江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年高二上学期第四次月考数学试卷

九江市匡庐星瀚高级中学第四次月考 高二数学试题 考试时长:120分钟 满分：120分 命题人：冯唐城 审题人：教科室 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．二项式 展开式中， 常数项为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A．9 B．5 C． D． 5．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 7．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 8．直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数的和为 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中奇数项的系数的和为 11．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．当轴时，取最小值 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12设圆方程为，则圆的面积为 ． 13.知椭圆的离心率，则实数 ． 14已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15计算： (1)； (2)； (3)； (4). 16．请列出式子并计算出答案 （1）.4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 （2）.现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 （3）.某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 17．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 18．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 19．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市匡庐星瀚高级中学第四次月考 高二数学试题 考试时长:120分钟 满分：120分 命题人：冯唐城 审题人：教科室 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线的斜率，再根据求解. 【详解】直线方程化为斜截式：，斜率. 设倾斜角为，， 由，得，所以. 故选：A 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两向量平行的坐标关系，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B. 3．二项式 展开式中， 常数项为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由二项式定理计算即可求解. 【详解】 令，解得， 则常数数为 故选：B 4．若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A．9 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程求得准线方程求解. 【详解】由抛物线方程可得其焦点在轴正半轴上，且，解得， 故其准线方程为，又点的纵坐标为1， 则点到准线的距离为 . 故选：D. 5．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】如图，连接，    则. 故选：C 6．直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在椭圆上， 所以有，两式相减可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率k，所以直线的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D 7．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 8．直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围. 【详解】由圆的方程知，圆心，半径， 圆心到直线即的距离， ， 变形整理得，即，解得， 的取值范围是， 故选：D 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 10．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数的和为 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中奇数项的系数的和为 【答案】AD 【分析】由题意可得，可求得，利用二项式展开式的性质，结合赋值法逐项判断即可. 【详解】因为的展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以共有项，又项数为，所以，故A正确； 因为，所以展开式中所有项的二项式系数的和为， 由二项式的性质可知所有偶数项与奇数项的二项式系数和相等， 所以展开式中偶数项的二项式系数的和为，故B错误； 令，可得， 即，故C错误； 令，可得，即， 所以，所以， 所以展开式中奇数项的系数的和为，故D正确. 故选：AD. 11．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．当轴时，取最小值 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】AD 【分析】选项A：根据标准方程为的抛物线的准线方程是判断；选项B：设P点坐标，由抛物线定义表示，结合P点坐标的范围，即可求的最小值；选项C：数形结合，P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误； C：作图分析： 当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的下面，故A在抛物线外部， 故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C错误； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得， ，即点M到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选:AD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12设圆方程为，则圆的面积为 ． 【答案】 【分析】将方程化为标准式，进而可得半径和面积. 【详解】因为圆方程为，即， 可知圆的半径，所以圆的面积为. 故答案为；. 13.知椭圆的离心率，则实数 ． 【答案】10 【分析】对焦点的位置进行分类讨论，根据离心率的定义结合方程运算求解. 【详解】显然，即，， 则， 可得； 故答案为：10 14已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求向量的坐标，利用向量方法求点到直线的距离． 【详解】如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 即，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)126 ； (2)1680； (3)72； (4)120 . 【分析】（1）根据组合数的计算公式求解即可； （2）根据排列数的计算公式求解即可； （3）根据排列数的计算公式求解即可； （4）根据组合数的计算公式及组合数的性质求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 16．请列出式子并计算出答案 （1）.4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 （2）.现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 （3）.某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 【答案】81；294；90 【分析】（1）.根据分步乘法计数原理判断，（2）.分选中甲与不选中甲两类求解判断，（3）.根据定序消去法判断. 【详解】（1）.根据分步乘法计数原理，有种； （2）.①选的3人中无甲：种； ②选的3人中有甲：种， 总计种； （3）.由定序问题消序法得共有种. 17．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干条件，利用全概率公式即可得到答案； （2）根据题意利用贝叶斯公式即可求解． 【详解】（1）设事件表示“取到的产品为正品”，，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知，，， ，，． 由全概率公式得：． （2）由贝叶斯公式得． 18．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点与点P重合或点与点重合 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，证明四边形为平行四边形进而得到，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （3）假设存在，利用向量方法求解即可. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，   与为等腰直角三角形且， 不妨设，，. 分别为的中点， ，且. ，， ，，∴四边形为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB； （2）平面， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则， ， 设平面的一个法向量为 ，即，得 设平面得一个法向量， ∴，即，得 ∴ ∴平面与平面所成角的余弦值为 （3）设平面的一个法向量为， ，由（2）得， 取，，. 假设存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为， 设， ∴， 设直线与平面所成角为， 则 ， 整理得，解得或，此时点与点重合或与点重合， 所以，当点与点P重合时或点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值为. 19．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 试卷第12页，共12页 试卷第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $