精品解析：辽宁省大连市中山区2025—2026学年上学期期末考试九年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 4. 如图，在中，．若，，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角函数，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：D． 5. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线顶点式的顶点坐标为，直接代入求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 6. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正六边形性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 7. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到160次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 8. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质及补角性质，由圆周角定理得，进而根据圆内接四边形的性质及补角性质可得，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点和函数特殊值对应的图象位置是解题的关键．通过二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合函数表达式的特殊值，逐一判断选项． 【详解】解：∵图象开口向上，∴； ∵对称轴，∴； ∵图象与轴交于负半轴，∴； ∴，故A项错误． ∵图象与轴有2个交点，∴，故B项错误． ∵当时，，且图象过，∴，故C项正确． ∵当时，，且图象过上方，∴，故D项错误． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：B． 第二部分 选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的运算．利用特殊角的三角函数值得到，然后进行二次根式加法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 13. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由得到，由与的面积比是得到与的相似比为，由相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的面积比是， ∴与的相似比为， ∴， ∴． 故答案为：16． 14. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键．利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 15. 如图，中，，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题 的关键． 过点D作，交的延长线于点E，则，由旋转得到，，从而可得，因此，，再在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，则， ∵将边绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或树状图的方法求两次取出的小球的标号相同的概率． 【答案】两次取出的小球的标号相同的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或者树状图法． 根据题意用列表法得出共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，即可得． 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可以看出，两次摸球可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，两次取出小球的标号相同的结果有4种，即，，，， ∴． 17. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？ 【答案】楼高是10.5m 【解析】 【分析】证明，由相似三角形的性质可知，然后结合题意代入数值求解即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：楼高是10.5m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键． 18. 如图，A，P，B，C是上四个点，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得，，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：， ，， 是等边三角形． 19. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位，，，）． 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． 如图所示，连接，过点作于点，，在中，，在中，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴旗杆的高度为． 20. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动. 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽. 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，. 素材3 以正常水位时的水面线为轴，以抛物线对称轴为轴，建立如图3平面直角坐标系. 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式. 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 【答案】任务1：；任务2：水面宽度减少；任务3：水面比正常水位至少上升米，游船满载不能从桥洞通过 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式． 任务1：根据已知设这条抛物线表示的二次函数为，由题意可知，抛物线经过点，利用待定系数法二次函数解析式； 任务2：通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案； 任务3：通过把代入抛物线解析式得出水面到拱顶的距离，即可得出答案． 【详解】解：任务1：由题意抛物线过点，，， 设， ， ， ； 任务2：当时，， ，， ， 水面宽度较少； 任务3：由题意，当游船满载时，顶部，刚好在抛物线上时，游船不能在桥下通过， ，， 此时，点的横坐标为， 当时，， （米）， 水面比正常水面至少上升米，游船满载不能从桥洞通过． 21. 如图1，是的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：平分； （2）如图2，连接，若，，求半径长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形． （1）连接，根据切线的性质可得，再证，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明即可； （2）连接，，证明四边形是平行四边形，进而证明是菱形，得到，证明是等边三角形得到，同理，根据平角的定义得到，根据三角函数求出，则，即的半径为． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由（1）知， ∵， 四边形是平行四边形． 又， 是菱形． ， ， 是等边三角形， ， 同理， ． 在中，， ， ． 即的半径为． 22. （1）如图1，，于点，求证：； （2）如图2，将图1中线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点在线段上时，过点作于点，交线段于点，猜想与的数量关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）设，易得，再根据直角三角形的两个锐角互余关系可得，即可得证： （2）在上取点，使，连接，先证,再证，即可得解； （3）过点作于点，设，易证，可得，则，再证，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， （3）过点作于点， ， 在中， 设，， 在中由勾股定理得， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．点为抛物线上任意一点，连接，点的横坐标为． （1）求，的值； （2）如图1，若点在第一象限，与线段交于点，若，求的值； （3）延长至点，使，当点不在坐标轴上时，过点，点分别作轴，轴的垂线交于点； ①如图2，当线段与抛物线只有一个交点时，设交点为，若，求的值； ②当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线解析式求出，的值即可； （2）过点作轴交于点，证明，得出，求出直线解析式为，根据轴，得出，得出，求出，得出方程，求出结果即可； （3）①设交轴于点，根据轴， 得出，得出，求出，列出关于m的方程，解方程即可； ②分三种情况讨论：当点在第一象限，且G点刚好在抛物线的图象上时，当点在第二、四象限，当点在第三象限，且G 点刚好在抛物线的图象上时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点，， ， 解得； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， . ， ， 由（1）得：， 把代入抛物线得：， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得：， 解得：， 直线解析式为， 轴，， ， ， ， ， ，． 【小问3详解】 解：①如图，设交轴于点， 轴， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， （舍），， ； ②∵， ∴点F与点G关于原点对称， ∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴点F坐标为， ∴点G的坐标为， 当点在第一象限，且G点刚好在抛物线的图象上时，如图3， 把点代入抛物线得： ， 解得：，负值舍去； 故当时，在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当点在第二、四象限，都不符合题意， 当点在第三象限，且G 点刚好在抛物线的图象上时，如图4， 把点代入抛物线得： ， 解得：，正值舍去， 故时，在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当直线正好过抛物线的顶点时，如图所示： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴此时点F的坐标为， ∴当时，在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 综上，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时， 的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 3. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，．若，，则的值为（） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63 8. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 已知二次函数图象如图所示，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的值为______． 12. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是________． 13. 如图，，与相交于点，且与面积比是，若，则的长为_____． 14. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为______． 15. 如图，中，，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或树状图的方法求两次取出的小球的标号相同的概率． 17. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？ 18. 如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形． 19. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位，，，）． 20. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动. 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽. 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，. 素材3 以正常水位时的水面线为轴，以抛物线对称轴为轴，建立如图3平面直角坐标系. 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式. 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 21. 如图1，是的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：平分； （2）如图2，连接，若，，求半径长． 22. （1）如图1，，于点，求证：； （2）如图2，将图1中线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点在线段上时，过点作于点，交线段于点，猜想与的数量关系，并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．点为抛物线上任意一点，连接，点的横坐标为． （1）求，的值； （2）如图1，若点在第一象限，与线段交于点，若，求值； （3）延长至点，使，当点不在坐标轴上时，过点，点分别作轴，轴的垂线交于点； ①如图2，当线段与抛物线只有一个交点时，设交点为，若，求的值； ②当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $