精品解析：云南省曲靖市马龙区2026届高三上学期期中统一考试数学试题

马龙区2025年秋季学期高三期中统一考试测试卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 4. 某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A. 4077 B. 5436 C. 1359 D. 2718 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为和，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（ ） A. 这组数据的平均数为6 B. 这组数据的方差为16 C. 这组数据的极差为11 D. 这组数据的第70百分位数为7 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含的项 D. 二项式系数最大的项是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 的单调递增区间为和 C. 恰有一个零点 D. 的极大值大于极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 13. 在中，内角所对的边分别为，且，若，则的面积的最大值为__________. 14. 已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取 100 名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为 100 分，其中 80 分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有 10 名，成绩一般的学生中男生有 40 名，得到如下的列联表． 性别 考试成绩 合计 优秀 一般 男生 10 40 女生 合计 （1）根据上述数据，完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与 “性别” 是否有关? （2）从考试成绩在中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在的学生数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，（其中） 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：． 19. 已知抛物线为的焦点，在上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与交于两点（分别位于直线的两侧），且直线的斜率之和为0， （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马龙区2025年秋季学期高三期中统一考试测试卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得. 【详解】，. 故选：A． 3. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 由，得，解得. 故选：C 4. 某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A. 4077 B. 5436 C. 1359 D. 2718 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得. 【详解】 由正弦定理可得，， 又，所以， 不妨设， 所以由余弦定理得． 故选：D． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得. 【详解】由，得，解得，又， 所以. 故选：B 7. 素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为，则银杯内壁的表面积， 得. 故选：A 8. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为和，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出两点关于原点对称，设出的坐标，根据，可知是中点，两点关于原点对称，直线的斜率列方程，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】，设，则， 则， ， . 故选：C 【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（ ） A. 这组数据的平均数为6 B. 这组数据的方差为16 C. 这组数据的极差为11 D. 这组数据的第70百分位数为7 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知的这组数据，利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数即可. 【详解】对A，这组数据的平均数为：，故A选项正确； 对B，这组数据的方差为：，故B选项错误； 对C，这组数据的极差为：，故C选项错误； 对D，由，则第70百分位数是第5个数7，故D选项正确. 故选：AD. 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含的项 D. 二项式系数最大的项是 【答案】BC 【解析】 【分析】展开式共项可判断A；写出通项可判断BC；利用二项式系数的性质可得最大，再利用通项即可判断D. 【详解】因，则展开式共有项，故A错误； 通项为， 令，得，则，故B正确； 令，得，不符合题意，故没有含的项，则C正确； 由二项式系数的性质可知最大，故二项式系数最大的项是，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 的单调递增区间为和 C. 恰有一个零点 D. 的极大值大于极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性判断A，B，再应用单调性及最值判断C，应用极值判断D. 【详解】由题意知的定义域为， ． 令，解得或． 所以当或时，，此时在和上单调递减， 当或时，，所以的单调递增区间为和，故A错误，B正确； 因为当时，，所以在上恰有一个零点， 当时，，所以在上无零点，综上，恰有一个零点，故C正确； 在处取得极大值为，在处取得极小值为，即的极小值大于极大值，即D错误， 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解析求出定点，再将点的坐标代入到幂函数中去可求得结果. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点， 设幂函数，则，解得， 所以． 故答案为：. 13. 在中，内角所对的边分别为，且，若，则的面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求出角，再由基本不等式及三角形面积公式即可求解. 【详解】由，可得， 所以，因为，所以， 因为，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以 故的面积的最大值为， 故答案为： 14. 已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】首先利用两点距离公式求出 动点的轨迹，然后根据弦长和半径求出圆心到直线的距离，最后根据点到直线距离公式求出直线的方程. 【详解】设，因为，所以 ，化简得. 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离为， 解得，所以直线的方程为或. 即或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于与的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设数列的公差为d， 由题意可得，解得， ∴. 【小问2详解】 由（1）可知， ∴． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，所以， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直性质定理可得平面，可得，进而由已知可得，可证平面，可证结论； （2）连接，可证两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为， 所以，又， 所以是二面角的平面角， 又平面平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，平面，又平面， 所以，且， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取 100 名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为 100 分，其中 80 分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有 10 名，成绩一般的学生中男生有 40 名，得到如下的列联表． 性别 考试成绩 合计 优秀 一般 男生 10 40 女生 合计 （1）根据上述数据，完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与 “性别” 是否有关? （2）从考试成绩在中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在的学生数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，（其中） 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 性别 考试成绩 合计 优秀 一般 男生 10 40 50 女生 18 32 50 合计 28 72 100 “考试成绩优秀”与 “性别”无关 （2）分布列： 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合已知可得列联表，计算的值，可得结论； （2）根据分层抽样的比例可得抽取的考试成绩在的学生人数，确定的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期望. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可得考试成绩优秀的总人数为， 其中女生的人数为18，考试成绩一般的人数为72，其中女生的人数为， 则列联表为 性别 考试成绩 合计 优秀 一般 男生 10 40 50 女生 18 32 50 合计 28 72 100 零假设：考试成绩优秀与性别无关． ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即认为“考试成绩优秀”与“性别”无关． 【小问2详解】 根据频率分布直方图可得考试成绩在的学生人数分别为20，8， 利用分层随机抽样抽取7名学生中的成绩在的人数分别为5，2， 则的所有可能取值为0，1，2， 则， 则的分布列为 0 1 2 P ∴． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2） 设（），则， ， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 恒成立， 由可知， 所以（）， 设（），则， ， 所以当时，，单调递增，， 所以单调递增，， 所以． 【解析】 【分析】（1）求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可. （2）求，运用放缩可得，设，求导可得，结合基本不等式可得，从而可得单调性，进而可证得结果. 【小问1详解】 解：当时，，则， 又，所以，即， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式常见方法： （1）将不等式转化为函数的最值问题： 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． （2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较： 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． （3）适当放缩证明不等式： 导数方法证明不等式中，最常见的是和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1) ，当且仅当时取等号．(2)，当且仅当时取等号． 19. 已知抛物线为的焦点，在上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与交于两点（分别位于直线的两侧），且直线的斜率之和为0， （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求的面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出抛物线的方程. （2）（ⅰ）求出点的坐标，利用斜率坐标公式计算即得；（ⅱ）设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出三角形面积的函数，利用导数求出最大值即得. 【小问1详解】 抛物线的准线为，由抛物线的定义得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）将代入的方程，解得，而，解得， 设，则直线斜率为， 点，则直线斜率为，同理得直线斜率为， 依题意，，解得， 所以直线的斜率为. （ii）设直线，由消去x得， 显然，， 由，分别位于直线两侧，得，，解得， ， 点到直线的距离，面积为， 设，，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $