精品解析：辽宁省大连市中山区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学卷

九年级期末质量检测 数学 2025.01 （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则满足（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 4. 将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 矩形的面积为6，它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 9. 如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆， ，米，则两梯杆跨度、之间距离为（ ） A. 2米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 12. 抛物线的对称轴是直线，那么b的值为__________． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，则的度数为__________． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为________． 15. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0902 0.901 0.899 0900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离．已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． 17. 商场出售某种商品，每件进价为元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 日销售量件 （1）求与之间的函数关系式（）； （2）该商品应如何定价才能使利润最大？ 18. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心.请建立恰当的直角坐标系，求水管的长. 19. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． （1）求，的值； （2）求的面积． 21. 如图，中，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，． （1）求证； （2）若，，求的长． 22. 如图，四边形中，点在边上，，，对角线平分．过点作，，分别交直线于点，． （1）补全图形； （2）探究线段，的数量关系并证明你的结论； （3）在的条件下，连接，若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． （1）求函数的“相关函数”的函数表达式； （2）点在函数图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； （3）函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末质量检测 数学 2025.01 （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则满足（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念以及根的判别式．根据一元二次方程根的判别式求解，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故选：B． 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 4. 将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则“左加右减，上加下减”，按照题意求出表达式即可得到答案，熟练掌握求函数图象平移的方法是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为． 故选：D 5. 矩形的面积为6，它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是理解现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．由长方形的面积公式得，且，，据此即可得出结果． 【详解】解：， ，， 故选：D． 6. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理，同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识．首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，可以求出，再根据切线的性质可以得到，根据四边形的内角和是求出的度数． 【详解】解：， ， 、是的切线， ， 在四边形中，， ， ． 故选：A ． 7. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， 故， 故． 故选：D． 8. 如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积． 【详解】解：在中， cm， ∴它侧面展开图的面积是cm2． 故选：C 【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 9. 如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆， ，米，则两梯杆跨度、之间距离为（ ） A. 2米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴， 即两梯杆跨度、之间距离为米， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果． 【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 12. 抛物线的对称轴是直线，那么b的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴公式列得，直接求值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，熟练掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，则的度数为__________． 【答案】##76度 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质．注意找到旋转角是解此题的关键． 根据旋转的性质可求得，继而求得答案． 【详解】∵将绕点逆时针方向旋转得到 ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为________． 【答案】50° 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°， 又∠DCE＋∠DCB＝180°， ∴∠DCE＝∠A＝50°， 故答案为50°． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键． 15. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0899 0.900 估计这种幼苗移植成活概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离．已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． 【答案】 【解析】 【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：， ， ， 即，解得， ， 即窗户的高度为：． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题． 17. 商场出售某种商品，每件的进价为元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 日销售量件 （1）求与之间的函数关系式（）； （2）该商品应如何定价才能使利润最大？ 【答案】（1）； （2）定价为元时，才能使利润最大为元 【解析】 【分析】（）根据表格信息可设一次函数的关系式为，然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意设一次函数的关系式为， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴所求函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值， 答：定价为元时，才能使利润最大为元． 18. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心.请建立恰当的直角坐标系，求水管的长. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解∶如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系． 点是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数解析式是， 由这段抛物线经过点， 可得 解得， 因此， 当时，， 故水管长为． 19. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． （1）求，的值； （2）求的面积． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）先把点代入求出，然后再代入把点的坐标为代入即可求出； （）过点作直线轴于，分别求出，的长，再利用即可求解． 【小问1详解】 解∶将点代入得：， ∴点的坐标为， 将点代入，得； 【小问2详解】 解：过点作直线轴于， ∵点的坐标为， ∴， 由一次函数可得， 当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 21. 如图，中，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，． （1）求证； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接．设，则．由，得到．求出．，进而求得，根据三角形的内角和得到，即可得到，从而得证结论； （2）根据勾股定理求得．设，则，．中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接． 设，则． ， ． 为的直径， ， ∴． 是的切线， ． ∵， ∴． ． ∵中，． ． ． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ． 设，则，． ∵中，． ∴． 解得． ． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角为，切线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 22. 如图，四边形中，点在边上，，，对角线平分．过点作，，分别交直线于点，． （1）补全图形； （2）探究线段，的数量关系并证明你的结论； （3）在的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2），见解析； （3）． 【解析】 【分析】根据题干的要求补充图形即可； 取中点，连接，根据同角的补角相等可证，根据等边对等角可证，根据角平分线的定义可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，根据等角对等边可证，从而可证； 过点作于点，过点作于点，设，则，利用勾股定理可得，解方程可求，，根据、可证，根据相似三角形对应边成比例可求． 【小问1详解】 解：补充图形，如下图所示， 【小问2详解】 解：， 理由如下： 如下图所示，取中点，连接， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， ， ，， ，， 设，则， 中，， 中，， ， ， ， 解得：， ，， 设，则，，， ， ， 由知，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质找边之间的关系． 23. 在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． （1）求函数的“相关函数”的函数表达式； （2）点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； （3）函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据相关函数的定义可得的函数表达式； （2）易得的解析式，用表示的点的坐标，继而可得点的坐标，进而可得矩形的两边长，那么根据矩形的周长为可得的值，即可求得点的坐标； （3）易得的值，根据并结合平行四边形的性质及勾股定理可得点的纵坐标为或，求得相对应的二次函数上的点，代入一次函数可得对应的的值，进而根据函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵点的横坐标为，点在函数的图象上， ∴， ∵轴，点在函数的图象上， 当时，得：， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∵矩形的周长为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 ∵与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当（点在轴的上方），过点作轴，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设的解析式为， 当时，，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， 此时点的纵坐标为； 当（点在轴的下方），过点作轴， 按同样的方法可得：点的纵坐标为， ∴或， 解得：，或，， ∴点的坐标为或或或， ∵点在直线上， ∴或或或， 解得：或或或， ∵， ∴或． 【点睛】本题综合考查二次函数的图象与性质，“相关函数”的意义，坐标与图形，矩形的周长，两点间距离，理解新定义的意义并进行应用是解决本题的关键；难点是判断出时的值；易错点是根据函数图象判断出时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $