微专题14 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题14 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题 微专题教学内容 1. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2. 恒成立问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 3. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 4. 能成立（有解）问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 典例精讲 【典例1】 已知恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】由给定的恒成立的不等式分离参数得到，构造函数，求出函数的最小值即可. 【详解】由题意知恒成立，令， 则．是个超越方程， 观察知，当时，． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而，得． 会一题通一类 已知函数．对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分参得到，求导确定函数的最小值即可求解. 【详解】由不等式恒成立，分参得到在恒成立， 令， 则， 令， 则恒成立， 所以在单调递增，又， 所以当时，，，在单调递减； 当时，，，在单调递增； 所以， 所以. 【典例2】 已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，求导得到单调性和最小值，即可得出结果. 【详解】（1）当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． （2），其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 会一题通一类 1．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性； （2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可. 【详解】（1）由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． （2） 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 【典例3】 已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，确定函数单调性即可求证； （2）求导，通过，，时，讨论单调性即可求解； 【详解】（1）当时，，, 则函数在单调递减 即． （2） ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得 综上所述：． 会一题通一类 1．已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可求得，再根据基本不等式即可得出证明； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论得出在上的单调性，得出其在上的最小值，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 （2）易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围为. 2．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 令，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由对任意恒成立， 得对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则有， 显然为增函数，可得， 则，所以． 由（1）可知， 所以，故的取值范围为． 【典例4】 设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得函数最值，即可证明不等式； （2）由已知可得，求导判断函数单调性，即可得函数正弦值，进而可得参数范围. 【详解】（1）因为当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以当时，． （2）因为， 所以， 由（1）知，当时，， 所以， 所以在上单调递减， 所以当时，， 因为在上有解， 所以，即， 所以的取值范围是． 会一题通一类 1．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 2．已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知， 讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【详解】（1）因为， ，， 所以，则. 故点处的切线方程为，即. （2）由已知有，令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合 则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故，，所以A不是B的子集. 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意. 综上，的取值范围为 学后测评 1．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，，减区间为； (2) 【分析】将的值代入，（1）根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）根据题意，不等式恒成立则利用导数求解的最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，则， 令，解得或，     和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负及的单调性如表： 单调递增 单调递减 单调递增 函数的增区间为，，减区间为； （2）当时，，， 在区间上，当时，，当时，， 当时， 函数在上有极小值也是最小值，并且最小值为，     在区间上恒成立， ，         故的取值范围为． 2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，根据导数求得最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解； （2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解． 【详解】（1）的定义域为， 令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上得在上单调递减，在上单调递增． （2）依题意，存在，使得，令， 则，当时，单调递减， 当时，单调递增， 故，因此， 故的取值范围为． 4．已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设切点为，求得切线方程为，将坐标代入，求得，进而得到切线方程； （2）把不等式转化为恒成立，令，求得为增函数，结合，，得到，使得，得到，求得，得出的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 设切点为，则切线方程为， 将坐标代入，可得，即， 可得，所以，所以切线方程为． （2）解：因为函数，， 由不等式，可得，所以恒成立， 令，则， 令，，所以在为增函数， 因为，，故，使得， 即，可得，所以， 又由函数，可得，所以在单调递增， 所以，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，所以， 所以实数的取值范围为． 5．已知函数，． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，均有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将单调性转化为在区间上恒成立，求导，分离参数，求解函数的最值即可得解， （2）利用换元，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用导数求解最值即可求解. 【详解】（1）由于在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 故，即在区间上恒成立， 由于函数在区间上单调递增，故当时，取到最大值， 故. （2）由题意可得对，恒成立，即， 令，则， 由于恒成立，故在单调递增，故， 因此在恒成立，故， 记，则，故当，因此在单调递减，在单调递增， 故，故. 6．已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【详解】（1）∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． （2）由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． （3）由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 7．已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间； (2)若对成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）先根据题意得到的定义域及，再根据即可得到的值，进而根据的正负可得到函数的单调区间； （2）先根据题意分离参数，再构造函数，进而通过求导分析其单调性即可得到的取值范围． 【详解】（1）依题意得的定义域为，， 由曲线在点处的切线与轴垂直， 则，得， 所以， 当时，，，则； 当时，，，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由得， 令， 则， 令，得， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 所以，即． 故的取值范围是． 8．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若，判断的零点个数并证明； (3)若对任意，求实数的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2)两个零点，证明见解析； (3). 【分析】（1）将代入函数，确定定义域，求导分析导数的正负，确定单调性和极值； （2）将代入函数，利用零点存在性定理，结合导数分析单调性来判断； （3）根据不等式恒成立，分析函数在区间上的最小值，确保最小值非负. 【详解】（1）当时，函数，其定义域为， 对求导，得， 设，对求导得，所以在上单调递增； 又， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以在处取得极小值，，无极大值； （2）当时，， ，所以是一个零点， 求导得，令， ， 当时，， 当时，， 综上 ，即在上单调递增， 又， 所以存在唯一的零点， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，又， 所以在上还有一个零点， 综上，在上有且仅有两个零点； （3）当时，成立， 当时，因为，所以，， 所以，所以， 当时，，令， 则， 因为，，，， 所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 又， ①当时，，所以， 在上单调递增，则， 所以在上单调递增；又，所以恒成立； ②当时， ， 在上单调递增， 存在，使得当时，在上单调递减， 则，时，不恒成立； 当时，恒成立，则. 9．已知函数. (1)若，求的最大值； (2)证明存在唯一的极大值点，且； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）对函数求导得，令且，判断导数的区间符号确定单调性，进而求最大值； （2）设，根据零点存在性定理确定零点所在区间，进而判断的符号，求的单调性，再求其极大值点，最后证明； （3）问题化为，讨论、、，再应用导数研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）当时，，则. 易知在上单调递减，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值即最大值，为； （2），设， 因为，所以在上单调递减，又，时，， 因此，使得，即，即， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此存在唯一的极大值点， ， 当且仅当时等号成立，得证. （3），即，因为，所以， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式转化为恒成立，设， 所以， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递增，在上，单调递减， 所以在内有唯一极大值点，即，从而， 当时，不等式转化为恒成立， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在内有唯一极小值点，则，从而， 综上，的取值范围是. 10．函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①将已知不等式转化为恒成立，利用导数讨论函数单调性进而求解；②利用导数及转化思想先证，再证； （2）把已知不等式转化为恒成立，利用导数求出必要条件，再证明是充分条件，进而求出的取值范围． 【详解】（1）①恒成立，即恒成立，即恒成立， 求导得， 若，则，单调递增，但，不满足题意； 若，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故在处取最小值，， 设，求导得， 当时，，递增； 当时，，递减， 在处取得最大值，仅当时恒成立， ． ②先证：，即，即，即， 令，， 在上单调递增，故，即，； 再证：，即，即， 令，则， 在上单调递增，，， 综上，． （2）恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则， 求导得，， 令， 求导得， 为必要条件，即， 充分性：当时，， 在上单调递减，即， 在上单调递减，故，即成立， 综上，a的取值范围为． 11．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 12．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2) 【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 13．已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意结合导数依次求出即可由直线点斜式方程求解； （2）先由得到，构造函数，利用导数求出即可由存在性得解. 【详解】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 14．设函数，． (1)当时，求与函数的图象在点处相切的直线方程； (2)若在其定义域内为单调递增函数，求的取值范围； (3)若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）问题转化为在上恒成立，再分离参数得在上恒成立，利用基本不等式，可求的取值范围. （3）解法1：分情况讨论函数的单调性，根据可求的取值范围．分情况讨论函数的单调性，根据可求的取值范围． 解法2：分离参数得，令，，利用导数分析函数的单调性，求其最小值即可. 【详解】（1）． 因为当时，点在的图象上，所以． 则该点处的切线方程为，即． （2）， 要使为单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立． 又，当且仅当时取“”. 所以当时，在上为单调递增函数． （3）解法1：因为在上单调递减，所以． ①当时，由（2）知在上单调递减， 故，不合题意． ②当时，由（2）知在上单调递增， 又在上单调递减，故只需， 即，得． ③当时，因为， 所以． 易知在上单调递增， 所以，不合题意． 综上，的取值范围为． 解法2：在上作差再分离参数得． 令，，则， 令， 则， 设，则在上单调递减， 且，所以，单调递减， 即在上单调递减. 又，所以，单调递减． 又， 所以，从而，单调递减． 因此，只要，得的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题14 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题 微专题教学内容 1. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2. 恒成立问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 3. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 4. 能成立（有解）问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 典例精讲 【典例1】 已知恒成立，求实数的取值范围． 会一题通一类 已知函数．对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】 已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 会一题通一类 1．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【典例3】 已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 会一题通一类 1．已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 2．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【典例4】 设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 会一题通一类 1．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 2．已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 学后测评 1．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 4．已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围． 5．已知函数，． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，均有，求的取值范围． 6．已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 7．已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间； (2)若对成立，求实数k的取值范围． 8．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若，判断的零点个数并证明； (3)若对任意，求实数的取值范围. 9．已知函数. (1)若，求的最大值； (2)证明存在唯一的极大值点，且； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 10．函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 11．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 12．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 13．已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 14．设函数，． (1)当时，求与函数的图象在点处相切的直线方程； (2)若在其定义域内为单调递增函数，求的取值范围； (3)若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $