微专题15 利用导数研究函数的零点问题及方程的根讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题15 利用导数研究函数的零点问题及方程的根讲义 微专题教学内容 利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 典例精讲 【典例1】 已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为， (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得与有且仅有一个交点，结合的单调性分析的取值情况，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当或时， 的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）令，即，依题意可得与有且仅有一个交点， 因为当时，当时，，此时， 当时，，所以； 当时，又， 当时，，此时， 当时，，所以； 所以或，解得或； 所以实数的取值范围为. 会一题通一类 1．已知. (1)当 时，求在处的切线方程； (2)若只有一个零点，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出切点和切点处的导数值即可由点斜式求解； （2）先将问题等价于与函数图像在上有一个交点，再利用导数研究函数的性质，数形结合即可计算求解. 【详解】（1）当 时，   ， 令得， 所以在处的切线方程为； （2）显然，令得， 则若只有一个零点，等价于与函数图像在上有一个交点， ，令， 所以当时，时， 在和上单调递增，在上单调递减， 且，如图， 所以结合图像知. 2．已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 【典例2】 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. (1)求函数的解析式； (2)当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据在和处取得极值，可得，解之即可得解； （2）函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数，利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题意列出不等式，从而可得出答案. 【详解】（1） 因为函数在和处取得极值， 所以和是方程的两个根， 则，解得，经检验符合已知条件， 函数经过点得. 所以函数的解析式为； （2）当时，函数有且仅有两个零点， 令，可得， 则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点. ，令，即，即得或. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以； 结合与的图象在上有且仅有两个交点， 可得或，解得或； 所以k的取值范围 会一题通一类 已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程. （2）根据导函数正负得出函数的单调性即可； （3）先根据的零点个数得出有两个解，即得有两个交点，再结合函数的单调性及值域即可求参. 【详解】（1）因为， 所以切线斜率为， 又因为， 所以切线方程为，即； （2）因为， 所以当在上单调递减； 当在上单调递增； 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为； （3）因为函数有2个零点，所以有两个解， 转化为函数图象与直线有两个交点， 由（2）知，的单调递减区间为，的单调递增区间为； 所以， 又因为时，时 ， 且；， 所以当时，函数图象与直线有两个交点， 即函数有2个零点时，. 【典例3】 已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，即可根据求解， （2）根据单调性即可求解极值， （3）根据函数的单调性，以及极值即可求解. 【详解】（1）， 由于在处取极值，故，解得， 当时，， 当和时，当，， 故满足在处取极值，因此 （2）由（1）知：在单调递减，在和单调递增， 故 （3）由于当时，,，时，， 时，，当时，， 结合（1）（2）可知：有3个实数根时， 故， 因此恰有3个零点时，则. 会一题通一类 已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. (1)求的值； (2)若在区间上的最大值为20，求的值； (3)若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义和建立关于的方程组，解之即可求解； （2）由（1），令、，解不等式，得出函数的单调性，进而求解； （3）由（2），求出函数的极值，则，解之即可求解. 【详解】（1）由，得， 由题意得，， 得，解得. （2）由（1）知， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 则在区间上的最大值为，解得. （3）由（2）知，在和上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，取得极大值. 要使函数的图象与轴恰有三个交点，则， 解得，即的取值范围是. 【典例4】 已知是函数的极小值点. (1)求实数的值； (2)讨论函数在区间内的零点个数. 【答案】(1) (2)零点个数为4. 【分析】（1）求导，再由求解； （2）根据为偶函数，只需考虑的情形，利用导数法判断. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以， 因为是函数的极小值点， 所以，解得， 当时，，当时，， 当时，，符合题意，故. （2）因为为偶函数， 故只需考虑的情形； 由（1）， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 因为， 所以存在，使得； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 因为， 所以存在，使得； 由对称性可知，函数在区间内的零点个数为4. 会一题通一类 已知函数. (1)当时，判断有无极值点，并说明理由； (2)当时，判断函数在上的零点个数并给出证明. 【答案】(1)无极值点，理由见解析 (2)函数在上有2个零点，证明见解析 【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，从而判断极值点； （2）利用导数判断的单调性，再结合零点存在性定理即可判断零点个数． 【详解】（1）当时，无极值点，理由如下： 当时，函数，定义域为， 所以， 令，则，由得， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以在上单调递增，故函数无极值点． （2）当时，函数在上的零点个数为2，证明如下： 由得， 设，则，令，得， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， ， 所以，， 所以，使得，，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 设，则，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，故，即， 因为，所以，故，即. 设，则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 因为，所以. 由得，且. 因为，，， 所以函数在和上各有一个零点，共2个零点． 【典例5】 已知函数在点处的切线与轴垂直. (1)求的值； (2)求的极值； (3)求方程的实数根的个数. 【答案】(1) (2)的极大值，的极小值 (3)有1个实数根 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可知，即可求解； （2）由（1）知，代入可求得函数的单调性，结合极大值、极小值定义即可求解； （3）根据函数的极值与函数单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）由题知， 所以. 由题意可知，解得. （2）由（1）知，， ∴当时，0；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 即的极大值，的极小值. （3）即. 因为，故方程在上没有实数根； 又，则，所以方程在上有1个实数根. 故共有1个实数根. 会一题通一类 1．已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值与导数的关系，即可求得答案； （2）先判断出，即可将方程有两个不等实根，转化为与有2个交点的问题，结合函数的导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为R，， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，， 故a的取值范围为． 2．已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由时，，再根据过原点切线的求法求切线即可； （2）由恰有两个不同的正实数根，等价于在有两个不同的解，令，求导分析单调性，根据单调性作图即可确定的取值范围. 【详解】（1）当时，，设直线的方程为， 曲线与直线相切于点， 因为，所以①， 又点既在曲线上，又在直线上， 所以②，由①②得，所以， 所以，故的方程为. （2）由得：， 恰有2个正实数根恰有两个正实数根， 令，则与有两个不同交点， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则的图象如图所示， 当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为. 学后测评 1．已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，画出函数的图象、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）由， 令，或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时，极小值为，极大值为， 而， 所以函数在时，最大值为，最小值为， 所以函数在时，值域为 （2）函数， 函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数问题， 结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图象， 当，或时，直线与函数图象没有交点，因此函数没有零点， 当，或时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 当时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 综上所述：当，或时，函数没有零点， 当，或时，函数有个零点， 当时，函数有个零点. 2．给定函数 (1)判断函数的单调性，并求的极值. (2)若有两个解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，求函数的极值. （2）根据函数的单调性，结合函数值的符号，可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 在处，函数取得极小值，. 无极大值. （2）当时，； 当时，； 当时，. 作函数草图如下： 所以有两个解，可得. 即所求的取值范围为： 3．已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解切线方程； （2）由题可得，令，利用导数判断函数的单调性和最小值，并结合函数的零点即可求解． 【详解】（1）当时，， 则，即切点为， 因为，所以切线斜率， 所以所求切线方程为，即， 所以的图象在处的切线方程为； （2）由题意，知有解，即有解， 整理得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 当时，；当时，， 所以的值域为， 即，即， 所以的取值范围是． 4．已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数的性质，结合函数的单调性进行运算证明即可； （2）根据导数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据参变量分离法，通过构造新函数，利用数形结合思想分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）， 因为，， 所以，因此， 所以当时，函数在上单调递减， 于是由，证毕； （2）当时，，， 当时，，所以函数在时，单调递增， 当时，，，显然， 因此，所以函数在时，单调递减， 所以当时，函数有最小值； （3）当时，， 所以此时该函数是实数集上的减函数，而， 所以此时函数有唯一零点； ， 设， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，且， 函数的图象和直线的图象如下图所示： 显然当时，直线和函数的图象有唯一交点； 函数在处的切线斜率为， 因此当时，直线和函数的图象有唯一交点； 因此当时，直线和函数的图象有两个交点， 当时，直线和函数的图象有两个交点， 综上所述：当时，函数有两个零点， 当时，函数有一个零点. 5．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数． 【答案】(1) (2)在上单调递增，零点个数为1 【分析】（1）利用导数来求切线即可； （2）利用导数来判断单调性即可得解. 【详解】（1）当时，， 则，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）当时，，则， 当时，，则， 故在上单调递增． 又因为，所以在上的零点个数为1． 6．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求函数在上的值域； (3)若方程有三个不同的根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数在区间上的单调性，再根据单调性求解即可； （3）将问题转化为的图象与直线有三个交点，利用导数确定函数的单调性、求出极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】（1）若，则， 所以. 因为， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）若，则， 所以. 令，则. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以，即. 因为在上单调递增， 所以，， 故函数在上的值域为. （3）方程有三个不同的根， 等价于的图象与直线有三个交点. 因为， 易知在，上单调递减，在上单调递增. 因为，，且当时，， 当趋于时，趋于时，当趋于时，趋于时， 所以当时，的图象与直线有三个交点， 故的取值范围是. 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解； （2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间； （3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参. 【详解】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 8．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先求出，在求出及，即可求解； （2）由得恒成立，等价于恒成立，设并求出其最大值，从而可求解； （3）求令，即求，由（2）即等价于函数的图象与函数的图象的交点个数，再结合在区间上的取值情况，再对分情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，且， 则，因， 所以在点处的切线方程为，化简为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. （3）由题知令，即，则得，从而得， 由（2）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 9．已知函数的图象在点处的切线经过点． (1)求实数的值； (2)证明：； (3)证明：有且仅有一个零点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）先求出，再代入得出切线的斜率，进而点斜式得出切线，最后应用点在切线上计算求参； （2）构造函数，再求出导函数得出函数的单调性及最值即可证明； （3）先根据导函数得出单调性结合零点存在定理得出零点，再根据（2）结合不等式性质得出，分段即可证明零点的唯一性. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又因为， 所以函数的图象在点处的切线为，即， 又切线过点，所以； （2）令，则， 当时单调递增；当时单调递减； 所以， 所以，即； （3）因为，所以， 当时，，所以，所以在上单调递减； 因为， 所以时存在唯一使得； 当时，由（2）知：，当且仅当时等号成立， 又因为， 所以， 所以，所以时没有零点； 又因为， 所以当时，有一个零点；当时，没有零点； 所以当时，有且仅有一个零点； 10．已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)求的零点个数． 【答案】(1) (2)见详细解析 (3)2 【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解； （2）令，求导研究的单调性，同时结合即可求证； （3）令，求导研究的零点及正负分布，得到的单调性，同时结合即可求解出的零点个数． 【详解】（1）将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． （2）当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． （3），令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知在上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． 11．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值. (2) (3). 【分析】（1）若，则，利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）若对任意的恒成立，即,只需，利用导数研究函数的单调性，求出该函数的最大值，即可求解； （3）存在零点等价于与轴有交点，结合（2）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【详解】（1）（1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. （3）令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. 12．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)的取值范围是. 【分析】（1）先确定函数定义域，求导并将导函数因式分解为，找到临界点和；再以临界点的大小关系和临界点是否在定义域内为分类依据，分，，，四种情况；最后分别判断导函数在各区间的符号，进而确定函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性，求出不同参数范围下函数的极值，再分析和时的函数趋势（由主导项、决定），并根据“两个零点需满足极小值且两端点趋势为”的条件，筛出符合要求的参数范围；最后对，，的情况，通过分析极值符号排除不符合的参数范围，最终确定的取值. 【详解】（1）的定义域为， ， 若，恒成立，令，得， 则当时，；当时，． 若，令，得或（）， 则当时，；当时，． 若，，当且仅当时取等号， 则在上单调递增. 若，令，得或（）， 则当时，；当时，． 综上：当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无减区间； 当时，在，单调递增，在上单调递减． （2）由（1）得， ①当时，在单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 又因为当时，当时，所以符合； ②当时，，在上只有一个零点2，所以不符合； ③当时，在单调递增， 在上单调递减，， 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则，所以， 则在上没有两个零点，所以不符合； ④当时，在单调递增，无减区间，不符合； ⑤当时，在，单调递增，在上单调递减， 因为，所以不符合． 综上：当时，有两个零点． 故的取值范围是. 13．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，，构造函数，求导推得，结合恒成立即得的值； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减， 又，所以当时，，不符合题意； ② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以， 因为，则其等价于，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，因恒成立，故． （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 因为，所以当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 14．已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数在的最大值和最小值； (3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为最小值为 (3) 【分析】(1)由函数在点处的切线方程为可得，再进行求导，令解方程可得. （2）令导函数求解分析导函数的符号，可知函数的单调区间，再比较极值和区间端点函数值的大小可得最值. （3）方程恰有两个不等实根，转化为图像和有两个交点，根据的单调性和变化情况，可求得. 【详解】（1）,因为在点处的切线方程为 所以有所以解得 （2）由(1)可得当或     单调递增 单调递减 单调递增 所以在和上单调递增，上单调递减，又因为计算可得， 所以在的最大值为，最小值为 （3）由（2）可知，的极大值为，极小值为 当所以当时，.所以当且仅当时，方程恰有两个不等实根. 15．给定函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值，无极大值； (2)作图见详解； (3)答案见详解 【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）由函数的单调性、极值即可作出图象. （3）利用数形结合法即可求解. 【详解】（1）由，定义域为 ， 令，即， 令，即， 令，即， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，为极小值点， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）函数的大致图象，如图所示：    （3）方程解的个数等价于于的交点个数. 由（2）可知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 16．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)（i）求在处的切线方程和在处的切线方程； （ii）若方程有两个不同的实根，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）在处的切线为，在处的切线为；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性； （2）（i）根据导数的几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程； （ii）根据单调性可确定，利用（i）中切线对函数进行放缩，可证得与交点的横坐标、与交点的横坐标分别满足、，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意知：定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由（1）得：，，又， 在处的切线方程为：，即； 在处的切线方程为：，即. （ii）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 不妨令，为方程的两根，； 设，， ，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即在上恒成立； 设与交点的横坐标为，则， 又，，； 设，， ，在上单调递减， ，即在上恒成立； 设与交点的横坐标为，则， 又，，； ，， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题15 利用导数研究函数的零点问题及方程的根讲义 微专题教学内容 利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 典例精讲 【典例1】 已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 会一题通一类 1．已知. (1)当 时，求在处的切线方程； (2)若只有一个零点，求 的取值范围. 2．已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【典例2】 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. (1)求函数的解析式； (2)当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围 会一题通一类 已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 【典例3】 已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 会一题通一类 已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. (1)求的值； (2)若在区间上的最大值为20，求的值； (3)若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 【典例4】 已知是函数的极小值点. (1)求实数的值； (2)讨论函数在区间内的零点个数. 会一题通一类 已知函数. (1)当时，判断有无极值点，并说明理由； (2)当时，判断函数在上的零点个数并给出证明. 【典例5】 已知函数在点处的切线与轴垂直. (1)求的值； (2)求的极值； (3)求方程的实数根的个数. 会一题通一类 1．已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 2．已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 学后测评 1．已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 2．给定函数 (1)判断函数的单调性，并求的极值. (2)若有两个解，求的取值范围. 3．已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 4．已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 5．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数． 6．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求函数在上的值域； (3)若方程有三个不同的根，求的取值范围. 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 8．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 9．已知函数的图象在点处的切线经过点． (1)求实数的值； (2)证明：； (3)证明：有且仅有一个零点． 10．已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)求的零点个数． 11．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 12．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 13．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 14．已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数在的最大值和最小值； (3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 15．给定函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数 16．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)（i）求在处的切线方程和在处的切线方程； （ii）若方程有两个不同的实根，证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $