精品解析：湖北省荆州市监利市监利市二校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025年秋季学期九年级期末数学模拟训练 （本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10道题，每小题3分，计30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可． 【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意； B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意； C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意； D、太极曲线是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将所有的项都移到方程的左边，方程的右边为0，再得出二次项系数，一次项系数． 【详解】解：， ∴ 二次项系数为，一次项系数为． 故选：A． 3. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 刻舟求剑 B. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 C. 水溶解金属 D. 受精卵发生了基因突变 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； B、两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递，是必然事件，符合题意； C、水溶解金属，是不可能事件，不符合题意； D、受精卵发生了基因突变，是随机事件，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式大于或等于零，列不等式求解． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， 其中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故t的取值范围是． 故选：B． 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 6. 关于二次函数，下列说法正确是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9. 如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长和圆锥侧面展开图的认识，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，可求得结果，解题的关键是计算出侧面展开图的圆心角． 【详解】解：设大圆的半径为，则小圆半径为， ∴圆锥的底面圆周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴， ∴扇形圆心角等于， 只有选项D符合题意， 故选：D． 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题（共5道题，每小题3分，计15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 已知点A（a，2）与点A'（﹣3，b）关于原点对称，则ab＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后代入ab求值即可. 【详解】解：∵点A（a，2）与点A'（﹣3，b）关于原点对称， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴ab＝3﹣2＝． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标互为相反数. 13. 已知电流在一定时间段内正常通过每个电子元件的概率是．（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了树状图法求概率．画树状图，共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有1种， 、之间电流能够正常通过的概率为， 故答案为：； 14. 一元二次方程的两根是m和n，则的最大值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，得，得到，根据二次函数的性质解答即可． 本题考查了根与系数关系定理，二次函数的最值，熟练掌握最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， ∵， ∴有最大值，且1， 故答案为：1． 15. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9道题，计75分） 16. 解方程： （1）； （2）. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 由题意得，， 则， ∴， 即，； 【小问2详解】 ∴， 因式分解为， ∴， ∴ 【点睛】此题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 17. 已知关于x的一元二次方程，判断方程的实数根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握好判别式的计算公式是解题关键， 利用一元二次方程判别式公式计算出，根据结果判断方程的实数根的情况． 【详解】解：中，，，， ∴判别式， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 18. 如图，，平分，且交于点D，过点D作交于点C．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．先证明四边形平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得，推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵,， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 19. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，，见解析 （2）720人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 20. 如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，可求，当，则，可求，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意知，的图象与直线平行，如图，结合图象求解作答即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，或， ∴， 当，则，即， 设一次函数解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意知，的图象与直线平行， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，， ∴由图可知：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键． 21. 如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由推断出，根据圆周角定理可得，，通过证明，可证； （2）连接，根据垂径定理可得，，使用勾股定理计算出．由三角形的面积公式，可计算出，再次使用勾股定理计算出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵直径， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握好圆的基本性质是解题关键． 22. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】（1）230，45 （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； 【小问2详解】 解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 23. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：______． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，求当四边形关于直线对称、四边形为矩形这两种情况时，线段的长度分别是多少？简述理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）当四边形关于直线对称时，；当四边形为矩形时，；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，由可证，可得； （2）根据矩形的性质，通过证明，可证，即可求解； （3）①当四边形关于所在直线对称时，根据矩形的性质和轴对称的性质，证明，②当四边形为矩形时，根据矩形的性质和轴对称的性质，证明；然后根据相似三角形的性质和勾股定理即可解答． 小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当四边形关于所在直线对称时，如图3，此时交于点， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴ ，， ∴， ∴， ②当四边形为矩形时，如图4， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 综上所述，当四边形关于直线对称时，；当四边形为矩形时，． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2）①m的值为；②或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值； （2）①首先推导出A、B的坐标为，当时，，求出m的值，当时，，求出m的值，再结合题意确定符合条件的m值即可； ②分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别根据（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，求得n的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 ①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴； 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级期末数学模拟训练 （本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10道题，每小题3分，计30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 刻舟求剑 B. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 C. 水溶解金属 D 受精卵发生了基因突变 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共5道题，每小题3分，计15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 已知点A（a，2）与点A'（﹣3，b）关于原点对称，则ab＝_____． 13. 已知电流在一定时间段内正常通过每个电子元件的概率是．（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是_________． 14. 一元二次方程的两根是m和n，则的最大值为_______． 15. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 三、解答题（共9道题，计75分） 16. 解方程： （1）； （2）. 17. 已知关于x的一元二次方程，判断方程的实数根的情况，并说明理由． 18. 如图，，平分，且交于点D，过点D作交于点C．求证：四边形菱形． 19. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 20. 如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围． 21. 如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 23. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：______． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）条件下，点在对角线上运动，求当四边形关于直线对称、四边形为矩形这两种情况时，线段的长度分别是多少？简述理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $