13.1三角形的概念 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.1 三角形的概念 学习目标 1. 知识与技能：理解三角形的概念，能正确识别三角形；掌握三角形的顶点、边、内角等有关概念；能按边和按角对三角形进行正确分类；能运用三角形的概念解决简单的三角形个数问题。 2. 过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，经历三角形概念的形成过程，发展抽象概括能力和空间观念。 3. 情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，培养严谨的学习态度和合作交流的意识。 知识点讲解 一、三角形的识别和有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 强调：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”是构成三角形的三个必要条件。 2. 三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 · 其中，A、B、C是三角形的三个顶点。 3. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。 · 在△ABC中，三条边分别为AB、BC、CA。 · 顶点A所对的边是BC，顶点B所对的边是AC，顶点C所对的边是AB。 · 三角形的边也可以用小写字母表示，通常把顶点A、B、C所对的边分别记作a、b、c。 4. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 · 在△ABC中，三个内角分别为∠A、∠B、∠C。 二、三角形的分类 三角形可以按照角的大小或边的关系进行分类。 1. 按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形叫做锐角三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角（即等于90°）的三角形叫做直角三角形。 · 直角三角形中，夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 · 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC记作“Rt△ABC”。 · 直角三角形的两个锐角互余（即两个锐角的和等于90°）。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（即大于90°且小于180°）的三角形叫做钝角三角形。 · 锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边分类： · 不等边三角形（或叫普通三角形）：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 · 在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。 · 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 · 等边三角形（或叫正三角形）：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 · 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。 三、三角形的个数问题 数图形中三角形的个数，通常需要按照一定的顺序（如从最小的三角形开始，或从某一条边开始）进行计数，做到不重复、不遗漏。常用的方法有： 1. 直接计数法：对于简单图形，直接观察并数出三角形的个数。 2. 分类计数法：将图形中的三角形按大小、形状或所处位置等进行分类，分别计数后再求和。 3. 公式法：对于一些有规律排列的图形，可以总结出数三角形个数的公式。 例题解析 例题1：三角形概念的辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 由三条线段组成的图形叫做三角形。 (2) 三角形有三个顶点、三条边、三个角。 (3) 锐角三角形的三个内角都是锐角。 (4) 直角三角形不可能是等腰三角形。 例题2：三角形的分类 指出下列三角形按角分属于哪一类三角形，按边分属于哪一类三角形（假设给出的角度或边长信息如下，实际题目会给出具体数值或关系）。 (1) 一个三角形的三个内角分别为 60°，60°，60°。 (2) 一个三角形的三个内角分别为 30°，60°，90°。 (3) 一个三角形的三条边分别为 4cm，5cm，4cm。 (4) 一个三角形的一个内角为 100°，另两个内角相等。 例题3：数三角形的个数 在一个由四条线段构成的“#”字形图形中（假设水平方向有一条线段，竖直方向有一条线段，两条线段相交且互相平分，形成四个小三角形），不含其他线段，请问图中共有多少个三角形？ 例题4：综合应用 已知一个三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边的长为整数，且这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长。 巩固练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是三角形的是（ ） A. 由三条线段组成的图形 B. 由不在同一直线上的三条线段组成的图形 C. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 D. 由三条直线首尾顺次相接所组成的图形 2. 三角形是（ ） A. 连接任意三点组成的图形 B. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C. 由三条线段组成的封闭图形 D. 以上说法都不正确 3. 一个三角形最多有（ ）个直角。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 等边三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 5. 下列关于直角三角形的说法中，正确的是（ ） A. 直角三角形的斜边不一定大于直角边 B. 直角三角形的两个锐角之和大于90° C. 直角三角形只有一条高 D. 直角三角形中，斜边最长 6. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 以上都不对 7. 一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 等腰三角形可能是直角三角形 B. 等边三角形是特殊的等腰三角形 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 直角三角形一定不是等腰三角形 9. 在一个已知的三角形中，它的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，且∠A > ∠B > ∠C，∠A = 2∠C，那么∠C的度数范围是（ ） A. 30° < ∠C < 45° B. 30° ≤ ∠C ≤ 45° C. 0° < ∠C < 30° D. 45° < ∠C < 60° 10. 一个三角形如果是轴对称图形，则这个三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 三角形有________个顶点，________条边，________个内角。 2. 一个三角形的最大内角是89°，这个三角形是________三角形（按角分）。 3. 一个三角形的三个内角都相等，这个三角形的每个内角都是________度，它是________三角形（按边分）。 4. 直角三角形中，一个锐角是35°，则另一个锐角是________度。 5. 等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角是________度。 6. 等边三角形的三条边都________，三个角都等于________度。 7. 在一个由5个点（其中任意三点不在同一直线上）构成的完全图（任意两点间都有线段连接）中，仅考虑以这些点为顶点的三角形，最多可以形成________个三角形。（提示：从5个点中选3个点） 8. 一个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，那么它的底角是________度。 9. 三角形按边的相等关系可分为________三角形和________三角形，其中________三角形又可分为腰和底边不相等的等腰三角形和________三角形。 三、解答题（本大题共4小题，共40分） 1. （8分）判断下列三角形按角分属于哪类三角形，并说明理由。 (1) 三个内角的度数分别为 40°，60°，80°。 (2) 一个内角为 120°。 (3) 三个内角的度数之比为 2:3:4。 (4) 有两个内角互余。 2. （10分）指出下列三角形按边分属于哪类三角形，并说明理由（假设给出以下边长信息）。 (1) 三边长分别为 5cm，5cm，5cm。 (2) 三边长分别为 3m，4m，5m。 (3) 三边长分别为 2dm，3dm，2dm。 (4) 三边长分别为 7cm，8cm，9cm。 3. （12分） (1) 已知等腰三角形的周长是18cm，其中一条边长为4cm，求另外两条边的长。 (2) 已知一个三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别为5和12，求这个三角形周长的最小值和最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1 三角形的概念 学习目标 1. 知识与技能：理解三角形的概念，能正确识别三角形；掌握三角形的顶点、边、内角等有关概念；能按边和按角对三角形进行正确分类；能运用三角形的概念解决简单的三角形个数问题。 2. 过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，经历三角形概念的形成过程，发展抽象概括能力和空间观念。 3. 情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，培养严谨的学习态度和合作交流的意识。 知识点讲解 一、三角形的识别和有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 强调：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”是构成三角形的三个必要条件。 2. 三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 · 其中，A、B、C是三角形的三个顶点。 3. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。 · 在△ABC中，三条边分别为AB、BC、CA。 · 顶点A所对的边是BC，顶点B所对的边是AC，顶点C所对的边是AB。 · 三角形的边也可以用小写字母表示，通常把顶点A、B、C所对的边分别记作a、b、c。 4. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 · 在△ABC中，三个内角分别为∠A、∠B、∠C。 二、三角形的分类 三角形可以按照角的大小或边的关系进行分类。 1. 按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形叫做锐角三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角（即等于90°）的三角形叫做直角三角形。 · 直角三角形中，夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 · 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC记作“Rt△ABC”。 · 直角三角形的两个锐角互余（即两个锐角的和等于90°）。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（即大于90°且小于180°）的三角形叫做钝角三角形。 · 锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边分类： · 不等边三角形（或叫普通三角形）：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 · 在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。 · 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 · 等边三角形（或叫正三角形）：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 · 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。 三、三角形的个数问题 数图形中三角形的个数，通常需要按照一定的顺序（如从最小的三角形开始，或从某一条边开始）进行计数，做到不重复、不遗漏。常用的方法有： 1. 直接计数法：对于简单图形，直接观察并数出三角形的个数。 2. 分类计数法：将图形中的三角形按大小、形状或所处位置等进行分类，分别计数后再求和。 3. 公式法：对于一些有规律排列的图形，可以总结出数三角形个数的公式。 例题解析 例题1：三角形概念的辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 由三条线段组成的图形叫做三角形。 (2) 三角形有三个顶点、三条边、三个角。 (3) 锐角三角形的三个内角都是锐角。 (4) 直角三角形不可能是等腰三角形。 解析： (1) 错误。理由：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“不在同一条直线上”和“首尾顺次相接”是必不可少的条件。 (2) 正确。理由：三角形是由三条边、三个顶点、三个内角构成的基本图形。 (3) 正确。理由：根据锐角三角形的定义，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 (4) 错误。理由：直角三角形中，如果两条直角边相等，那么这个直角三角形就是等腰直角三角形，它既是直角三角形也是等腰三角形。例如，两条直角边都为1的直角三角形，它是等腰三角形。 例题2：三角形的分类 指出下列三角形按角分属于哪一类三角形，按边分属于哪一类三角形（假设给出的角度或边长信息如下，实际题目会给出具体数值或关系）。 (1) 一个三角形的三个内角分别为 60°，60°，60°。 (2) 一个三角形的三个内角分别为 30°，60°，90°。 (3) 一个三角形的三条边分别为 4cm，5cm，4cm。 (4) 一个三角形的一个内角为 100°，另两个内角相等。 解析： (1) 按角分：三个角都是60°，均为锐角，所以是锐角三角形。 按边分：三个角都相等的三角形（等边三角形），三条边也相等，所以是等边三角形（特殊的等腰三角形）。 (2) 按角分：有一个角是90°，所以是直角三角形。 按边分：题目中未明确给出边的关系，但一般情况下，三个角分别为30°，60°，90°的三角形三边不相等（除非是特殊情况，但此处无信息），所以是不等边三角形（或普通三角形）。 (3) 按角分：题目中未给出角的度数，但根据边的关系无法直接判断角的类型（除非用余弦定理等，但七年级未学），所以仅按边分。 按边分：有两条边相等（4cm和4cm），所以是等腰三角形。 (4) 按角分：有一个角是100°，为钝角，所以是钝角三角形。 按边分：另两个内角相等，根据“等角对等边”（后续会学习），则这两个角所对的边也相等，所以是等腰三角形。 例题3：数三角形的个数 在一个由四条线段构成的“#”字形图形中（假设水平方向有一条线段，竖直方向有一条线段，两条线段相交且互相平分，形成四个小三角形），不含其他线段，请问图中共有多少个三角形？ 解析： 我们可以采用直接计数法，并按三角形的大小分类： · 小三角形：两条线段相交后形成的4个独立的小三角形。 · 较大三角形：由两个小三角形组成的三角形。观察图形，水平和竖直方向各能形成2个（上、下各一个，左、右各一个），共 2 + 2 = 4 个。 · 最大三角形：由四个小三角形组成的整个大三角形。这样的大三角形有 0 个（因为“#”字形两条线段互相平分，无法构成一个包含所有小三角形的大三角形）。 所以，总共有 4 + 4 = 8 个三角形。 例题4：综合应用 已知一个三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边的长为整数，且这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长。 解析： 因为这个三角形是等腰三角形，所以有两条边的长度相等。已知两边长为3和5，所以可能的情况有： 情况一：腰长为3，底边长为5。 此时，三角形的三边长分别为3，3，5。 需要验证这三条线段能否组成三角形：任意两边之和大于第三边。 3 + 3 = 6 > 5， 3 + 5 = 8 > 3， 3 + 5 = 8 > 3。 满足条件，能组成三角形。 周长为 3 + 3 + 5 = 11。 情况二：腰长为5，底边长为3。 此时，三角形的三边长分别为5，5，3。 验证能否组成三角形： 5 + 5 = 10 > 3， 5 + 3 = 8 > 5， 5 + 3 = 8 > 5。 满足条件，能组成三角形。 周长为 5 + 5 + 3 = 13。 因为第三边的长为整数，上述两种情况均符合。 所以，这个三角形的周长为11或13。 巩固练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是三角形的是（ ） A. 由三条线段组成的图形 B. 由不在同一直线上的三条线段组成的图形 C. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 D. 由三条直线首尾顺次相接所组成的图形 2. 三角形是（ ） A. 连接任意三点组成的图形 B. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C. 由三条线段组成的封闭图形 D. 以上说法都不正确 3. 一个三角形最多有（ ）个直角。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 等边三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 5. 下列关于直角三角形的说法中，正确的是（ ） A. 直角三角形的斜边不一定大于直角边 B. 直角三角形的两个锐角之和大于90° C. 直角三角形只有一条高 D. 直角三角形中，斜边最长 6. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 以上都不对 7. 一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 等腰三角形可能是直角三角形 B. 等边三角形是特殊的等腰三角形 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 直角三角形一定不是等腰三角形 9. 在一个已知的三角形中，它的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，且∠A > ∠B > ∠C，∠A = 2∠C，那么∠C的度数范围是（ ） A. 30° < ∠C < 45° B. 30° ≤ ∠C ≤ 45° C. 0° < ∠C < 30° D. 45° < ∠C < 60° 10. 一个三角形如果是轴对称图形，则这个三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 三角形有________个顶点，________条边，________个内角。 2. 一个三角形的最大内角是89°，这个三角形是________三角形（按角分）。 3. 一个三角形的三个内角都相等，这个三角形的每个内角都是________度，它是________三角形（按边分）。 4. 直角三角形中，一个锐角是35°，则另一个锐角是________度。 5. 等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角是________度。 6. 等边三角形的三条边都________，三个角都等于________度。 7. 在一个由5个点（其中任意三点不在同一直线上）构成的完全图（任意两点间都有线段连接）中，仅考虑以这些点为顶点的三角形，最多可以形成________个三角形。（提示：从5个点中选3个点） 8. 一个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，那么它的底角是________度。 9. 三角形按边的相等关系可分为________三角形和________三角形，其中________三角形又可分为腰和底边不相等的等腰三角形和________三角形。 三、解答题（本大题共4小题，共40分） 1. （8分）判断下列三角形按角分属于哪类三角形，并说明理由。 (1) 三个内角的度数分别为 40°，60°，80°。 (2) 一个内角为 120°。 (3) 三个内角的度数之比为 2:3:4。 (4) 有两个内角互余。 2. （10分）指出下列三角形按边分属于哪类三角形，并说明理由（假设给出以下边长信息）。 (1) 三边长分别为 5cm，5cm，5cm。 (2) 三边长分别为 3m，4m，5m。 (3) 三边长分别为 2dm，3dm，2dm。 (4) 三边长分别为 7cm，8cm，9cm。 3. （12分） (1) 已知等腰三角形的周长是18cm，其中一条边长为4cm，求另外两条边的长。 (2) 已知一个三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别为5和12，求这个三角形周长的最小值和最大值。 巩固练习参考答案 一、选择题 1. C 解析：三角形的定义强调不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接。A、B、D选项均不完整或错误。 2. B 解析：A选项忽略“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”；C选项忽略“不在同一直线上”；B选项正确。 3. B 解析：三角形内角和为180°。若有两个或三个直角，则内角和会超过180°，故最多有1个直角。 4. A 解析：等边三角形三个角都是60°，都是锐角，所以一定是锐角三角形。 5. D 解析：A选项，直角三角形中斜边一定大于直角边（直角所对边最长）；B选项，直角三角形两锐角和为90°；C选项，三角形有三条高；D选项正确。 6. B 解析：等腰三角形两边长为4和9。若腰长为4，则4+4=8 <9，不满足三角形三边关系。故腰长只能为9，底边长为4。周长为9+9+4=22。 7. B 解析：设三个内角分别为x，2x，3x。则x+2x+3x=180°，解得x=30°。三个角为30°，60°，90°，是直角三角形。 8. D 解析：等腰直角三角形既是直角三角形也是等腰三角形，故D错误。A、B、C均正确。 9. A 解析：设∠C = x，则∠A = 2x，∠B = 180° - 3x。 因为∠A > ∠B > ∠C，所以 2x > 180° - 3x > x。 由2x > 180° - 3x 得 5x > 180°，x > 36°。 由180° - 3x > x 得 180° > 4x，x < 45°。 所以36° < x < 45°，最接近的选项是A（30° < ∠C < 45°）。 10. B 解析：等腰三角形（包括等边三角形）是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边中线）所在直线。等边三角形是特殊的等腰三角形。 二、填空题 1. 3，3，3 解析：三角形的基本构成要素。 2. 锐角 解析：最大内角89°<90°，所以三个角都是锐角，是锐角三角形。 3. 60，等边（或正） 解析：三角形内角和180°，三个角相等，每个角为180°÷3=60°；三个角相等的三角形是等边三角形。 4. 55 解析：直角三角形两锐角互余。90° - 35° = 55°。 5. 40 解析：等腰三角形两底角相等。顶角 = 180° - 2×70° = 180° - 140° = 40°。 6. 相等，60 解析：等边三角形的性质：三条边相等，三个角都是60°。 7. 10 解析：从5个点中任选3个点可以构成一个三角形。组合数公式 C(5,3) = 5×4×3/(3×2×1) = 10。 8. 45 解析：既是等腰三角形又是直角三角形，则为等腰直角三角形。顶角为90°，两底角相等。底角 = ÷2 = 45°。 9. 不等边（或普通），等腰，等腰，等边 解析：三角形按边分类的体系。 三、解答题 1. 解： (1) 锐角三角形。理由：三个内角分别为40°，60°，80°，均小于90°，都是锐角。 (2) 钝角三角形。理由：有一个内角是120°，大于90°小于180°，是钝角。 (3) 锐角三角形。理由：设三个内角分别为2x，3x，4x。 2x + 3x + 4x = 180° 9x = 180° x = 20° 三个内角分别为40°，60°，80°，均为锐角。 (4) 直角三角形。理由：两个内角互余，即它们的和为90°，则第三个角为180° - 90° = 90°，是直角。 2. 解： (1) 等边三角形。理由：三条边都相等（均为5cm）。 (2) 不等边三角形（或普通三角形）。理由：三条边3m，4m，5m互不相等。 (3) 等腰三角形。理由：有两条边相等（2dm和2dm）。 (4) 不等边三角形（或普通三角形）。理由：三条边7cm，8cm，9cm互不相等。 3. 解： (1) 分两种情况讨论： ① 若4cm为腰长，则底边长为 18 - 4 - 4 = 10cm。 此时三边为4cm，4cm，10cm。 因为4 + 4 = 8 < 10，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以这种情况不成立。 ② 若4cm为底边长，则腰长为 (18 - 4)÷2 = 14÷2 = 7cm。 此时三边为7cm，7cm，4cm。 因为7 + 7 = 14 > 4，7 + 4 = 11 > 7，满足三角形三边关系。 所以，另外两条边的长均为7cm。 (2) 设第三边长为x，根据三角形三边关系： 12 - 5 < x < 12 + 5 7 < x < 17 因为x为整数，所以x可取8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16。 所以，三角形周长的最小值为 5 + 12 + 8 = 25， 三角形周长的最大值为 5 + 12 + 16 = 33。 学科网（北京）股份有限公司 $