专题01 三角形（5个知识点+9个核心考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材人教版

专题01 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 三角形的概念】 【三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示. 【三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【知识点2 三角形的边】 【三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【知识点3 三角形的中线、角平分线、高】 【三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【知识点4 三角形的内角】 【三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【知识点5 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点一：三角形中三边关系的应用 例1．若等腰三角形的周长是，一边长为，则腰长是（    ）． A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等腰三角形的定义分为腰和底边两种情况讨论，再利用三角形三边关系验证即可． 【详解】解：等腰三角形周长为，一边长为， 当为腰时，则另一腰为，底边为， ，能构成三角形，此时腰长为； 当为底边时，设腰长为，则，解得， ，能构成三角形，此时腰长为； 综上可知，腰长为或， 故选：B． 【变式1-1】已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案． 【详解】解： 分别为三角形的三边， ， ，， ， 解得：， 故选：A． 【变式1-2】现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解： 段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 【变式1-3】已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1)该三角形最短边的最小值4； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 考点二：与三角形中线有关的长度计算 例2.在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 【变式2-1】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 【变式2-2】在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 【变式2-3】已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【答案】的长为，的长度为 【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到，然后根据的周长比的周长大，得到，由的周长为，且，得到，联立方程组即可求解． 【详解】解：是中线， ， ， ， ， ，且， ， 联立， . 考点三：与三角形中线有关的面积计算 例3.如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决此题的关键． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 【变式3-1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式3-2】在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-3】如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系． 利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解． 【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 考点四：与三角形高线有关的计算 例4. 如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-1】如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ， D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．利用面积法求出，可得结论． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， 即． 考点五：与三角形中三线有关的角度计算 例5. 如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【变式5-1】如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据是高，求出，根据是角平分线，求出，进而求出的度数； （2）根据是高，是角平分线，证得和，据此进行证明即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 是高， 于点D， ， ， 是角平分线， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，是高，是角平分线， 于点D，，且， ， ， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，是的高，是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识点，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，由高的定义得，再根据直角三角形两锐角互余即可； （2）由角的和差可得，再结合角的平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 是的高， ， ． （2）解：∵， ． 平分， ， 在中，， ． 【变式5-3】已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据三角形的高的定义得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴ （2）证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ． 考点六：三角形中的角度计算与折叠问题 例6. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式6-1】如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质，分为在外和在内两种情况，利用角的和差求出的度数，然后根据折叠求出，然后根据角的和差解答即可． 【详解】解：当在外时，， 由折叠可得， ∴； 当在内时，， 由折叠可得， ∴； 综上所述的度数为或， 故答案为：或． 【变式6-2】如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分．现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．当线段的值最小时，若，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质以及两点之间线段最短，熟练掌握三角形外角性质和折叠前后角的对应关系是解题的关键．先根据两点之间线段最短确定、、共线时最小，再利用三角形内角和、外角性质以及折叠的性质，建立与的关系进行求解． 【详解】解：由两点之间线段最短得，当、、共线时最小，此时， ， ， ，， ， 由折叠可得，， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解： 沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 考点七：双角平分线模型 例7. 如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A． B． C．° D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理及角平分线定义是解题的关键． 运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵在中，°，且， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【变式7-1】在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，延长、交于点，由三角形内角和定理可得，由题意可得平分，平分，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长、交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得：平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ； 故选：C． 【变式7-2】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 【变式7-3】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、图形类规律探索，总结归纳出的度数规律是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，，进而得到，进一步得出，即可求出． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 同理可得：， ， …… ∴， ∴当时， 故答案为：． 考点八：8字模型 例8. 线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 【变式8-1】如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，令相交于点O， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ， ，， ， ． （2）解：，理由如下， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ，， ， ，即． 【变式8-2】平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （2）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （3）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点M， ∴，， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式8-3】在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质与三角形内角和定理是解决本题的关键． （1）根据“8字形”图形可得，，，再结合角平分线的性质可得，，，代入整理并求解即可． （2）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． （3）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∵分别平分和， ∴，， 则有，， 两式相减可得，， 即， ∵， ∴ （2）解： ∵直线平分的外角，平分的外角， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理可得，， ∵，， ∴， 将与两式作加法， ， ∵， ∴． （3）解：∵平分，平分的外角， ∴，， 又∵，， 又∵， ∵，， ∴，， ∴． 考点九：三角形中的角度综合计算 例9. 如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【变式9-1】已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． 【详解】（1）证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴． 【变式9-2】在中，，点D，E分别是边上的点，点F是直线上一动点，设，，． (1)如图1，若点F在线段上，且，求的度数； (2)若点F在线段的延长线上． （i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由； （ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）.理由见解析（ii）.理由见解析 【分析】（1）连接，利用三角形的外角的性质求解即可； （2）（i）利用三角形的外角的性质求解即可；（ii）利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 由三角形的外角性质，得，， ∴ （2）（i） 理由：如图2，设与相交于点G ∵， ∴ （ii） 理由：如图3，设与相交于点G ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 【变式9-3】如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，根据垂直定义得，根据直角三角形锐角性质得，根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得； （2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由： 由八字模型可得，和中， ． （3）解：．理由： 由四边形的内角和得， ． 1．等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是 ． 【答案】8或14 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：当8为腰长时，底边为14；当8为底边长时，腰为11．利用三角形三边关系检验，两种情况均成立，故底边长为8或14． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则周长为． 若一边长8为腰长，则，此时三边为8、8、14，满足，符合三角形三边关系． 若一边长8为底边长，则，此时三边为11、11、8，满足，符合三角形三边关系． 因此等腰三角形的底边长为8或14． 故答案为：8或14． 2．在可调躺椅示意图中，与的交点为，若，，，，为舒适需要调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 ． 【答案】/38度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角相等，补角定义， 延长交于点G，先根据补角定义求出，再根据三角形内角和定理及对顶角相等得，即可求出，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点G， ∵， ∴． ∵，且， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠的性质与平行线的性质，灵活结合折叠的全等性和平行线的角度关系是解题的关键．根据折叠的全等性得到对应角相等，再结合平行线的同位角相等，利用平角的度数关系，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 又由折叠而来， ， ， 即， ． 故答案为：． 5．如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于点．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．连接，先求出，再根据三角形中线的性质可得，，则可得，，建立方程，解方程可得的值，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：18． 6．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，作的平分线与的延长线交于点，与交于点Q，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ，， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 7．如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解二元一次方程组等知识点，正确理解三角形三边关系是解题的关键．分两种情况讨论，列方程组求解，根据三角形三边关系判断即可求解． 【详解】解：是边上的中线， ， 设, 则， 存在两种情况： ①， 则， 解得， 即， 则 此时符合三角形三边关系 ② 则 解得 即 则，与已知矛盾，不符合题意，舍去． 综上所述． 8．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 9．（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ； （2）不变，理由如下：    由（1）可知，， 是的外角， ， ， ； （3）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ． 10．【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 三角形的概念】 【三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示. 【三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【知识点2 三角形的边】 【三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【知识点3 三角形的中线、角平分线、高】 【三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【知识点4 三角形的内角】 【三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【知识点5 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点一：三角形中三边关系的应用 例1．若等腰三角形的周长是，一边长为，则腰长是（    ）． A． B．或 C． D． 【变式1-1】已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【变式1-2】现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1-3】已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 考点二：与三角形中线有关的长度计算 例2.在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【变式2-1】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【变式2-2】在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【变式2-3】已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 考点三：与三角形中线有关的面积计算 例3.如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-2】在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 【变式3-3】如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 考点四：与三角形高线有关的计算 例4. 如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式4-1】如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【变式4-2】如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【变式4-3】如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 考点五：与三角形中三线有关的角度计算 例5. 如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【变式5-1】如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 【变式5-2】如图，是的高，是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式5-3】已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 考点六：三角形中的角度计算与折叠问题 例6. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 【变式6-2】如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分．现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．当线段的值最小时，若，则 ． 【变式6-3】如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 考点七：双角平分线模型 例7. 如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A． B． C．° D． 【变式7-1】在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 【变式7-2】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【变式7-3】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 考点八：8字模型 例8. 线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    【变式8-1】如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 【变式8-2】平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【变式8-3】在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 考点九：三角形中的角度综合计算 例9. 如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【变式9-1】已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【变式9-2】在中，，点D，E分别是边上的点，点F是直线上一动点，设，，． (1)如图1，若点F在线段上，且，求的度数； (2)若点F在线段的延长线上． （i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由； （ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-3】如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 1．等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是 ． 2．在可调躺椅示意图中，与的交点为，若，，，，为舒适需要调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 ． 3．如图， ． 4．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则 ． 5．如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于点．若，则 ． 6．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 7．如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 8．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 9．（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 10．【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $