江西省宜春中学2025-2026学年高三上学期第4次周练数学试卷

江西省宜春中学2025-2026学年高三上学期第4次周练数学试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，内角所对的边分别是，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】由，则 ，据正弦定理 知， ；由，据正弦定理，则，得，所以是的充分必要条件．故本题答案选. 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化为“齐次式”，代入求解，即可得到答案. 【详解】由，则. 故选：A. 3．若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 4．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 5．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【详解】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 6．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式结合题意化简得，结合角的范围求得，根据面积公式得到，化简即可求解. 【详解】由题， 即，即， 所以，即，所以， 又，所以. 因为，即， 即，故. 故选：B. 7．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 8．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C． D．在内有唯一的极小值点 【答案】BD 【分析】辅助角公式化简函数解析式，利用函数图象关于直线对称的条件求出的取值，结合三角函数的周期性、奇偶性、对称性及极值点的求解方法，逐一判断各选项. 【详解】辅助角公式化简原函数为，其中，. 因为图象关于直线对称，根据正弦型函数的性质有 ，即. 又，，， 则. A选项：的最小正周期为； B选项：，为奇函数； C选项： ，不恒为. D选项：当，则， 当时，取得极小值， 因此只有，即为唯一的极小值点. 故选：BD. 10．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是 【答案】AD 【分析】由已知比例关系易得，应用正弦边角关系判断A；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得，再由面积公式求面积判断C；利用正弦定理求外接圆半径判断D. 【详解】令，则，，可得， 所以，由正弦边角关系易知：，A对； 若，则，故，，则， 所以，C错； 由，结合C可得，B错； 由，则，而，故外接圆半径是，D对. 故选：AD. 11．已知三角形ABC三个内角分别为A，B，C，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二倍角公式及两角和差的余弦公式化简得即可判断A，进而展开后化弦为切得判断C，通过两角和差的正弦公式化简得判断B，根据正弦定理得，然后结合基本不等式及余弦定理得，最后根据余弦函数性质求得判断D. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简得，又， 所以，故选项A正确； 由得， 所以，所以，故选项C正确； ，故选项B错误； 由及正弦定理得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，所以，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】12 【分析】根据正弦函数的实际应用，由题意列出运动轨迹的函数解析式，进而写出不等式，求出结果. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，其中，， 由题意得，，，周期，所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，，解得，， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故答案为：12. 13．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 14．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】令，利用三角恒等变换，可将函数转化为，结合二次函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】令， 又，则， 所以 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；又当时，，当时，，即， 故函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据函数的图象，由最大值确定，由对称轴和零点的距离确定，再由最大值点确定，再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解； （2）首先求函数的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数的只有，再将不等式恒成立问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解. 【详解】（1）由图象可知，，，得， 当时，，，得，， 因为，所以， 所以， 令，， 得，， 所以函数的单调递增区间是，； （2）， 当时，， 则， 若不等方式对任意成立，则， 得. 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求边上的中线 长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）边化角即可；（2）利用余弦定理和基本不等式解决. 【详解】（1）由得, , 即. （2）, 即 ，当且仅当取等号． 17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. (1)求证：平面BDM； (2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接AC交BD于，连接MN，通过可证明； （2）建立空间直角坐标系，，利用坐标运算通过求出，再利用向量法求线面角. 【详解】（1）连接AC交BD于，连接MN， 因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点， 所以在中，有， 又平面平面， 所以平面； （2）如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 又是AE的中点，故， ，因为， 所以，解得， 设，即， 可得，则， 又，设平面AEF的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线PM与平面AEF所成角为， 则 所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为. 18．已知函数. （1）当时，不等式恒成立，求的最小值； （2）设数列，其前项和为，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性和值域，即可求得参数范围； （2）根据（1）中所求得到，再利用累加法即可容易证明. 【详解】（1）因为，故可得 当时，方程的， 故因式在区间恒为负数， 故时，恒成立，故单调递减， 又，故在时恒成立，满足题意； 当时，方程有两个不相等的实数根， 且. 故在区间恒成立，此时单调递增； 又，故在恒成立，不满足题意； 当时，， 函数在恒为正值，故在恒成立，不满足题意. 综上所述，， 故的最小值为. （2）由（1）可知，当时， 若，， 即恒成立， 把换成，可得成立， 即， 以此类推， ， 累加可得. 又， 故.即证. 【点睛】本题考查利用导数由恒成立问题求参数范围，涉及利用导数证明不等式，属综合困难题. 19．若对于函数的定义域内的任意非零实数，恒有，则称为区间上的“理想”函数．已知函数． (1)若的图象在点处的切线经过坐标原点，求． (2)若是定义在上的“理想”函数，且， （i）求的取值范围； （ii）若当取最大值时，是定义在上的“理想”函数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）; （ii） 【分析】（1）利用导数求得，，可求得切线方程； （2）（i）分，两种情况结合理想函数的定义计算即可；（ii）化简，令，通过二次求导判断的单调性，进而求得的取值范围. 【详解】（1）由题可知，则， 又，所以的图象在点处的切线方程为， 将代入，得． （2）（i）由题可知． ①当时，恒成立，在上单调递减， 又，故时，恒有，符合题意． ②当时，，故存在，使得在上单调递增， 则， 又， 故当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． （ii）由题可知， 令， 则， 令，则， 因为当时，，当时，， 故即在上单调递减，在上单调递增，且当时，． ①当时，恒成立，在上单调递增， 又，故在上恒小于0，在上恒大于0， 又且， 故在上，恒有，符合题意； ②当时，，必存在，使得， 则在上单调递减，在上单调递增，且，当时，， 故存在，使得． 故在上恒小于0，在上恒大于0， 则当时，，不符合题意． 综上，的取值范围为． 试卷第12页，共15页 试卷第11页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省宜春中学2025-2026学年高三上学期第4次周练数学试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，内角所对的边分别是，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C． D．在内有唯一的极小值点 10．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是 11．已知三角形ABC三个内角分别为A，B，C，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 13．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 14．函数的值域是 ． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求边上的中线 长度的最小值． 17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. (1)求证：平面BDM； (2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 18．已知函数. （1）当时，不等式恒成立，求的最小值； （2）设数列，其前项和为，证明：. 19．若对于函数的定义域内的任意非零实数，恒有，则称为区间上的“理想”函数．已知函数． (1)若的图象在点处的切线经过坐标原点，求． (2)若是定义在上的“理想”函数，且， （i）求的取值范围； （ii）若当取最大值时，是定义在上的“理想”函数，求的取值范围． 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $