精品解析：湖北省荆州市监利市监利县汴河镇赤卫初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

赤卫中学2024-2025学年度九年级第一次月考 数学试卷 考试范围：一元二次方程，二次函数图象与性质 考试时间：120分钟； 一、选择题（30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；形如叫做一元二次方程的一般式． 【详解】解：A、含有两个未知数，该选项是错误的； B、的未知数的最高次数是3，该选项是错误的； C、未知数的最高次数是1，且不是整式，该选项是错误的； D、是一元二次方程，该选项是正确的； 故选：D 2. 方程的解是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：方程分解因式得：， ， 故选：C 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数中，当时开口向下，当时开口向下 ，据此解答即可． 【详解】解： ∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故答案为：D． 4. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜2 C. m≥2 D. m≤2 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程有实根,即△,解不等式即可. 【详解】∵x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根， ∴△=4-4·（m-3） 解得：m≥2, 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数问题,属于简单题,会求△是解题关键. 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是． 故选D． 6. 在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A. （32﹣x）（20﹣x）=135 B. 4（32﹣x）（20﹣x）=135 C. D. （32﹣x）（20﹣x）﹣x2=135 【答案】C 【解析】 【分析】将阴影部分推至左上角,计算空白部分面积即可. 【详解】如下图, 将道路推至左上角,形成新矩形田地, ∵道路宽为x米， ∴新矩形田地长为（32-x）,宽为（20-x）, ∵每小块试验田的面积为135m2，即新矩形面积为4135, ∴（32-x）（20-x）=4135, 整理得 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,平移道路形成新的矩形是解题关键. 7. 若关于x的方程有一个根为则另一个根为　　 A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将x=2代入方程求出参数m,再重新解方程即可. 【详解】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2． 将x=2代入方程得,m=1, ∴原方程为x2+x﹣6=0 解得：x1=-3,x2=2 ∴方程另一个根-3, 故选D, 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,代入求m的值是解题关键. 8. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 9. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，二次函数的对称轴，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，理解最值的意义是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质即可求出答案． 【详解】∵抛物线的图象开口向下 ∴ ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴ ∴，故②正确； 由图象可得，当时，，故③正确． 综上所述，其中正确的结论有3个． 故选：D． 二、填空题（15分） 11. 已知关于x的函数y＝（a﹣1）x2﹣3x+6是二次函数，则a满足的条件是___． 【答案】a≠1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：根据二次函数定义，得：a﹣1≠0， 解得：a≠1， 故答案为：a≠1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次项系数不为0是解题的关键． 12. 已知等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为_____． 【答案】15． 【解析】 【分析】解方程,分类讨论腰长,即可求解. 【详解】解：x2﹣9x+18=0得x=3或6, 分类讨论：当腰长为3时,三边为3、3、6此时不构成三角形,故舍, 当腰长为6时,三边为3、6、6,此时周长为15. 【点睛】本题考查了解一元二次方程和构成三角形的条件,属于简单题,分类讨论是解题关键. 13. 写一个开口向下，顶点坐标为的二次函数表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用顶点式可写出其解析式，且保证a小于0即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 取，二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质以及顶点式，即二次函数中，当时抛物线开口向下，顶点坐标为．熟记公式是解题的关键． 14. 规定一种新运算a※b=a2﹣2b，如1※2=﹣3．若x※（﹣2）=6，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：x2﹣2×（﹣2）=6，然后移项，合并同类项，再用直接开平方法可解得答案． 【详解】解：根据题意得：x2﹣2×（﹣2）=6，x2+4=6，移项得：x2=2，∴x=±． 故答案为±． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据题意列出方程． 15. 如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动_________秒时，它们相距？ 【答案】9或12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：， ∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米； 故答案为：9或12． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解的方法求解方程即可； （2）利用因式分解的方法求解方程即可． 小问1详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， 原方程可化为， 因式分解，得， 即， 于是得或， ∴． 17. 设为实数，求代数式的最小值． 【答案】1 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为1． 【点睛】本题考查配方法的应用、平方式的非负性，熟记完全平方公式，重新组合利用公式求解是解答的关键． 18. 如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 【答案】（1）一元二次方程是凤凰方程，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 故一元二次方程是凤凰方程； 【小问2详解】 解：由题意得：， 是关于x的凤凰方程， ， 即， 解得：． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值． 【答案】（1）m≥4 （2）m=4 【解析】 【详解】试题分析：（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；（2）直接利用根与系数的关系解答． 试题解析：（1）由题意得，△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≥4；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0的两个实数根为x1，x2，∴x1x2=2m+1，x1+x2=6，∴x1x2+x1+x2=2m+1+6=15，解得m=4． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． 求： （1）当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ （2）围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”。 （1）设花圃的一边为，的长可用含x的代数式表示为，令该面积等于63平方米，求出符合题意的x的值，即是所求的长； （2）不能，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即不能围成80平方米的花圃． 【小问1详解】 解：设花圃的一边为，的长可用含x的代数式表示为， 依题意有， 解得； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 故当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不能围成的花圃． 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）解析式为，顶点坐标为 （2）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质； （1）用待定系数法即可求得解析式，再解析式配方即可求得顶点坐标； （2）首先验证P是顶点时是否满足题意，再考虑点P在x轴上方时的情况即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 解析式配方得， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴顶点到x轴距离为4， 则，表明点P是抛物线的顶点时，也满足， ∴点P坐标为； 当点P在x轴上方时，设，其中， ∵， ∴，即， 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或． 22. 某商场经营一种成本为每千克40元的产品． （1）已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率． （2）经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？ 【答案】（1）月份该产品销售的月平均增长率为 （2）销售该产品时每千克应涨30元 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解题的关键． （1）设月份该产品销售的月平均增长率为x，列方程并解方程即可解决； （2）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，结合月销售利润=每件利润×数量即可列出方程，解方程即可； 【小问1详解】 解：设月份该产品销售的月平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去）， 答：月份该产品销售的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售该产品时每千克应涨y元, , 解得：， 当时，月销售成本为，不合题意舍去， 当时，月销售成本为，符合题意， ∴， 答：销售该产品时每千克应涨30元． 23. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键． （1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解； （2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴设抛物线顶点式为：， ∵二次函数的图象过， 代入抛物线解析式得：， 解得：， 故二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，其中，对称轴为直线， ∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大， 又∵到直线的距离大于到直线的距离，且当时，，当时，， ∴当时，函数值的取值范围是． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点 、，其顶点为． （1）求抛物线解析式． （2）求的面积． （3）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点 D ，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3）最大值为2.25，此时 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法、三角形的面积公式解二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出、的坐标，再根据待定系数法求解； （2）求得的解析式为，得，根据三角形的面积为求解； （3）先求得的解析式，设点，则，求出长度的表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴，， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 由抛物线的顶点式得：， 设的解析式为：， 则， 解得：， ∴的解析式为：， 令与轴交于点， 当时，， 解得：，则， ∴的面积为：； 【小问3详解】 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴的解析式为：， ∴点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴， 设点，（） 则， ∴， ∴当时，有最大值，为2.25， ， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 赤卫中学2024-2025学年度九年级第一次月考 数学试卷 考试范围：一元二次方程，二次函数图象与性质 考试时间：120分钟； 一、选择题（30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. ， B. C. D. 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜2 C. m≥2 D. m≤2 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 在宽为20m，长为32m矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A. （32﹣x）（20﹣x）=135 B. 4（32﹣x）（20﹣x）=135 C D. （32﹣x）（20﹣x）﹣x2=135 7. 若关于x的方程有一个根为则另一个根为　　 A. B. 2 C. 4 D. 8. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（15分） 11. 已知关于x的函数y＝（a﹣1）x2﹣3x+6是二次函数，则a满足的条件是___． 12. 已知等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为_____． 13. 写一个开口向下，顶点坐标为的二次函数表达式________． 14. 规定一种新运算a※b=a2﹣2b，如1※2=﹣3．若x※（﹣2）=6，则________． 15. 如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动_________秒时，它们相距？ 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 设为实数，求代数式的最小值． 18. 如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． 求： （1）当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ （2）围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 22. 某商场经营一种成本为每千克40元的产品． （1）已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率． （2）经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？ 23. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值的取值范围． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点 、，其顶点为． （1）求抛物线的解析式． （2）求面积． （3）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点 D ，求线段的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$