微专题18 三次函数讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题18 三次函数讲义 微专题教学内容 一、三次函数的基本形式 一般地，三次函数的表达式为： 二、三次函数的单调性（一阶导数的应用） 对三次函数求一阶导： 令 ，根据 的符号分析单调性： 1. 当 时： 若 ，则 恒成立， 在 上单调递增； 若 ，则 恒成立， 在 上单调递减。 2. 当 时： 设 的两根为 （由求根公式得 ）： 若 ： 在 递增， 递减， 递增； 若 ： 在 递减， 递增， 递减。 三、三次函数的极值（二阶导数的辅助判断） 结合单调性，当 时，三次函数有两个极值点： 处：若 ，则为极大值点；若 ，则为极小值点； 处：若 ，则为极小值点；若 ，则为极大值点。 也可通过二阶导数验证： 求二阶导 ，代入极值点 ： 若 ，则 是极小值点； 若 ，则 是极大值点。 四、三次函数的凹凸性（二阶导数的应用） 令 ，得拐点横坐标 ： 当 时： · ， ，曲线上凸（凸函数）； · ， ，曲线下凸（凹函数）。 当 时： · ， ，曲线下凸； · ， ，曲线上凸。 五、三次函数的零点分布 三次函数在 上连续，且当 时， 趋向于 （由 的符号决定），因此至少有1个零点。 零点个数由极值的符号决定（以 为例）： 1. 若 或 ：只有1个零点； 2. 若 或 ：有2个零点（其中一个为二重根）； 3. 若 且 ：有3个不同零点。 典例精讲 【典例1】 （25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 会一题通一类 1．（2025·四川凉山·一模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B． C． D．若函数有三个零点，则 2．（2025·云南·一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数在区间上单调递减 B．函数的极大值为4 C．函数图象的对称中心为 D．函数有3个零点 【典例2】 （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的对称中心为 B．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是 C．曲线不可能是轴对称图形 D．若的极大值与极小值互为相反数，且，则 会一题通一类 1．（2025·四川成都·一模）（多选）设函数，则（    ） A．当时，是的极小值点 B．当时，函数有三个零点 C．若函数有三个零点，则 D．已知是函数的极大值点，若，则 2．（2025·湖南永州·模拟预测）（多选）下列关于函数的说法，正确的有（   ） A．若，则 B．当时，的图象不经过第三象限 C．若有三个零点，，，则 D．若有且只有一个正方形的四个顶点在函数图象上，则 学后测评 多选题 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数.（   ） A．在上单调递增 B．是奇函数 C．过点可作曲线的两条切线 D．当时，恒成立 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）设函数，则（    ） A．是的一条切线 B． C．当时， D．若在区间上有最小值，则实数的范围为 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．在区间上是减函数 C．的最大值是 D．的解集为 4．（2025·全国·二模）（多选）已知函数在处有极值，则（ ） A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 6．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 7．（2024·四川内江·模拟预测）定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（    ） A． B．的值是 C．函数有一个零点 D．过可以作三条直线与图象相切 8．（2025·辽宁大连·一模）记的导函数，下列说法正确的是（   ） A．在上一定有3个极值点 B．在上一定有4个零点 C．过上一点作切线，若存在三个点的切线斜率相同，则k的取值范围为 D．记，则一定是偶函数 9．（2025·山东·一模）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则（    ）    A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．解集是 10．（2025·陕西西安·模拟预测）设三次函数，其中，则以下正确的是（    ） A．若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B．若的导函数，则函数有3个零点 C．若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D．若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 11．（2025·浙江·模拟预测）已知函数，则（    ） A．存在a，b使得为奇函数 B．存在a，b使得为偶函数 C．当，时，在上单调递减 D．过曲线上一点作曲线的切线与交于，必有 12．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数，函数都存在三个零点 B．存在实数使得直线是函数的切线 C．对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D．当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 13．（2025·全国·二模）（多选 ）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．若函数有两个极值点、，则 B．函数至少有一个极值，且极小值为1 C．使得方程有三个不相等的实数根 D．若函数的极大值点为，且，则 14．（2025·浙江金华·一模）已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 15．（2025·安徽·模拟预测）已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 16．（2025·广东汕尾·一模）已知函数，则（    ） A．若，且的对称中心为，则的极大值点为 B．若，且，则函数有两个零点 C．若有两个极值点，且，则只有一个零点 D．若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 17．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A．的极大值点为 B．有且仅有个零点 C．若在上的最大值为，则 D． 18．（2025·河北张家口·三模）已知函数，，则（    ） A．当时，函数有三个零点 B．当时，， C．若，则 D．若函数在处取得极值，且，使，则 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题18 三次函数讲义 微专题教学内容 一、三次函数的基本形式 一般地，三次函数的表达式为： 二、三次函数的单调性（一阶导数的应用） 对三次函数求一阶导： 令 ，根据 的符号分析单调性： 1. 当 时： 若 ，则 恒成立， 在 上单调递增； 若 ，则 恒成立， 在 上单调递减。 2. 当 时： 设 的两根为 （由求根公式得 ）： 若 ： 在 递增， 递减， 递增； 若 ： 在 递减， 递增， 递减。 三、三次函数的极值（二阶导数的辅助判断） 结合单调性，当 时，三次函数有两个极值点： 处：若 ，则为极大值点；若 ，则为极小值点； 处：若 ，则为极小值点；若 ，则为极大值点。 也可通过二阶导数验证： 求二阶导 ，代入极值点 ： 若 ，则 是极小值点； 若 ，则 是极大值点。 四、三次函数的凹凸性（二阶导数的应用） 令 ，得拐点横坐标 ： 当 时： · ， ，曲线上凸（凸函数）； · ， ，曲线下凸（凹函数）。 当 时： · ， ，曲线下凸； · ， ，曲线上凸。 五、三次函数的零点分布 三次函数在 上连续，且当 时， 趋向于 （由 的符号决定），因此至少有1个零点。 零点个数由极值的符号决定（以 为例）： 1. 若 或 ：只有1个零点； 2. 若 或 ：有2个零点（其中一个为二重根）； 3. 若 且 ：有3个不同零点。 典例精讲 【典例1】 （25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 【答案】ABD 【分析】根据函数的对称性判断A；求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断BC；利用导数的几何意义求的切线方程，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，所以关于对称，故A正确； 对于B，由得，令得：， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有两个极值点(为极大值点，为极小值点），故B正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点(如图所示)，故C错误； 对于D，设切点，在处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程为，故D正确. 故选：ABD 会一题通一类 1．（2025·四川凉山·一模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B． C． D．若函数有三个零点，则 【答案】BC 【分析】根据奇函数的定义判断A；分别计算和即可判断B；代入运算化简得判断C；由题意与有三个交点，数形结合即可求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，， 所以不是奇函数，错误； 对于B，，则，所以， 又，所以，正确； 对于C，，则， ， 所以，正确； 对于D，若函数有三个零点，则即有三个解， 所以与有三个交点， ，则，令得或，令得， 所以的增区间为和，减区间为， 且，作出图象如下： 由图可知，要使与有三个交点，则，所以， 所以，错误. 故选：BC 2．（2025·云南·一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数在区间上单调递减 B．函数的极大值为4 C．函数图象的对称中心为 D．函数有3个零点 【答案】BC 【分析】求导研究其单调性得函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，进而得极大值为判断AB；根据为奇函数，得函数图象的对称中心为判断C；根据判断D. 【详解】对于A，由，得． 当时，，所以函数在上单调递增，故A错误； 对于B，令，解得或． 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 因此，是的极大值点，极大值为，故B正确； 对于C，令，定义域为，因为， 所以是奇函数，其图象的对称中心为．又因为由图象向上平移2个单位长度可得图象， 所以函数图象的对称中心为，故C正确； 对于D，令，即 ，解得或， 所以函数有2个零点，故D错误． 故选：BC． 【典例2】 （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的对称中心为 B．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是 C．曲线不可能是轴对称图形 D．若的极大值与极小值互为相反数，且，则 【答案】AD 【分析】计算出，的对称中心为，故A正确；利用判别式即可判断B；利用偶函数的定义即可判断C；利用导数研究函数的极大值与极小值即可求解. 【详解】对于A，当时，，，故，所以的对称中心为，故A正确； 对于B，若函数在R上单调递增，则恒成立，，解得，故B错误； 对于C，当时，，因为，所以是偶函数，即曲线关于对称，是轴对称图形，所以C错误； 对于D，，令，得或0， 已知，当时，，此时无极值，舍去， 当时，，令，得或，令，得， 故的极大值为，极小值为， 令，即，变形为， ，， 又，则，故D正确． 故选：AD． 会一题通一类 1．（2025·四川成都·一模）（多选）设函数，则（    ） A．当时，是的极小值点 B．当时，函数有三个零点 C．若函数有三个零点，则 D．已知是函数的极大值点，若，则 【答案】AD 【分析】A选项，求导，得到函数极值点情况，判断A；B选项，求导，得到函数单调性和极值，举出反例；C选项，由计算可得；D选项，在B选项基础上，得到，故，变形可得，故. 【详解】A选项，时，， ，令得， 令得或，令得， 故是的极小值点，A正确； B选项，当时，， 令得， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， ，， 当时，， 又趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理可得，在上存在唯一零点，函数有一个零点，B错误； C选项，函数有三个零点，则， 即， 对照系数可得，，C错误； D选项，当时，恒成立，此时函数无极值点，不合要求， 当时，由B可知，为函数的极大值点，故， 即，， 其中，故， 即，可以看出满足上式，变形可得， 则，D正确. 故选：AD 2．（2025·湖南永州·模拟预测）（多选）下列关于函数的说法，正确的有（   ） A．若，则 B．当时，的图象不经过第三象限 C．若有三个零点，，，则 D．若有且只有一个正方形的四个顶点在函数图象上，则 【答案】ABD 【分析】根据函数的对称性可判断A选项，根据导数判断函数单调性，进而可确定函数图象情况，即可判断B选项，根据函数零点式，化简，使其与原函数对应项相等，即可判断C选项，结合三次函数对称性，及正方形性质，设点坐标，即可判断D选项. 【详解】由已知，则， 即， 即函数图象关于点中心对称， A选项：，即，则，A选项正确； B选项：由已知，则， 又，，解得，， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以函数在时取得极小值为， 又，则，所以， 即，函数不经过第三象限，B选项正确； C选项：若有三个零点，，， 由题意可设 又， 所以，即，C选项错误； D选项：由函数的对称性及正方形的对称性可知，若有且只有一个正方形的四个顶点在函数图象上，则正方形的对称中心为， 设该正方形的顶点依次为，，，， 则，， 由正方形性质可知，， 又， ， ， ， 则，即①， ，即，即， 代入①中可得， 又，可设， 则，即， 又有且只有一个正方形满足题意，即方程有且只有一个正解， 即，解得， D选项正确； 故选：ABD 学后测评 多选题 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数.（   ） A．在上单调递增 B．是奇函数 C．过点可作曲线的两条切线 D．当时，恒成立 【答案】BCD 【分析】利用导数求单调区间可判断A；求出的解析式，根据奇函数定义可判断B；设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点求出即可判断C；构造函数，根据二次函数性质求解可判断D. 【详解】对A，由题知， 由解得，所以在上单调递减，错误； 对B，记， 则，所以为奇函数，正确； 对C，设切点坐标为，则切线斜率为，且， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或， 所以过点可作两条直线与曲线相切，正确； 对D，记 ， 当时，若恒成立，则，解得， 所以时，恒成立，正确. 故选：BCD 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）设函数，则（    ） A．是的一条切线 B． C．当时， D．若在区间上有最小值，则实数的范围为 【答案】ABD 【分析】借助导数的几何意义计算可得A；求导后计算可得B；构造函数，利用导数研究函数单调性后可得C；结合函数单调性利用最小值性质可得D. 【详解】对A：， 令，则或， 又，则在处的切线为，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：令，， 则， 故在上单调递增，又， 故，即，故C错误； 对D：由，则当时，， 当时，， 故在上单调递减，在、上单调递增， 又，且， 若在区间上有最小值，则有， 解得，故D正确. 故选：ABD. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．在区间上是减函数 C．的最大值是 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】求出导函数，研究其单调性，再通过特殊值，即可逐一判断. 【详解】由题意得，则， 因，故在处的切线方程为，故A正确； 令得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减，故B正确； 因，则时，故C错误； 因，故当时，故D正确. 故选：ABD 4．（2025·全国·二模）（多选）已知函数在处有极值，则（ ） A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D． 【答案】ACD 【分析】首先利用已知条件求出，然后根据函数的单调性、极值、函数值、导数的几何意义等知识点对选项逐一判断即可. 【详解】因为，在处有极值， 所以，解得：； 当时，，， 所以当或时，；当时，； 所以在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，当时，，则在上单调递增，A正确； 对于B，的极大值为，B错误； 对于C，令，解得：或，又， 所以在处的切线为，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 【答案】ACD 【分析】设过点的直线与的图象切于点，由，得到，构造，结合有3个零点，求导得到，令，得或，由逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线斜率，即， 去分母整理得，切线有3条， 设，则有3个零点， ，令，得或， 所以， 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，则，不满足，B错误； 对于C，令，，则，，满足，C正确； 对于D，令，，则，，满足，D正确； 故选：ACD. 6．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 【答案】ACD 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 7．（2024·四川内江·模拟预测）定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（    ） A． B．的值是 C．函数有一个零点 D．过可以作三条直线与图象相切 【答案】BD 【分析】求出函数的一阶导数，二阶导数，令，依题意可得且，即可求出、的值，从而判断A，根据对称性得到，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，判断关于的方程的根的个数即可判断D. 【详解】由，所以，， 令，得，由函数的对称中心为， 所以且，解得，故A错误； 因为的对称中心为， 即， 令, 则， 所以，所以，故B正确； 因为，则， 所以当时，，当或时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 因此函数的极大值为，极小值为； 又，即，， 所以在和上存在零点，所以函数有三个零点， 故C错误； 设切点为，则切线方程为， 又切线过，则， 化简得，令 ， 则， 当或时，，单调递增，当时，， 单调递减，而，，，，所以有3个零点，即方程有3个不等实根，所以过可以作三条直线与图象相切，故D正确. 故选：BD 8．（2025·辽宁大连·一模）记的导函数，下列说法正确的是（   ） A．在上一定有3个极值点 B．在上一定有4个零点 C．过上一点作切线，若存在三个点的切线斜率相同，则k的取值范围为 D．记，则一定是偶函数 【答案】ACD 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性，进而判断A；举例结合单调性判断B；由题意可得有三个不同实根，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求解判断C；表示出，，进而结合偶函数的定义判断D. 【详解】由题意，，设，. 对于A，由 ， 令，得或， 令，得或 所以函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 则在上有3个极值点，故A正确； 对于B，当时，， 由A知，函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 又，，，， 结合单调性及零点存在性定理，可知在上有2个零点，故B错误； 对于C，由题意，有三个不同实根， 设，，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 即k的取值范围为，故C正确； 对于D，由， 可设，， 则， 则为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 9．（2025·山东·一模）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则（    ）    A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．解集是 【答案】BCD 【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上下升降可得以及的解集，由此可判断A、D项；由图象分析可知，结合极值点代入计算后可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理即可判断C项. 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增，所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为，结合A可得，故B项正确； 对于C项，又为二次函数，根据三次函数的图象可知，因为函数在以及处取得极值，故，故，因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由，可得或； 由图象知，当时，， 又的解集为，所以由可得； 由图象知，当时，， 又的解集为，所以由可得； 所以的解集是，故D项正确. 故选：BCD. 10．（2025·陕西西安·模拟预测）设三次函数，其中，则以下正确的是（    ） A．若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B．若的导函数，则函数有3个零点 C．若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D．若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 【答案】ACD 【分析】结合三次函数的对称中心、导数与极值、零点、极值点与极值的关系等性质进行判断. 【详解】对于选项A：由可得 因为函数的对称中心为， 所以对，，即， 所以，解得，又，解得. 所以，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，的极小值点是，A正确； 对于B：因为，所以函数在单调递增，仅有一个零点，B错误； 对于C：因为，所以， 设三个相异且成等差的零点为， 则， 所以，得，又，所以， 由得，又，所以， 即的取值范围为，C正确； 对于D：由可得，， 则是方程的两根，所以， 又，所以，所以. 又由是函数的两个极值点，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值. 所以，即，解得， 所以，所以，， 所以极小值，D正确； 故选：ACD. 11．（2025·浙江·模拟预测）已知函数，则（    ） A．存在a，b使得为奇函数 B．存在a，b使得为偶函数 C．当，时，在上单调递减 D．过曲线上一点作曲线的切线与交于，必有 【答案】AC 【分析】通过奇偶性定义推导A、B的成立条件，利用导数及二次函数性质分析C的单调性，取特殊值验证D的结论. 【详解】选项A，若为奇函数，则对任意，有， 代入，得， 化简为，两边消去， 得，即. 该式对任意成立，仅当，可为任意实数，故存在使为奇函数，A正确. 选项B，若为偶函数，则对任意，有， 代入得， 化简为，两边消去， 得，即，此方程不恒成立，B错误. 选项C，当，时，，. 令，其图象对称轴为，在区间上，， ，， 故，又时，， 因此恒成立，在上单调递减，C正确. 选项D，取，，则，，设， 在点处，， 切线方程为，即. 联立切线与方程，由消去得，即， 因式分解为，解得（与相同）或，故. 此时，故D错误. 故选：AC 12．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数，函数都存在三个零点 B．存在实数使得直线是函数的切线 C．对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D．当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 【答案】ABD 【分析】A：先分析的单调性，再通过零点的存在性定理判断出零点个数；B：设出切点坐标，根据切点纵坐标等于直线方程中的值以及切点处导数值等于直线的斜率，由此分析可求出结果；C：设出切点坐标，根据切点与原点连线斜率等于切点处导数值，化简可得方程，构造函数利用导数思想判断方程解的个数，由此可知结果；D：判断出的对称性以及直线所过定点，作出图象，利用对称性求解出交点横坐标之和. 【详解】A：因为，记， 所以有两个不等实根， 当和时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 由三次函数的性质可知，当时，，当时，，且， 由零点的存在性定理可知，在，，上均存在零点， 结合的单调性可知，总存在三个零点，故A正确； B：设切点为， 所以，化简可得， 当时，解得；当时，解得；当，代入解得， 所以存在或使得是的切线，故B正确； C：显然不是切点，设切点， 由题可知，化简可得， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 此时至多一个解，即此时至多有一条过点的切线，故C错误； D：当时，，， 所以，所以关于点成中心对称， 又因为， 令，解得，所以直线经过定点，定点即为的对称中心， 因为直线的斜率，且，所以， 在同一平面直角坐标系中作出和直线的图象，如下图所示， 由图象可知，与交于三点，显然关于对称， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 13．（2025·全国·二模）（多选 ）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．若函数有两个极值点、，则 B．函数至少有一个极值，且极小值为1 C．使得方程有三个不相等的实数根 D．若函数的极大值点为，且，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，对函数求导根据韦达定理即可验证；对于选项B，需讨论情况下函数的单调区间，进而确定极值；对于选项C，基于选项B讨论的函数的单调性，确定函数的零点个数；对于选项D，依据，展开化简可得到结果. 【详解】因为，则该函数的定义域为，且， 对于A选项： 若函数有两个极值点，则方程有两个不等的实根， 所以，，由韦达定理可得，A正确； 对于B选项： 当时，，则， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为，此时，函数的极小值为； 当时，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 此时，函数的极小值为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为、，增区间为， 此时，函数的极小值为. 综上所述，函数至少有一个极值，且极小值为1，B正确； 对于C选项： 由B选项可知，当时，，此时函数没有零点； 当时，因为函数的增区间为、，减区间为， 则当时，，此时，函数在无零点，故函数至多一个零点； 当时，函数的减区间为、，增区间为， 则当时，，此时，函数在上无零点，故函数至多一个零点. 综上所述，不存在实数，使得函数有三个零点，C错误； 对于D选项： 由B选项可知，若函数的极大值点为，则，且， 因为，即， 整理可得， 又， 所以，， 整理可得，即，所以，，即，D正确. 故选：ABD. 14．（2025·浙江金华·一模）已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据在处取得极小值即可求解；对于B，根据和到对称轴的距离即可判断；对于C，对进行因式分解即可求解；对于D，因为时，、，再结合的单调性以及、的函数值即可求解． 【详解】对于A，，由题意可知，解得，此时，故A正确； 对于B，由，其为二次函数，开口向上，对称轴为， 则到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即，即，故B错误； 对于C，解不等式，即，整理为， 因式分解得，解得，故解集为，故C正确； 对于D，对于，有，当且仅当时取等号，同时， 由于，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 15．（2025·安徽·模拟预测）已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可；对于B、C、D选项，利用导数研究函数的单调性与极值，从而得到的范围，以及的范围，结合根与系数的关系即可求解. 【详解】由题可得：， 对于A，，，所以函数在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，令，解得：或， 令，解得：，所以的单调递减区间为； 令，解得：，或，所以的单调递增区间为，； 由于，， 令，解得：或； 令，解得：或，作出函数的大致图象如下： 所以函数的图象与直线交于不同的三点， 则，且； 令，则的三个根分别为， 则 所以， 由于，所以，即的取值范围是，故B不正确； 由，可得：，， 则，因为，所以当时，， 由于，所以的取值范围是，故C正确； 对于D，， 所以， 因为，所以当时，，且； 所以的取值范围是，故D正确； 故选：ACD 16．（2025·广东汕尾·一模）已知函数，则（    ） A．若，且的对称中心为，则的极大值点为 B．若，且，则函数有两个零点 C．若有两个极值点，且，则只有一个零点 D．若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 【答案】ACD 【分析】先求出，再利用函数的判别式判断极值点个数，最后由图象逐个分析即可. 【详解】因为的对称中心为， 则的对称轴为， 代入，得，， 又因为，所以， 故， 令，得极值点和； 当时，当时, 所以极大值点为，A正确； 因为，且，所以，即有两个不同的零点（极值点）， 但三次函数的零点个数由极值的符号决定： 若极大值与极小值同号，则只有1个零点；若异号，则有3个零点， 仅无法确定极值符号，故无法判断零点个数，B错误； 因为有两个极值点，则，即， 是的根，由韦达定理： ，， 又因为，显然两个极值点处的函数值同号， 若，先增后减再增，极值同号则与轴仅一个交点； 若，先减后增再减，极值同号则与轴仅一个交点, 结合图象知，只有唯一一个零点，C正确； 因为且，所以有两个极值点，且所在大概位置如图所示，所以有三条切线，D正确. 故选：ACD. 17．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A．的极大值点为 B．有且仅有个零点 C．若在上的最大值为，则 D． 【答案】BCD 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；B选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；C选项，借助函数的单调性、极值及，可判定C正确；D选项，求得，令，求得，得出，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】A选项，由函数， 可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增，当时，取得极大值， 极大值为，所以极大值点为，A错误； B选项，由A知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，， 所以函数有3个零点，所以B正确； C选项，， 由A、B可知，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，， 所以，在上的最大值为，则，C正确； D选项，由，可得， 令，可得， 又由， 所以点是函数的对称中心； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以，即， 所以D正确. 故选：BCD. 18．（2025·河北张家口·三模）已知函数，，则（    ） A．当时，函数有三个零点 B．当时，， C．若，则 D．若函数在处取得极值，且，使，则 【答案】AC 【分析】利用导数分析函数单调性得到极值可得A正确，由正余弦函数的值域结合函数的单调性可得B错误；由函数的对称中心代入可得C正确；由极值点的性质可得，，令，化简又，可证明判断D. 【详解】对于A，当时，，， 易得当时，，函数在上单调递减； 当或时，，函数在和上单调递增， 所以极大值，极小值， 又，， 所以函数在，，各有一个零点， 所以函数有三个零点，故A正确； 对于B，当时， ，， 易得当时，，函数在上单调递减； 又，， 所以，故B错误； 对于C，若，则的图象关于成中心对称， 又的定义域为，所以， 即，即， 整理可得，故C正确； 对于D，因为，所以， 由题有，即， 由，得， 令，则，又， 所以， 得到， 整理得到， 又，代入化简得到， 又，， 所以，得到， 即，即，故D错误. 故选：AC. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $