微专题11 导数中的隐零点问题（虚设零点设而不求）讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题11 导数中的隐零点问题 （虚设零点设而不求）讲义 微专题教学内容 在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”． 1. 解题步骤 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简: （1）要么消除 最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到 最值式的估计. 2. 隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 3. 解题感悟 1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。 2.隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。 3.解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。 4.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。 典例精讲 【典例1】 用隐零点证明不等式： 【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答. 【详解】令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增， 而，，则存在，使得，即，有， 当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 所以. 会一题通一类 1.用隐零点证明 证明: 要证明左边大于右边, 只需证明左边的最小值大于右边即可 然后求导 , 单增, , 因此 存在零点, 有一个极小值 设 的零点为 (1), 两边同时取自然对数, (2) 将(1)、(2)带入 , 得 , 证毕 2.已知函数． (1)求的极值； (2)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案； （2）根据要证明的不等式的结构特点，设，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 则， 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； （2）证明：设， ，令， 则，即在上单调递增， ， 故，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故 即，即，则. 【典例2】 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 会一题通一类 1．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导，根据参数的取值，分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性； （2）求导得，设，得函数在上单调递增，利用零点存在定理，得到存在，满足，推得的单调性，即得 ，从而证得结论； （3）由转化为，设，求得，再设，判断其单调性得到，即得参数的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 当时，，即函数在上为增函数； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因函数的定义域为，， 令，则， 即函数在上单调递增，当时，，且， 故存在，使，则得. 当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故， 因，故得，即，故. （3）由可得，即， 设，则，故函数在上单调递增，则. 再设，则， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增， 故，故得，即的取值范围是. 2．函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为，恒成立的问题，设，，利用导数求函数的最小值即可. （3）问题转化为，设，，只需证的最小值大于0即可. 【详解】（1）因为，所以. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时， . 当时，上式恒成立，即； 当时，. 设，， 则 . 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 所以由 ，由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 综上可知：的取值范围为：. （3）时，要证，即. 设，则，. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，，则方程只有一解，设为，且，. 当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以 . 因为，所以，，，所以. 即. 所以在上恒成立. 从而原命题成立. 【典例3】 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在定义域内恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理先判定时符合题意，再适当放缩即可证明. 【详解】（1）当时，， ， 当时，曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题知，函数的定义域为， 当时，设， 则． 令，则对任意恒成立， 在上单调递减，又， ，使得，即，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， ，即． 又， ， 当时，在定义域内恒成立． 会一题通一类 1.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）利用导数求斜率，由解析式求出切点纵坐标，然后可得切线方程； （2）将问题转化为，令，求导，利用零点存在性定理判断极值点，利用隐零点方程化简极小值可得，结合二次函数性质即可得证. 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 又，所以切线方程为，即. （2）， 令，则， 因为， 所以存在，使得，即， 易知在上单调递增， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当时，取得最小值： ， 由二次函数性质可知，在上单调递减， 所以，即， 所以. 2.已知函数，若的最小值为0， (1)求的值; (2)若，证明:存在唯一的极大值点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况讨论求解即可； （2）令，求导后可得在递减，递增，再结合零点存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零点，从而得是唯一的极大值点. 【详解】（1）， 当时，，所以在上递减，则没有最小值， 当时，由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得最小值，得成立， 下面证为唯一解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以方程有且只有唯一解， 综上，； （2）证明:由（1）知， 令， 当时，，当时，， 所以在上递减，上递增， 因为， 所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零点， 所以当或时，，即， 当时，，即， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 即是唯一的极大值点， ， 由，得， 所以， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的单调性，考零点存在性定理，考查导数的综合应用，第（2）问解题的关键是二次求导后结合零点存在性定理确定出函数极值点的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 学后测评 1．已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）证明：. 【答案】（1）（2）详见解析 【分析】(1)对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程 (2)由导数可知存在极小值点，即最小值，下证 【详解】（1），， 又由题意得，，所以， 即切线方程为. （2）证明：由（1）知，易知在区间单调递增， ，且，所以，使得，即有唯一的根， 记为，则， 对两边取对数，得整理得， 因为时，，，函数单调递减， 时，，，函数单调递增， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，即. 【点睛】本题考查了运用几何意义求函数的切线方程，在求解不等式时要求出函数的最小值，由导数求得极值点，代入化简运用不等式求出结果，属于中档题 2．设函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性即可证明； （2）证法一：通过求导推得在区间上单调递增，在区间上单调递减，化简计算得到，要证等价于证明，即证，由计算即得证得；证法二：由（1）可推出在区间上恒成立，又当时，，分析去掉等号即可得证； （3）设，则不等式等价于，分析可得 ，分类讨论时满足条件的的范围，易得当时满足条件，当时，分析讨论函数的单调性，推得在区间上的最小值在或处取得，从而得到，即得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，故， 所以在区间上单调递减，所以，即. （2）证法一：当时，. 当时，，此时； 设，则， 当时，，当且仅当时取等号， 故在区间上单调递减， 又，因此存在唯一的，使得， 即，即， 且当时，，当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由. 由且，得. 故， 要证等价于证明，即证. 因为，所以，不等式成立， 即得证. 解法二：由（1）知当时，， 当时，，所以， 所以在区间上恒成立， 所以当时，， 由于前面的等号在处取到，后面的等号在处取到， 所以，即. （3）设，不等式等价于， 故题目等价于：对所有恒成立，且对所有恒成立， 由于的图象是一条连续不断的曲线， 故由所有恒成立可知必有， 由对所有恒成立可知必有，故. 现求时满足条件的的范围. ① 当时，， 故在区间上单调递减.则在区间内的最大值为， 因此在区间上恒成立，满足条件； ②当时，，即，记，则， 当时，，故，则在区间上单调递减， 又，故在区间上先递增再递减， 也即在区间上的最小值在或处取得. 又，故在区间上的最小值只能是0或. 要使在上恒成立，需使，解得. 综上，要存在使题设成立，必须满足. 又，当时，. 故的取值范围是. 3．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 4．已知函数，为的导函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在单调递增； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性； （2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围； （ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，，所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 5．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，二次求导，得到函数的单调性； （3）证法一：由（2）得，在上单调递增，结合零点存在性定理和特殊点函数值得到的单调性和最值，结合基本不等式求出，证明出结论； 证法二：当时，等价于，令，则有，令，求导得到单调性，证明出结论. 【详解】（1）当时，，， 则，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，则， 令函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增； （3）证法一：由（2）得，在上单调递增， 因为，由，， 可知存在唯一实数，使得， 即，两边取对数，变形可得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以的极小值为 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以， 所以. 证法二：当时，等价于， 即， 令，则有， 先证当时，， 令函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，即当时，得证； 再证， 令函数，则， 当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即得证； 综上，，即当时，得证. 6．已知函数是函数的导函数，且． (1)求； (2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导函数结合，求出原函数即可； （2）根据题设函数的单调性，得出导函数在内恒成立，分离参数，利用新设函数的导函数分析其单调性，即可求得的取值范围； （3）通过二次求导结合零点存在定理分析导函数的单调性，从而求出函数的最值证得，再利用放缩法可证得不等式. 【详解】（1）由题意，设，（为常数）， 又，所以，则． （2）由题意，在内恒成立． ，，． 令，则， 在区间上单调递增， ，即. 所以实数a的取值范围是． （3）设， 又，则，所以在区间上单调递增． ，，即， ，使，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又， ，此时且， ∴， 又，，则， 综上，． 7．已知函数，曲线在处的切线方程为．（参考数据：为自然对数的底数，） (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）利用导数讨论函数的单调性，结合零点存在定理和导函数的单调性估算出极小值点的范围，利用前者估算函数的最小值的范围后可证. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意可得，，故． （2）证明：由（1）知，，， 令，其中，则， 故为上的增函数． 又，， 因为，故， 因为，故即，故， 所以在上有且只有一个实数解， 且，． 又当时，； 当时，； 则在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以． 8．已知函数． (1)证明：有唯一的极值点； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，利用零点存在性定理及极值的意义推理即得. （2）利用（1）中的极小值不小于0，再探讨极小值点的取值范围即可求出的范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 又，取，且， 显然，因此存在唯一，使得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，取得极小值，无极大值， 所以有唯一极值点. （2）由（1）知，，即， 依题意，，将代入整理得，， 设，求导得， 于是函数在上单调递减，又，则，解得， 因此，解得， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同. 9．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，分，和三种情况，结合函数单调性得到最大值； （2）变形为，构造，求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，求出最大值为，故，证明出结论. 【详解】（1），， 故， 若时，，又，所以， 所以在上单调递减， 所以最大值为， 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， 若时，时，， 所以在上单调递增，故最大值为， 综上，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为； （2）当时，，定义域为， ， 即证，即， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 其中，， 由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， ，故， 所以，所以， 故. 10．已知，函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求，代入计算即为斜率，求的值，结合点斜式即可求得切线方程. （2）①研究当时，的单调性，②研究当时，令，运用导数研究单调性，结合零点存在性定理可知存在唯一，使得，即，进而可证得的单调性，进而可证得结果. （3）将问题转化为，由（2）可知， ，，进而可得存在，使得，设，，进而将问题转化为求，运用导数求即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由，， ①当时，，则在上单调递增， ②当时，设，则， 所以，故在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即. 所以当时，，即；当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得. 故存在唯一的极值点. （3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故， 因为，所以， 由题意知，， 即， 化简得，， 设，， 由题存在，使得， 所以，. 又 设，，则， 所以在上单调递减， 故， 当时，，；当时，，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立（能成立）问题解题策略： 方法1：分离参数法求最值： (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题； (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔； 方法2：根据不等式恒成立（能成立）构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题11 导数中的隐零点问题 （虚设零点设而不求）讲义 微专题教学内容 在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”． 1. 解题步骤 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简: （1）要么消除 最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到 最值式的估计. 2. 隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 3. 解题感悟 1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。 2.隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。 3.解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。 4.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。 典例精讲 【典例1】 用隐零点证明不等式： 会一题通一类 1.用隐零点证明 2.已知函数． (1)求的极值； (2)证明：． 【典例2】 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 会一题通一类 1．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 2．函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 【典例3】 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在定义域内恒成立． 会一题通一类 1.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 2.已知函数，若的最小值为0， (1)求的值; (2)若，证明:存在唯一的极大值点，且. 学后测评 1．已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）证明：. 2．设函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围. 3．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 4．已知函数，为的导函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 5．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 6．已知函数是函数的导函数，且． (1)求； (2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，证明：． 7．已知函数，曲线在处的切线方程为．（参考数据：为自然对数的底数，） (1)求的值； (2)求证：． 8．已知函数． (1)证明：有唯一的极值点； (2)若，求的取值范围． 9．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 10．已知，函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $