精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025-2026学年高二上学期数学期末测试卷

2025—2026年泸溪县一中高二数学期末测试卷 一、单选题 1. 已知集合，则下列结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析集合A与集合B中元素的差异，即可得解. 【详解】因为， 所以，即等价于， 所以集合比集合少一个元素， 所以，，正确，错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的包含关系，并集，补集运算，属于中档题. 2. 函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的数据即可得出答案. 【详解】由函数的数据可知，函数， 偶函数满足此性质，可排除B，D； 当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C. 故选：A. 3. 已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ） A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 【答案】D 【解析】 【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项. 【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线. 故选：D. 4. 已知、是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的、，都有成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（ ） A. ，x取任意实数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“平缓函数”的定义，逐项判断. 【详解】对于，且， 则， 不符合题意，选项A错误； 对于，且， ， 不符合题意，选项B错误； 对于，且，则， ， 不符合题意，选项C错误； 对于，且，则， 符合题意，选项D正确. 故选：D. 5. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，则过的平面截四棱锥所得截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，连接，取的中点，取的中点，连接交于，由得，而平面，所以平面，连接，则即为过截四棱锥的截面，分别求可得答案. 【详解】 取中点，连接，根据三角形中位线的性质有,，又平面，平面，所以平面， 取的中点，取的中点，连接交于，即为上离近较近的四等分点，所以，所以，而平面，所以平面，连接，则即为过截四棱锥的截面， 设交于，因为底面，底面， 所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以， ，， ， 面积为. 故选：C. 6. 若函数的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为的“友情点对”，点对与看作同一个“友情点对”，若函数，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义可知满足方程在上有两个解.分离参数并构造函数,利用导数求得函数的极值点与极值,画出函数图像,即可判断的图像与有两个交点时的取值范围. 【详解】根据“友情点对”的定义,可知函数,恰好有两个“友情点对”,则满足在上有两个解 即在上有两个解 令 则 令,解得 当时,,即在内单调递减; 当时,,即在内单调递增 当时,,即在内单调递减 所以在时取得极小值, 在时取得极大值, 且,函数图像如下图所示: 由图可知,当,若有两个交点 则 故选:A 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,方程与函数的关系,构造函数并利用导数求函数的极值点与极值,数形结合法的应用,属于难题. 7. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，即对恒成立. 设，则. 令得，令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，. ∵对恒成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知定义在上的函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据基本等式求出最小值，不等式转化为解不等式，构造函数，由条件可得，转化为与相关的函数，通过求导可得，即在是减函数，即可解不等式. 【详解】， 当且仅当时，等号成立. 所求不等式转化为，设， ， ， 得， 设， 令，当时，， 当时，时取得极大值， 即为最大值为， 在是减函数，等价于， . 故选:B 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键是构造函数，利用导数研究函数的单调性，属于难题. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A不正确； 令，解得， 即函数的定义域为，所以B正确； 令，解得， 当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确； 由，可得，根据正切函数的性质，可得函数在上单调递增，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 若在上存在两个极值点，则的取值范围是 C. 当时，函数至少有一个零点 D. 存在实数，使函数在区间上有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导函数分析函数单调性，结合零点存在定理可得到零点个数；对于B，利用导函数将极值点转化成方程的根，通过分析一元二次方程的根的情况求出的取值范围；对于C，利用导函数求极值点，结合韦达定理分析极值点的位置，利用零点存在定理分析零点个数；对于D，利用已知条件，分类讨论在不同取值范围时，求函数的单调性和最大值. 【详解】对于A，若，则，， 令，可得，， 所以，函数在，上单调递增，在上单调递减， 又，，且，由函数零点存在定理可得，函数在上有唯一零点，故A错误； 对于B，，若在上存在两个极值点，则且在上有两个不相等的实数根， 当时，则有，即，解得， 当时，则有即，此不等式组无解. 综上，的取值范围为，故B正确； 对于C，由于，令，得， 若，则， 设方程的两根分别为，由根与系数的关系可得， 不妨设，，于是在，上单调递增，在上单调递减， 由，可得，又，所以在上必有一个零点，故C正确； 对于D，由C选项可知，若，则在处取得极大值， 所以函数在上可能单调递减，可能先单调递减再单调递增，可能单调递增，都取不到最大值； 若，则在上单调递减，取不到最大值； 当时，令，则， 设方程的两根分别为，由根与系数关系可得，所以， 不妨设，则在，上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上取不到最大值； 当时，，则且不恒为0，在上单调递减，所以在上取不到最大值. 综上所述，符合条件的是不存在的，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据频率计算人数即可. 【详解】根据频率分布直方图得 该校的学生成绩不低于60分的学生人数为. 故答案为： 13. 已知函数，若函数有两个零点，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】若函数有两个零点， 则 ，即有两个实数解， 则函数与函数的图象有两个交点， 作出图象如下： 由图象知，当，即时， 函数与函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点， 所以的范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，当时，函数在点处的切线方程为________；若对恒成立，则实数a的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①运用导数几何意义求得斜率，进而求得切线方程. ②将问题转化为，恒成立，构造函数，，研究其单调性进而得到，恒成立．运用导数求的最小值即可. 【详解】①当时， ， 则， ∴，， 所以函数在点处的切线方程为， 即． ②因为，，即，则，恒成立． 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故，得，即，恒成立． 记， 则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的最小值是， 故，即实数a的最大值是e． 故答案为：①.②e. 【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；②比商型，如可以同构成，进而构造函数；③和差型，如，同构后可以构造函数f或. 四、解答题 15. 一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下： 486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 （1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？ （2）质量位于与之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？ 【答案】（1）平均质量，标准差；（2）14袋， 66.67%. 【解析】 【分析】 （1）根据均值定义计算均值，根据方差公式计算出方差，然后得标准差． （2）直接计数即可得．然后计算所占百分比即可． 【详解】（1）平均质量，标准差. （2）质量位于与之间等于在区间上的白糖的袋数，共有14袋，所占的百分比为66.67%. 【点睛】本题考查平均值与标准差的计算．标准差（方差）反映了数据的偏移程度． 16. 如图，正方体边长为分别为中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1） 证明：连接， ∵分别为中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）45° 【解析】 【分析】（1）连接，根据，结合判定定理即可证明； （2）根据题意，是两异面直线与所成角或其补角，再求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴是两异面直线与所成角或其补角， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴两异面直线与所成角的大小为45°． 17. 如图，平行四边形的四个顶点分别在空间四边形的边上，求证：平面． 【答案】 ∵EH∥FG，EH平面BCD，FG平面BCD， ∴EH∥平面BCD． 又EH平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD，∴EH∥BD． 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH． 【解析】 【分析】要证平面只要证明．由已知，可得到平面，再由线面平行的性质定理即可得，从而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理与性质定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 18. 已知定义在上的偶函数和奇函数． （1）求的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）分别由奇偶函数的定义得，对于恒成立，即可求解； （2）由原不等式恒成立可得对恒成立，令，可得，，可转化为，恒成立，求得最大值即可； （3）由题意可得在上恰有一个实根，令，则，在上恰有一个实根，分别讨论、 时，由二次函数根的分别即可求解. 【详解】（1）因为是上的偶函数， 所以，即 可得，因为不恒成立， 所以对于恒成立，可得， 因为是上的奇函数， 所以， 即，因为不恒成立， 所以，可得， 所以，； 所以， （2）对恒成立， 即对恒成立， 令，为增函数，， ， 可得，，可得，恒成立． 而在上单调递减， 所以， 的取值范围为 （3）在恰有一个实根， 即，即在上恰有一个实根， 令，则，在上恰有一个实根， 当时，得，由可知无解； 当时， 因为，则有或，解得， 综上取值范围为 【点睛】思路点睛：若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线关于点中心对称； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为； （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图象上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年泸溪县一中高二数学期末测试卷 一、单选题 1. 已知集合，则下列结果错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A. B. C. D. 3. 已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ） A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 4. 已知、是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的、，都有成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（ ） A. ，x取任意实数 B. C. D. 5. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，则过的平面截四棱锥所得截面面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为的“友情点对”，点对与看作同一个“友情点对”，若函数，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（ ） A. B. C. 7 D. 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 若在上存在两个极值点，则的取值范围是 C. 当时，函数至少有一个零点 D. 存在实数，使函数在区间上有最大值 三、填空题 12. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为_______. 13. 已知函数，若函数有两个零点，则的范围是_____ 14. 已知函数，当时，函数在点处的切线方程为________；若对恒成立，则实数a的最大值为__________． 四、解答题 15. 一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下： 486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 （1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？ （2）质量位于与之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？ 16. 如图，正方体边长为分别为中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 17. 如图，平行四边形的四个顶点分别在空间四边形的边上，求证：平面． 18. 已知定义在上的偶函数和奇函数． （1）求的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线关于点中心对称； （3）若当且仅当，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $