合图形标注 3.折叠、旋转变换中三角形角度的等量关系 1.掌握折叠、旋转的全等本质，明确对应角相等； 2.能整合全等性质与三角形角度定理计算 中档题，填空/解答题（1题），结合图形变换示意图考察 4.三角形与平行线、特殊三角形（等腰、直角）的综合角度计算 1.熟练衔接平行线性质与三角形角度定理； 2.掌握等腰、直角三角形的特殊角度规律 中档题，解答题（1题），全题型覆盖，侧重角度转化能力 5.动态问题、跨学科情境下的角度综合计算 1.能将动态情境、跨学科场景转化为三角形模型； 2.学会分析变量中的不变量，建立角度关系 提升-压轴题，解答题（1题），情境贴近生活或跨学科（如观测、经纬度） 6.开放型、多结论型角度计算 1.具备角度计算的逆向思维与多结论验证能力； 2.能结合综合知识点全面分析问题 压轴题，选择/解答题（1题），侧重逻辑推理与综合应用 【易错题型】 【题型1】动态三角形角度计算（分类讨论遗漏型） 1.易错点总结 动点移动时，忽略位置分类，如动点在三角形边上和边延长线上的角度差异 动线旋转时，未考虑旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角度范围，导致漏解 动态问题中，未抓住不变量（如内角和、外角性质），无法建立角度关系 2.纠错技巧 画图分类：根据动点/动线的不同位置，画出所有可能的图形，标注对应角度 锁定不变量：无论图形如何变化，紧扣三角形内角和为、外角等于不相邻两内角和等核心定理 边界检验：计算后检验角度值是否符合三角形内角的取值范围（大于小于） 【例题1】.（23-24七年级下·河南驻马店·月考）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，射线，同时停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P，当时，______° ②在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题1-1】.（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若，且点在边上时，若与全等，求t和a的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图1，已知钝角中（为钝角），，点是线上的一个动点，且不与、重合，连接，平分交于点，过点作，垂足为点．设，． (1)若，，求、的度数； (2)试探究与的关系，并说明理由； (3)如图2，设，将“点是线段上的一个动点”改为“若是延长线上点”，其它条件不变，探究与的关系． 【基础题型】 【题型2】三角形内角和与外角性质的综合计算 1.期末考点总结 核心考点：三角形内角和定理（）、外角性质（） 考察要求：能进行多角之间的等量代换，解决“知二求一”或“知一求多”的基础计算 2.解题技巧 角度转化：利用外角性质将分散的角度转化到同一个三角形中 方程思想：设未知角为，根据角度关系列一元一次方程求解 标注法：在图中用数字或字母标注已知角，清晰呈现角度关联 【例题2】.（贵州省遵义市2025-2026学年上学期八年级期中数学试题）随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数． 【题型3】三角形与平行线结合的角度计算 1.期末考点总结 核心考点：平行线的性质（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补）、三角形内角和与外角性质的综合应用 考察要求：能识别平行线与三角形的交点，建立平行线角度与三角形角度的联系 2.解题技巧 找桥梁角：确定平行线与三角形边的夹角，作为连接平行线性质和三角形定理的“桥梁” 分步计算：先由平行线性质求出“桥梁角”，再代入三角形内角和或外角公式计算目标角 逆向验证：根据计算结果反向推导，检查平行线性质的应用是否正确 【例题3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中，都与地面平行，与平行，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·贵州黔东南·月考）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． (1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_______，_____；若，则______； (2)请由（1）猜想：当两平面镜a，b的夹角 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行．请写出推理过程． 【变式题3-2】.（23-24七年级下·广东深圳·期中）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则可得靠背与水平地面的夹角．如图3，打开时椅面与地面平行，延长交于点I，平分，若，此时靠背与水平地面的夹角    【变式题3-3】.（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【题型4】含特殊三角形（等腰、直角）的角度综合计算 1.期末考点总结 核心考点：等腰三角形等边对等角（）、直角三角形两锐角互余（） 考察要求：能结合特殊三角形的性质，解决角度计算问题 2.解题技巧 分类讨论：等腰三角形中，若未明确顶角和底角，需分顶角为已知角和底角为已知角两种情况 勾股定理辅助：直角三角形中，可结合勾股定理验证角度，但优先用两锐角互余计算 特殊值记忆：牢记等腰直角三角形的角度（）、等边三角形角度（），加快计算速度 【例题4】.（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25八年级上·山西吕梁·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为 ． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）如图，等腰中，线段把分成了等腰和等腰，且，. (1)求证：； (2)求的大小. 【变式题4-3】.（25-26八年级上·湖北荆州·期中）已知，如果过任意一个顶点的直线能将分割成两个等腰三角形，那么称该直线为的一条“等腰分割线”． (1)如图1，，，若过点的“等腰分割线”与交于点，画出线段，写出图中相等的边及的度数； (2)如图2，，是钝角，若过点的“等腰分割线”与交于点，画出线段，写出图中相等的边及的度数．（画图并写出两种情况即可） 【提升题型】 【题型5】三角形双角平分线模型的角度计算（固定结论推导与应用） 1.期末考点总结 核心考点：三角形角平分线定义、内角和定理，双角平分线夹角公式的推导与应用 考察要求：能推导内角平分线、内外角平分线的夹角公式，并解决变式问题 2.解题技巧 推导公式： 两内角平分线夹角： 内角与外角平分线夹角： 模型识别：在复杂图形中识别双角平分线模型，提取核心三角形进行计算 变式应用：将公式推广到多角平分线或多边形中，利用相同推导思路解题 【例题5】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）（1）如图①，在中，平分，平分，若，则 ；如图②，平分，平分，则与的数量关系是 ； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题： (1)如图1所示，平分，平分，若，则______度； (2)如图2所示，平分，平分，求证； (3)如图3所示，平分，平分，平分，平分，平分、平分，，如此操作下去，直到平分．平分，若，请直接写出的值．（用含，的代数式表示，其中为正整数） 【变式题5-2】.（23-24七年级下·四川乐山·期末）某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【题型6】三角形折叠、旋转后的角度计算（全等性质结合） 1.期末考点总结 核心考点：折叠/旋转的全等性质（对应角相等）、三角形内角和与外角性质 考察要求：能利用全等性质找到角度等量关系，解决折叠/旋转后的角度计算 2.解题技巧 全等转化：由折叠/旋转得，推出对应角相等（） 角度代换：将折叠/旋转后的角度代入原三角形的内角和公式，消去相等角 整体思想：将多个相关角看作一个整体，简化计算过程 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 【变式题6-2】.（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）（1）观察与发现 小颖将一张三角形纸片（）沿过点的直线折叠，使得边落在边上，折痕为，展开纸片（如图1），则有，再次折叠三角形纸片，使得点和点重合，折痕为，展开纸片后得到（如图2）．小颖认为为等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （2）实践与运用 将一张长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为（如图3）再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为（如图4）再展开纸片（如图5），设图5中的高交于点，求的度数． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【培优题型】 【题型7】多三角形嵌套中的角度求和问题 1.期末考点总结 核心考点：三角形内角和定理、整体思想在角度求和中的应用 考察要求：能在嵌套图形中（如三角形内接三角形、多个三角形拼接），利用内角和进行角度求和 2.解题技巧 拆分图形：将嵌套图形拆分为多个独立三角形，分别列出内角和公式 抵消公共角：相邻三角形的公共角在求和时可抵消，简化计算 整体求和：将所有三角形的内角和相加，减去公共角和非目标角的和，得到目标角的和 【例题7】.（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，且，为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为_____； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想 的数量关系，并说明理由． 【题型8】角度计算的多结论判断题 1.期末考点总结 核心考点：三角形角度计算的综合应用、多结论的逐一验证、逻辑推理能力 考察要求：能对题干给出的多个角度结论进行逐一判断，确定正确结论的个数 2.解题技巧 逐一验证：对每个结论单独分析，避免结论之间的干扰 举反例：对错误结论，通过构造反例（如特殊三角形）证明其不成立 综合应用：结合角平分线、平行线、特殊三角形等多种性质，全面分析结论的正确性 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中， 分别平分，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （填序号即可）． 【变式题8-1】.（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，，、分别平分的外角、，连接．以下结论：；；；平分．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，、分别平分的内角、外角、外角以下结论：①；②；③ ；④；其中正确的结论有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．①；②；③；④设，则其中正确的结论有（　　）个 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 同步练习 一、单选题 1．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（    ） A． B． C． D． 2．如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的外角，的平分线，且，，交的延长线于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 7．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 8．赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为，则太阳光和该晷面所夹锐角角度为 ． 9．将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则 ． 10．如图，在中，平分，平分，，则 度． 三、解答题 11．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 13．如图，，是的两条高，且相交于点O． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 14．如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，求和的度数． 15．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形角度计算综合 期末考点 复习目标 考察形式 1.三角形内角和定理、外角性质 1.掌握内角和定理与外角性质的核心公式； 2.能运用定理进行基础角度的“知二求一”计算 基础题，选择/填空（1-2题），直接考察公式应用或简单代换 2.三角形角平分线、高线相关角度计算 1.理解角平分线、高线的定义及角度关联； 2.能结合内角和定理推导简单角度关系 基础-中档题，选择/填空或解答题小问（1题），常结合图形标注 3.折叠、旋转变换中三角形角度的等量关系 1.掌握折叠、旋转的全等本质，明确对应角相等； 2.能整合全等性质与三角形角度定理计算 中档题，填空/解答题（1题），结合图形变换示意图考察 4.三角形与平行线、特殊三角形（等腰、直角）的综合角度计算 1.熟练衔接平行线性质与三角形角度定理； 2.掌握等腰、直角三角形的特殊角度规律 中档题，解答题（1题），全题型覆盖，侧重角度转化能力 5.动态问题、跨学科情境下的角度综合计算 1.能将动态情境、跨学科场景转化为三角形模型； 2.学会分析变量中的不变量，建立角度关系 提升-压轴题，解答题（1题），情境贴近生活或跨学科（如观测、经纬度） 6.开放型、多结论型角度计算 1.具备角度计算的逆向思维与多结论验证能力； 2.能结合综合知识点全面分析问题 压轴题，选择/解答题（1题），侧重逻辑推理与综合应用 【易错题型】 【题型1】动态三角形角度计算（分类讨论遗漏型） 1.易错点总结 动点移动时，忽略位置分类，如动点在三角形边上和边延长线上的角度差异 动线旋转时，未考虑旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角度范围，导致漏解 动态问题中，未抓住不变量（如内角和、外角性质），无法建立角度关系 2.纠错技巧 画图分类：根据动点/动线的不同位置，画出所有可能的图形，标注对应角度 锁定不变量：无论图形如何变化，紧扣三角形内角和为、外角等于不相邻两内角和等核心定理 边界检验：计算后检验角度值是否符合三角形内角的取值范围（大于小于） 【例题1】.（23-24七年级下·河南驻马店·月考）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，射线，同时停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P，当时，______° ②在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)①90，②或， 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形外角的定义等知识点． （1）根据平角的定义和平行线的性质即可解答； （2）①根据题意画出图形利用旋转的性质以及三角形外角的定义进行求解即可； ②结合图形，分，在的同侧；，在的异侧讨论求解． 【详解】（1）解∶如图1，    由题意知∶，，， ∴， ∴，； 故答案为：120，90． （2）解：①如图3，    由题意知∶，， ∵ ∴， ∵ ∴ 故答案为：90． ②存在，过程如下： 若，在的同侧，如图4， 由题意知∶，，， 若，只需 即，解得 若，在的异侧，如图5， 由题意知∶，，， 若，只需 即，解得 综上所述或，时． 【变式题1-1】.（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若，且点在边上时，若与全等，求t和a的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，或， (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论； （3）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成． 【详解】（1）解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上分析可知：； （2）解：中，，点为的中点，， ，， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，； （3）解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图1，已知钝角中（为钝角），，点是线上的一个动点，且不与、重合，连接，平分交于点，过点作，垂足为点．设，． (1)若，，求、的度数； (2)试探究与的关系，并说明理由； (3)如图2，设，将“点是线段上的一个动点”改为“若是延长线上点”，其它条件不变，探究与的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，进而求得，，从而根据三角形的内角和定理与外角的性质求出，，即可解答； （2）设，则，根据（1）的思路得到，，从而； （3）设，则，从而，进而推出，可得． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，即， ，即， ， ，即． （2）解：设， 平分， ， ， ， ，即， ， 即， ， ， 即， ， ． （3）解：设， ∵平分， ， ， ， ，即， ，即， ， ， 即， ． 【基础题型】 【题型2】三角形内角和与外角性质的综合计算 1.期末考点总结 核心考点：三角形内角和定理（）、外角性质（） 考察要求：能进行多角之间的等量代换，解决“知二求一”或“知一求多”的基础计算 2.解题技巧 角度转化：利用外角性质将分散的角度转化到同一个三角形中 方程思想：设未知角为，根据角度关系列一元一次方程求解 标注法：在图中用数字或字母标注已知角，清晰呈现角度关联 【例题2】.（贵州省遵义市2025-2026学年上学期八年级期中数学试题）随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线得出，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于点， ． ∵， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线及高线，熟知三角形的内角和为是解决问题的关键．根据角平分线的定义求出，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是高，， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理． 根据三角形的内角和定理求得，，则，根据角平分线的定义即可求得的度数，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ， ． 【题型3】三角形与平行线结合的角度计算 1.期末考点总结 核心考点：平行线的性质（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补）、三角形内角和与外角性质的综合应用 考察要求：能识别平行线与三角形的交点，建立平行线角度与三角形角度的联系 2.解题技巧 找桥梁角：确定平行线与三角形边的夹角，作为连接平行线性质和三角形定理的“桥梁” 分步计算：先由平行线性质求出“桥梁角”，再代入三角形内角和或外角公式计算目标角 逆向验证：根据计算结果反向推导，检查平行线性质的应用是否正确 【例题3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中，都与地面平行，与平行，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角度，三角形内角和定理．根据，得出，根据三角形内角和定理，得出，再利用，可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵． ∴， 故选：C． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·贵州黔东南·月考）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． (1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_______，_____；若，则______； (2)请由（1）猜想：当两平面镜a，b的夹角 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行．请写出推理过程． 【答案】(1)，， (2)，见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）由题意得，根据、即可求解； （2）根据（1）的推理过程，逆向推导即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意得：，， ∴， ∵光线与光线平行， ∴， ∴， ∴， 当， 同理：， ∵光线与光线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：当两平面镜a、b的夹角时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线与反射光线平行．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（23-24七年级下·广东深圳·期中）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则可得靠背与水平地面的夹角．如图3，打开时椅面与地面平行，延长交于点I，平分，若，此时靠背与水平地面的夹角    【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角定理，平行线的性质，三角形内角和等知识，熟练掌握以上知识点并会运用空间想象能力是求解的关键． 【详解】解：在图3中，∵，， ∴， 即， 又∵， ∴， 即， 即， 又∵平分， ∴ 又∵ ∴， 即， 故答案是：． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线．熟练掌握三角形内角和定理，平行线性质，“平面镜反射光线规律”，是解题的关键． （1）利用平面镜反射光线的规律知，，根据平行线性质得，得，由三角形的内角和可知，； （2）根据平行线性质得，根据光反射性质得，得，由三角形的内角和得，； （3）根据，，，得 ，即得． 【详解】（1）解：由题知，， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题知，， ， 又， ， 即， ∴， 故的度数为； （3）解：如图， 由题知，，， 又， ， ． 故答案为：． 【题型4】含特殊三角形（等腰、直角）的角度综合计算 1.期末考点总结 核心考点：等腰三角形等边对等角（）、直角三角形两锐角互余（） 考察要求：能结合特殊三角形的性质，解决角度计算问题 2.解题技巧 分类讨论：等腰三角形中，若未明确顶角和底角，需分顶角为已知角和底角为已知角两种情况 勾股定理辅助：直角三角形中，可结合勾股定理验证角度，但优先用两锐角互余计算 特殊值记忆：牢记等腰直角三角形的角度（）、等边三角形角度（），加快计算速度 【例题4】.（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的定义和平角的定义，在中，根据三角形外角的定义可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，由题意可知， ， ， ， 故选：D． 【变式题4-1】.（24-25八年级上·山西吕梁·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算，先根据三角板的特点得到，再由三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）如图，等腰中，线段把分成了等腰和等腰，且，. (1)求证：； (2)求的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形的外角性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，，，结合三角形的外角性质得出，即可证明； （2）等量代换得出，根据三角形内角和定理，即可求出的度数，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， 即， ∵， ∴， 即． （2）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·湖北荆州·期中）已知，如果过任意一个顶点的直线能将分割成两个等腰三角形，那么称该直线为的一条“等腰分割线”． (1)如图1，，，若过点的“等腰分割线”与交于点，画出线段，写出图中相等的边及的度数； (2)如图2，，是钝角，若过点的“等腰分割线”与交于点，画出线段，写出图中相等的边及的度数．（画图并写出两种情况即可） 【答案】(1)作图见解析，， (2)作图见解析，，此时或， 此时或，，此时 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）在上取点D，使，则即为所求； （2）在上取点D，使，连接，则为的一条“等腰分割线”； 在上取点D，使，连接，则为的一条“等腰分割线”； 在上取点D，使，连接，则为的一条“等腰分割线”． 【详解】（1）解：如图，在上取点D，使，则即为所求， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，均为等腰三角形，相等的线段为； （2）解：在上取点D，使，连接，则为的一条“等腰分割线”， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 此时，符合题意； 在上取点D，使，连接，则为的一条“等腰分割线”， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 此时，满足条件； ③在上取点D，使，连接，则为的一条“等腰分割线”， ∴，， ∴， ∴， 此时，满足条件． 【提升题型】 【题型5】三角形双角平分线模型的角度计算（固定结论推导与应用） 1.期末考点总结 核心考点：三角形角平分线定义、内角和定理，双角平分线夹角公式的推导与应用 考察要求：能推导内角平分线、内外角平分线的夹角公式，并解决变式问题 2.解题技巧 推导公式： 两内角平分线夹角： 内角与外角平分线夹角： 模型识别：在复杂图形中识别双角平分线模型，提取核心三角形进行计算 变式应用：将公式推广到多角平分线或多边形中，利用相同推导思路解题 【例题5】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）（1）如图①，在中，平分，平分，若，则 ；如图②，平分，平分，则与的数量关系是 ； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义， 对于（1），先根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义可得，然后根据可得答案；根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质得，然后代入整理可得答案； 对于（2），先根据三角形外角的性质得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：（1）∵， ∴. ∵平分，平分， ∴， ∴ ； ∵平分，平分， ∴. ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴，同理， ∴. ∵， ∴. ∵平分，平分， ∴, ∴. ∵ ∴, ∴. 【变式题5-1】.（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题： (1)如图1所示，平分，平分，若，则______度； (2)如图2所示，平分，平分，求证； (3)如图3所示，平分，平分，平分，平分，平分、平分，，如此操作下去，直到平分．平分，若，请直接写出的值．（用含，的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线，三角形的外角和等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和，进行解答，即可． （1）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （2）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （3）根据（2）得到的结论，同理，，得到，进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：证明如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，， ∵平分，平分，平分，平分，平分、平分，， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（23-24七年级下·四川乐山·期末）某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)125； (2)； (3)①；②当时，是直角三角形；当时，是钝角三角形；当时，是锐角三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形内角和定理、平角的定义等知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （3）①延长、交于点M．利用平角的定义和（2）的结论可得结果；②利用（3）①的结论，把作为标准，先计算出，再判断的形状． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ， 故答案为：． （2）解：∵与是的两个外角， ∴，． ∴ ． ∵平分，..平分， ∴，． ∵ ∴ ∴． （3）解：①延长、交于点M． ∵平分，平分，由（2）得，． ∵ ． ∴ ． ②∵与是四边形的两个内角， ∴． 当时，，为直角三角形； 当时，，为锐角三角形； 当时，，为钝角三角形． 【题型6】三角形折叠、旋转后的角度计算（全等性质结合） 1.期末考点总结 核心考点：折叠/旋转的全等性质（对应角相等）、三角形内角和与外角性质 考察要求：能利用全等性质找到角度等量关系，解决折叠/旋转后的角度计算 2.解题技巧 全等转化：由折叠/旋转得，推出对应角相等（） 角度代换：将折叠/旋转后的角度代入原三角形的内角和公式，消去相等角 整体思想：将多个相关角看作一个整体，简化计算过程 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形外角定义，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． （1）将沿折叠，使点落在边的点处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角定义得出，等量代换得出结论； （2）将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角定义得出，等量代换得出结论． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． （2）证明：作的角平分线，将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图所示： 由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 【答案】(1) (2)3；21 (3)6秒或15秒或24秒 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）由平行线的性质得到，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，再求出的度数即可得到答案； （3）分，，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图（1），当时，， ∵为的一个外角， ∴， ∴；    如图（2），当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3；21． （3）解：①如图（3），当时， ∵， ∴， ∴；    ②如图（4），当时， ∵，， ∴， ∴；    ③如图（5），当时， ， ∴， 综上所述：当t为6秒或15秒或24秒时，有两个内角相等． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）（1）观察与发现 小颖将一张三角形纸片（）沿过点的直线折叠，使得边落在边上，折痕为，展开纸片（如图1），则有，再次折叠三角形纸片，使得点和点重合，折痕为，展开纸片后得到（如图2）．小颖认为为等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （2）实践与运用 将一张长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为（如图3）再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为（如图4）再展开纸片（如图5），设图5中的高交于点，求的度数． 【答案】（1）同意，理由见详解 （2） 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据折叠得到是的角平分线，，可证，得到，由此即可求解； （2）根据折叠得到，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）同意，理由如下， 当为折痕时，，即是的角平分线， 当为折痕时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴， ∵的高交于点， ∴， ∵是的外角， ∴． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【答案】（1）见解析；（2）活动一：40；活动二：见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠可得，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）活动一：根据折叠的性质可得，进而根据，即可求解． 活动二：根据折叠的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）第一次折叠， 又，， ， （2）活动一： 第二次折叠，对称轴是， 活动二：第二次折叠， ，，， 又， 在和中 ， 【培优题型】 【题型7】多三角形嵌套中的角度求和问题 1.期末考点总结 核心考点：三角形内角和定理、整体思想在角度求和中的应用 考察要求：能在嵌套图形中（如三角形内接三角形、多个三角形拼接），利用内角和进行角度求和 2.解题技巧 拆分图形：将嵌套图形拆分为多个独立三角形，分别列出内角和公式 抵消公共角：相邻三角形的公共角在求和时可抵消，简化计算 整体求和：将所有三角形的内角和相加，减去公共角和非目标角的和，得到目标角的和 【例题7】.（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不变，理由见解析 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解图示，掌握角的和差计算是关键． （1）根据三角板的特点，三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）①根据题意得到，，由此即可求解； ②设，则，，，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； ②不变：理由如下： 设， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，且，为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为_____； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连接，结合三角形内角和定理表示出求解，即可解题； （2）根据平行线性质和角平分线定义，推出，再结合三角形内角和定理进行代换，即可解题； （3）结合三角形外角性质得到，，再结合角平分线定义得到，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解：（1）连接， 有， ， 故答案为：； （2）， . 平分， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ； （3）.（其他形式正确均可） 由（2）知， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想 的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，应用等式的性质进行推理等知识﹒ （1）根据三角形内角和定理得到，，根据即可证明； （2）由（1）得：，进而得到，根据角平分线定义得到，即可得到，从而求出； （3）由（1）得，根据，得到，，从而得到，结合即可得到． 【详解】（1）证明：在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3， 由（1）得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分的外角，平分的外角， ∴， ∴． 【题型8】角度计算的多结论判断题 1.期末考点总结 核心考点：三角形角度计算的综合应用、多结论的逐一验证、逻辑推理能力 考察要求：能对题干给出的多个角度结论进行逐一判断，确定正确结论的个数 2.解题技巧 逐一验证：对每个结论单独分析，避免结论之间的干扰 举反例：对错误结论，通过构造反例（如特殊三角形）证明其不成立 综合应用：结合角平分线、平行线、特殊三角形等多种性质，全面分析结论的正确性 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中， 分别平分，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （填序号即可）． 【答案】①②③④ 【详解】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故①正确； 故答案为：①②③④． 【变式题8-1】.（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，，、分别平分的外角、，连接．以下结论：；；；平分．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】由三角形外角的性质结合已知可得，根据平行线的判定定理，可判断，由角平分线的定义和三角形外角的性质，可判断，由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断，由等边对等角，结合角平分线的定义，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； 根据已知条件无法得出，故错误； ∵平分， ∴， 由得， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵，而， ∴，故错误； ∴正确的有个． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握是解题关键． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，、分别平分的内角、外角、外角以下结论：①；②；③ ；④；其中正确的结论有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，主要考查学生的推理能力，有一定难度． 根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确的有4个， 故选：C． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．①；②；③；④设，则其中正确的结论有（　　）个 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】①根据平分可对结论①进行判断； ②根据和①可对结论②进行判断； ③根据直线平分和对顶角相等，可对结论③进行判断； ④由①②得，再根据三角形内角和定理可求出对结论④进行判断； 本题主要考查了角平分线定义、平行线的判定与性质和三角形的内角和定理，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解： ①∵平分， ∴， 则①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， 则②正确； ③∵直线平分， ∴， ∵， ∴， 则③正确； ④∵， ∴由①②得， ∵， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则④不正确； 故选：C． 同步练习 一、单选题 1．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据直角三角形两锐角互余得出，利用平角的定义得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵重力的方向竖直向下，， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴． 故选：B． 2．如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，高线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟知各性质定理．先根据高线的性质和三角形内角和定理求出和的度数，根据角平分线的性质可求得的度数，从而得解． 【详解】解：是的高，，， ，， 是的角平分线， ， ． 故选：A． 3．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义． 由三角形外角的性质，结合角平分线的定义，可得，再依此类推得，，……，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， 整理得：， 同理可得， ∴． 当时，． 故选：B． 4．如图，是的外角，的平分线，且，，交的延长线于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形的外角，熟练地掌握角平分线的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据三角形的外角定理即可求出，根据角平分线的定义，可求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：B． 5．如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】  本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的 性质即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 7．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，当为直角三角形时，需分两种情况讨论：或，结合三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：在中，，根据三角形内角和定理，得， 情况一：若，如图， 在中，，则， 故； 情况二：若，如图， 则， 故答案为：或． 8．赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为，则太阳光和该晷面所夹锐角角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；设晷面与太阳光交于点A，延长交于E，日晷底座为，点N在的延长线上，由题意易得，，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解． 【详解】解：如图2，晷面与太阳光交于点A，延长交于E，日晷底座为，点N在的延长线上， 由题意得：， ∵晷面与赤道平行， ∴， ∵日晷底座与日晷所处地地球半径垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， 即太阳光与该晷面所夹锐角角度为， 故答案为：． 9．将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，平分，平分，，则 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 由角平分线的定义可得，即；再运用三角形内角和定义以及可知，即，最后再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 三、解答题 11．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出解答． （1）根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义得出，进而利用平行线的判定解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 12．如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证，再由角平分线的定义得出，等量代换即可得出． （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 13．如图，，是的两条高，且相交于点O． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的高的定义及外角的性质等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）由，是的两条高得出，即可得出，，从而得出结论； （2）先求出，利用外角即可求出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：，是的两条高， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ． 14．如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，利用三角形内角和定理求的度数即可；利用角平分线的定义得的度数，利用外角的性质得的度数． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， ∵平分， ∴， ∵于E， ∴， ∵， 又， ∴． 15．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 学科网（北京）股份有限公司 $