微专题19 反函数的性质及其应用讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题19 反函数的性质及其应用讲义 微专题教学内容 一、核心模型 这类题的典型特征： 已知两个方程： 1. （ 为某函数， 为常数）； 2. ； 求两个方程的解 的和（或其他组合值）。 二、解题步骤（通用流程） 步骤1：识别“互为反函数的函数对” 先确定题目中涉及的两个函数是互为反函数的关系（高中常见组合）： 指数函数与对数函数： 与 （ ）； 奇次幂函数与对应根函数： （ 为奇数）与 ； 步骤2：转化方程为“函数 + 一次项 = 常数”形式 将题目中的方程整理为： 方程1（原函数）： ； 方程2（反函数）： ； 步骤3：利用“反函数的对称性质”建立关系 互为反函数的函数图像关于直线 对称，因此： 若点 在原函数 的图像上，则其对称点 必在反函数 的图像上。 步骤4：结合“单调性”确定解的唯一性 高中涉及的这类函数（如 ）通常是严格单调函数（通过导数或定义可证），因此方程 的解是唯一的。 结合步骤3的对称点，可得： （或对应变形）。 步骤5：计算目标值 将 代入目标表达式（如求和），化简得结果： 例如求 ，则 ；若 ，则直接得 。 三、常见“反函数对”及对应结论 反函数对 方程形式 解的关系（ 时） 与 ； 与 ； 四、易错提醒 1. 变量替换的定义域：若方程中出现“ ”等变形，需先通过变量替换（如令 ）将方程转化为标准形式，避免定义域错误； 2. 单调性的必要性：必须验证“函数 + 一次项”的单调性，确保解的唯一性——若函数不单调，可能存在多个解，对称关系不成立； 3. 直线的对称性：核心是“ ”与“ ”的交点，若一次项系数 ，需结合对称点坐标的变换规则调整（如 时，对称关系为 ）。 五、典型例题及解题模板 例题1：已知方程 和 ，求 。 解题步骤： 1. 识别反函数对： 与 ； 2. 由对称性得 ； 3. 直接求和： 。 例题2：若 且 ，求 。 解题步骤： 1. 识别反函数对： 与 ； 2. 由对称性得 ； 3. 结果： 。 模板总结： 1. 将方程整理为“函数 + 一次项 = C”形式； 2. 利用反函数对称性建立 与 的关系； 3. 结合单调性验证解的唯一性； 4. 代入目标表达式求解。 典例精讲 【典例1】 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若，则 ． 【典例2】 若，分别是方程，的根，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 会一题通一类 1．已知分别是方程与的实数解，则的值为 ． 2．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【典例3】 已知，则 . 会一题通一类 已知分别是函数，的零点，则的值为 . 学后测评 一、单选题 1．已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知 或，则集合中所有元素的和为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 4．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 5．已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 7．曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 9．已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 10．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 11．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则 13．设函数的反函数是它自身，则常数 ． 14．已知分别是方程与的根，则的值为 . 15．设、分别是方程与的根，则 . 16．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题19 反函数的性质及其应用讲义 微专题教学内容 一、核心模型 这类题的典型特征： 已知两个方程： 1. （ 为某函数， 为常数）； 2. ； 求两个方程的解 的和（或其他组合值）。 二、解题步骤（通用流程） 步骤1：识别“互为反函数的函数对” 先确定题目中涉及的两个函数是互为反函数的关系（高中常见组合）： 指数函数与对数函数： 与 （ ）； 奇次幂函数与对应根函数： （ 为奇数）与 ； 步骤2：转化方程为“函数 + 一次项 = 常数”形式 将题目中的方程整理为： 方程1（原函数）： ； 方程2（反函数）： ； 步骤3：利用“反函数的对称性质”建立关系 互为反函数的函数图像关于直线 对称，因此： 若点 在原函数 的图像上，则其对称点 必在反函数 的图像上。 步骤4：结合“单调性”确定解的唯一性 高中涉及的这类函数（如 ）通常是严格单调函数（通过导数或定义可证），因此方程 的解是唯一的。 结合步骤3的对称点，可得： （或对应变形）。 步骤5：计算目标值 将 代入目标表达式（如求和），化简得结果： 例如求 ，则 ；若 ，则直接得 。 三、常见“反函数对”及对应结论 反函数对 方程形式 解的关系（ 时） 与 ； 与 ； 四、易错提醒 1. 变量替换的定义域：若方程中出现“ ”等变形，需先通过变量替换（如令 ）将方程转化为标准形式，避免定义域错误； 2. 单调性的必要性：必须验证“函数 + 一次项”的单调性，确保解的唯一性——若函数不单调，可能存在多个解，对称关系不成立； 3. 直线的对称性：核心是“ ”与“ ”的交点，若一次项系数 ，需结合对称点坐标的变换规则调整（如 时，对称关系为 ）。 五、典型例题及解题模板 例题1：已知方程 和 ，求 。 解题步骤： 1. 识别反函数对： 与 ； 2. 由对称性得 ； 3. 直接求和： 。 例题2：若 且 ，求 。 解题步骤： 1. 识别反函数对： 与 ； 2. 由对称性得 ； 3. 结果： 。 模板总结： 1. 将方程整理为“函数 + 一次项 = C”形式； 2. 利用反函数对称性建立 与 的关系； 3. 结合单调性验证解的唯一性； 4. 代入目标表达式求解。 典例精讲 【典例1】 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即， 故选：A. 会一题通一类 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若，则 ． 【答案】 【分析】解法一：分析可得，变形得出，构造函数，分析函数的单调性，结合，即可得出实数的值； 解法二：分析可得，变形得出，作出函数直线、的图象，数形结合可得出实数的值. 【详解】解法一：点关于直线的对称点为， 则该点在的图象上，即，变形得， 从而，即，即， 构造函数， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 又因为，故. 解法二：点关于直线的对称点为， 则该点在的图象上，即，变形得， 从而，即， 作出函数直线、的图象如下图所示， 由图可知，两个函数交点横坐标为，所以. 故答案为：. 【典例2】 若，分别是方程，的根，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】由于的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值. 【详解】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标， 因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称， 所以线段的中点就是直线与的交点， 由，得，即线段的中点为， 所以，得， 故选：B 会一题通一类 1．已知分别是方程与的实数解，则的值为 ． 【答案】10 【分析】结合函数的图象，将看成与的交点的横坐标，看成与的交点的横坐标，因函数与的图象关于直线对称，直线也关于直线对称，则得点与点也关于直线对称，即可列式计算. 【详解】由可得，由可得， 不妨记， 依题意，为与的交点的横坐标， 为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下： 因函数与是一对反函数，图象关于直线对称， 而直线与直线垂直，故也关于直线对称， 则点与点也关于直线对称， 故得，化简得：，即. 故答案为：10. 2．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可. 【详解】由可得：， 又由可得：. 而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 下面作出函数，，，的图象： 由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标， 方程的根为，即为如图交点的横坐标， 由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：， 根据同构方程思想可得：满足和的根必有：， 所以， 故选：A. 【典例3】 已知，则 . 【答案】2026 【分析】法一：变形得到，，构造，则，根据函数单调性得到， 故； 法二：设与的交点为，与的交点为，根据对称性得到与关于对称，求出. 【详解】法一：， ， 设，则， 由于在R上单调递增，故， 故； 法二：， 设与的交点为， 与的交点为， 由于和为反函数， 即和关于对称， 而和垂直，关于对称， 联立，解得， 所以与关于对称， 故，所以. 故答案为：2026 【点睛】关键点点睛：变形得到，，构造，由函数单调性进行求解；或由函数的对称性进行求解 会一题通一类 已知分别是函数，的零点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 学后测评 一、单选题 1．已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性可知，利用二次函数及对数函数单调性即可求得值域为. 【详解】因为与的图象关于对称，所以与互为反函数， 即可得． 因为，所以， 因为，所以在上单调递减， 即可得，即的值域为． 故选：D． 2．已知 或，则集合中所有元素的和为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】由题意，集合中元素分别是与，与交点的横坐标，作出图象，利用反函数的性质求解. 【详解】由得， 则方程的根是与交点的横坐标， 由得， 则方程的根是与交点的横坐标， 与互为反函数，图象关于直线对称， 与的交点为，如图， 则，即集合中所有元素的和为10． 故选：B． 3．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果. 【详解】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 故选：C. 4．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 5．已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值． 【详解】由题意，， 令， 因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称， 且的图象也关于直线对称， 设， 则关于直线对称， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 则． 故选：A． 6．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，可得， ，则，所以，， 作出函数、、的图象如下图所示： 对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称， 又因为函数、的图象关于直线对称， 所以，点、关于直线对称，则，故. 故选：B. 7．曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 二、多选题 8．已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； 因为,所以， 则，即，D错误. 故选：BC    9．已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，， 又因为在直线 上，所以，即，故A正确； 对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，因为，所以， 由A可知，所以， 两边同时减，得， 又因为，所以， 由题可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D，得到C，D两点的坐标，结合函数的对称性得到，结论；对于B，结合A中的结论即可判定；对于C，结合B中的结论，以及代入消元法，结合基本不等式即可求解判断；对于D，利用乘1法，换元，并结合函数的单调性进行判断. 【详解】对于选项A：设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D， 则，， 又因为函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称， 可知点，D两点关于对称，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，且，则， 取倒数有，即，故B错误； 对于选项C：由得，当且仅当时取等号， 由图象可知，，等号不成立，所以，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 令，可知在区间上单调递减， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，看出与互为反函数，确定也关于对称，求出，两点关于对称，，，，A选项，利用基本不等式进行证明；B选项，得到，，，构造，，求导得到其单调性，从而求出；C选项，由基本不等式得到，构造，求导得到其单调性，得到，得到；D选项，先根据得到，再用作差法比较大小. 【详解】与互为反函数，即两函数关于对称， 而与垂直，故也关于对称， 联立，解得：， 故，两点关于对称， 即，且， 不妨设，， 画出图象如下： A选项，，当且仅当，即时等号成立， 又，故等号取不到，A正确； 因为，所以，所以， 因此，故， 又为与的交点，故， 所以，令，， 其中在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，B正确； 因为，， 所以，因此有， 设，， 因为，所以，因此在上单调递增， 当时，有，即， 因此，C错误； 因为，所以， 所以， 即，D正确. 故选：ABD 【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域； ②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）； ③互为反函数的两个函数关于对称， ④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数； ⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身. 三、填空题 12．设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则 【答案】 【分析】根据反函数的概念，代值计算即可. 【详解】根据题意，，即，∴. 故答案为：7 13．设函数的反函数是它自身，则常数 ． 【答案】 【分析】求出反函数，与原解析式比较列式求解即可. 【详解】因为，所以，则函数的反函数是， 所以恒成立，即恒成立，所以. 当时，，其定义域为，值域为， 定义域和值域相同，故满足题意，所以. 故答案为： 14．已知分别是方程与的根，则的值为 . 【答案】 【分析】利用反函数的性质，数形结合即可得解. 【详解】易知分别是函数与及函数与交点的横坐标， 易知函数与函数互为反函数，即其图象关于对称， 且也关于对称， 即函数与及函数与交点关于对称， 又易得与交点为，所以的中点为， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为反函数与函数对称性的问题，结合图象即可得解. 15．设、分别是方程与的根，则 . 【答案】 【分析】根据题意数形结合，分别作出函数，，的图象，利用反函数的对称性求解即可. 【详解】如图，分别作出函数，，的图象， 且函数与、分别相交于点，. 由题意，．而与互为反函数， 直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称. 所以.所以. 故答案为：. 16．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 【答案】3 【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以. 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以. 所以. 故答案为：3 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $