微专题08 利用二阶导函数解决函数问题讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题08 利用二阶导函数解决函数问题讲义 微专题教学内容 1. 二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 2. 函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 3. 曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。 4. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。 5. 解决这类题的常规解题步骤为: (1) 求函数的定义域; (2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负; (3) 构造求 , 求 ; (4) 列出 的变化关系表; (5) 根据列表解答问题。 典例精讲 【典例1】 已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】在上单调递增 【分析】对求导，令，讨论与的大小，可得的单调性，即可证明，即，即可证明. 【详解】依题意，. 令，故，令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故，即， 故函数在上单调递增. 会一题通一类 1.已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）对函数求导得，然后令，再求导，从而求解. （2）利用分离常数得在区间上恒成立，从而只需求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为，定义域为，得 令，则，当，得， 当，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，只需 因为，令，， 有， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 2.已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是 (2). 【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解； （2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】（1），， ，恒成立， 所以在递增. 所以当，； ， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是. （2）， ①当时，由（1）知有且只有一个零点. ②当时，，则在区间上单调递减， 所以至多有一个零点. ③当时，，， 又因为的图象在区间上连续不间断， 所以，使得，即. 令，， 所以在区间上单调递增， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以， 所以无零点. ④令，当时，， 所以在区间上单调递减， 所以，有， 所以，则. 当时，，， 又因为的图象在区间上连续不间断， 所以，使得，即. 令，， 所以在区间上单调递增， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以. 令. ， 又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，， 所以有且只有2个零点. 综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可. 【典例2】 已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解. （2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可. 【详解】（1）当时， 所以 令在恒成立，所以函数在单调递增，且 ， 所以当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 所以函数在处取得极小值，无极大值； （2）当时， 所以． 令在恒成立 所以函数在单调递增， 且当时，；当时，， 所以函数在存在唯一零点， 即， 且当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增, 所以函数在处取得极小值, 也为最小值， 要证不等式成立， 即证成立， 即 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论． 会一题通一类 已知函数，.（注：是自然对数的底数） (1)若无极值点，求实数的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解； （2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可. 【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知， 无变号零点，令（*）， 显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意； 故当（*）可变形得， 令，原问题等价于的图像与无相交交点， 又，则，，单调递增； ，，单调递减； 又趋于，趋于；趋于，趋于；. 可得的图象如图： 由图可知，解得， 综上， （方法二）构建，则 ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为，， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，当时恒成立，即无极值点； ③当时，当，；当，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则即. 当时，， 当时，， 设，，故， 故在上为增函数， 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点. 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述： （2）（方法一）由可知，， 即， 令，即证， 易知， 则， 若，即时， 则，，单调递增，，不符合题意； 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 又，故令， 解得，即， 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 故令 ， 记，则恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即， 即对于任意，恒成立， 综上所述， （方法二）①当时，不等式恒成立，可得； ②当时，可得恒成立，设， 则 . 可设，可得， 设，， 由，可得恒成立，可得在上单调递增， 在上单调递增，所以， 即恒成立，即在上单调递增，所以， 再令，可得， 当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 所以， 所以，综上可得的取值范围是. 【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值. 【典例3】 已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用二次导数讨论函数在单调性，由单调性可证； （2）先根据在处的导数符号可得，然后利用放缩放判断导数符号，再根据单调性即可验证； （3）利用不等式，结合放缩法和裂项相消法可证. 【详解】（1），记， ，故单调递增， 又，单调递增， 所以，即. （2），，若时，，则存在区间，使得单调递增， 故必有，即，验证：当时，. 由（1）可知， ，即在上单调递增，满足题意， 综上，. （3）由（2）可知，当，时，，取， 则①， . ②，， 综上. 【点睛】本题不等式直接证明难度较大，对于此类不等式经常需要进行适当的放缩，本题难点在于利用（2）中结论，以及不等式问题中一些常见结论进行转化，要求学生熟记常见结论并能灵活运用. 会一题通一类 已知函数，． (1)当时，求证：． (2)令，若的两个极值点分别为m，n（m<n）． ①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）； ②求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①在处的切线方程；在处的切线方程；②证明见解析 【分析】（1）首先构造函数，求导得，利用导数证明在上恒成立，即得在上恒为增函数，进而证明出，即得证结论. （2）①首先对求导得，令并将代入，，利用导数可得当时，单调递增，当时，单调递减，又因为，所以得，，最后根据导数的几何意义分别求解在处与处的切线方程即可. （2）②首先通过构造函数与，利用导数判断切线与函数图象的位置关系，进而得到m，n关于a的不等式，最后借助不等式的性质证明不等式 【详解】（1）令， 则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以． （2）（2）①由题可得， 则．令， 当时，，则， 令，则，所以在R上单调递减， 又，， 所以存在，使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，所以，， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为， 在处的切线方程为． ②令， 则， 令，则，所以在R上单调递增， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 即； 令，则， 令， 则，所以在R上单调递增， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 即． 所以当时，曲线在，处的切线，均不在图象的下方， 所以， ， 得，． 所以，即． 【点睛】关键点点睛：解决本题第②问的关键是巧用第①问中所求切线方程，构造函数与，通过利用导数分析判断 切线与函数图象的位置关系列不等式，得到m，n关于a的不等式，最后借助不等式的性质证明不等式 【典例4】 已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为在上恒成立，利用二阶导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】（1）当时，，则， 于是，， 则函数在点处的切线方程为 ，即； （2）因为在上恒成立，所以在上恒成立， 设，，则， 令，，则在上恒成立， 因此在上单调递减，于是， 因此在上恒成立，在上单调递减， 则，由此可知，，于是实数的最大值为． 会一题通一类 已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果； （2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，所以的单调递减区间为, 当时，令，则，所以的单调递增区间为， 令，则，所以的单调递减区间为, 综上：当时，的单调递减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令（）， 令（），则， 令（），则， 由得，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以，所以. 综上实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得对恒成立，再设新函数（），对此求导研究其最值即可. 【典例5】 已知函数，的导函数为． (1)若存在极值点，求的取值范围； (2)设的最小值为，的最小值为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)先求的导数，得到的解析式，再求的导数，由存在极值点，可知有实数根，把转化为两个函数和有交点的问题，通过求导讨论单调性可知，只需即可有交点，得到不等式解出的取值范围； (2)由(1)可得 的单调性，由，可设的零点，从而得到的单调性，得出的最小值，再由，可设的零点，从而得到的单调性，得出的最小值，由把证明转化为证明，通过作差，讨论的单调性可得，即可证明结论. 【详解】（1）因为函数， 所以， 即. 则， 存在极值点，即有实数根，即有实数根，即有实数根， 令，则， 所以在上单调递减. 因为在上单调递增， 所以要使在上有实数根， 只需，即即可，解得， 所以的取值范围为. （2）由(1)知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以存在，使. 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，. 因为， ， 所以存在，使. 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 即 令，要证，只需证. 因为 令，，则， 所以在上单调递增，，所以， 所以， 即，即. 【点睛】难点点睛：本题的难点在于零点不能直接求出，对于题目中出现隐零点的一般思路是：先用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点；再虚设零点并确定取范围，利用导数讨论单调性及最值，其中可能需要构造函数进行二次求导. 会一题通一类 1.已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）对函数求导得，然后令，再求导，从而求解. （2）利用分离常数得在区间上恒成立，从而只需求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为，定义域为，得 令，则，当，得， 当，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，只需 因为，令，， 有， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 2.已知为自然对数的底数，为常数，函数. (1)求函数的极值； (2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况，求函数的极值； （2）根据不等式构造函数，并求函数的二阶导数，利用二阶导数，讨论的取值范围，判断函数的单调性，利用，即可求实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，函数单调递减，无极值； 当时，由得， 当时，，当时，， 所以在区间单调递减，在单调递增， 当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值； （2），关于的不等式恒成立， 设，则，， （ⅰ）当时，，单调递增， ，当时，， 所以存在，使，所以在上单调递减， 当时，矛盾； （ⅱ）当时，令，解得：， 在区间单调递减，在单调递增， 若，即时，在单调递增，，在上单调递增，，满足条件； 若时，在上单调递减，此时， 在上单调递减，，矛盾 综上，实数的取值范围. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，以及研究不等式恒成立的综合应用，本题第二问的关键利用二阶导数讨论，由的正负，讨论函数的单调性，转化为判断是否成立. 学后测评 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】 【分析】先对函数求导，通过导函数分析极值点条件，再分析导函数的导数即可. 【详解】由题意，得，是的极小值点，， 令，则， ①当时，恒成立，，在上单调递增， 又 即当时，，单调递减， 当时，单调递增， 故是的极小值点，满足题意． ②当时，令，解得， 即当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， （ⅰ）当时，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 故是的极小值点，满足题意； （ⅱ）当时，， 故当时，，单调递减，故， 单调递减，与是的极小值点矛盾，舍去； （ⅲ）当时，，． 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，即，则在上单调递增， 故无极值，与是的极小值点矛盾，舍去； 综上所述，的取值范围是． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】构造差函数，利用二阶导数，分和讨论即可得解. 【详解】当时，恒成立，即在上恒成立， 设，则， 令，则. ①当时，因为，则， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即恒成立，所以满足题意； ②当时，令，解得：， 当时，，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当时，，即不恒成立，可知不合题意. 综上所述，. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对求导，可得在上单调递增，在上单调递减，不妨设，可得，，要证，只需证，只需证，令求导可得，得证. 【详解】由，因为，所以定义域为， 则， 令，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，又，故，. 要证，只需证，而， 又在上单调递减，只需证即可. 又， 令，则，所以在上单调递增， 故，即，则， 所以. 4．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2）证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 5．（25-26高三上·全国·月考）已知函数． (1)设，讨论的单调性； (2)设，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在定义域单调递增； (2) 【分析】（1）求导，结合基本不等式判断导函数的符号，可判断函数的单调性. （2）先判断函数的奇偶性，把问题转化为：，使即可.再对函数多次求导，分和讨论函数的单调性，求函数的最小值即可. 【详解】（1）. 所以（当且仅当即时取等号）， 所以在定义域单调递增. （2）函数为偶函数， 由对称性可将问题转化为，使即可. 而0，； 设，则； 设，则. 因为，所以， 故在上为增函数； 当时，， 所以在上为增函数； 故，所以在上为增函数， 故，符合题意，故； 当时，, 由（1）得：函数在上单调递增，且. 所以， ， 故，使，所以时，有即为减函数，故， 所以时，有为减函数，故，与题设矛盾，故舍去. 综上所述的取值范围是. 6．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程； （2）令函数，两次求导进行求解． 【详解】（1）当时，． ． 曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，所以当时，． 令函数，则． 令函数， 则 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ． 所以，即的取值范围为． 7．（2025·江西上饶·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数进行求导，根据导数值可求得结果； （2）求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导函数大于零，据此可求得取值. 【详解】（1）已知， 根据求导公式，，， 可得， 因为曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得； （2）由（1）可得，令 则， 若是的极小值点，则， 则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0， 这意味着在处的导数， 把代入得，解得； 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以恒成立，则在上单调递增， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是的极小值点； 当时，此时，令， 则，此时， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立， 则在上单调递增， 当时，，单调递减；当时，； 所以是的极小值点； 当时， 令，即，设， 则，整理得， 由一元二次方程求根公式， 因为，所以，， 存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减， 此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点； 综上的取值范围是. 8．（24-25高三下·北京朝阳·月考）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为单调递增区间为 (3) 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 9．（24-25高三上·福建三明·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，设，得到，求得的单调性，得出，再结合和，两种情况讨论，即可求解； （2）由（1）得到，假设存在满足条件的，进而得到，设，求得，再设，利用导数求得在上单调递增，进而得到答案. 【详解】（1）由 得，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 若，则，，在上单调递增， 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 假设存在满足条件的，则，即 又，所以，所以， 设，则， 因为， 所以在上单调递减，所以， 设，则，所以在上单调递增， 所以，故，与矛盾， 所以不存在，使得的最小值为. 10．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）(1)讨论函数，的单调性，并求出的极值； (2)当时，证明：； (3)若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1)当时，无极值点；当时，有极小值，无极大值. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）对函数进行求导，通过分类讨论当和时函数的单调性以及极值即可得出结论； （2）构造函数 ，通过求导可证 在 上单调递增，当 时， ，即 在 上单调递增，则 ，从而可得证； （3）设，，设，，根据导数与单调性的关系证明单调递增，分，两种情况，判断函数的单调性及取值情况，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，， 当时，，此时函数在上为增函数，无极值； 当时，令，解得， 当，；当，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则当时，函数取到极小值，无极大值. 综上所述：当时，无极值点； 当时，有极小值，无极大值. （2）当时，要证，即证， 构造函数 ，需证 ， 求导得： ，令，则 ， 由于 ，故 ，因此 在 上单调递增； 又 ，故当 时， ，即 在 上单调递增； 而 ， 因此当 时， ，即 . （3）因为对任意，都有恒成立， 所以在上恒成立， 设，， 则，， 设，， 则，， 设，，则，， 当时，，，， 所以， 当时，，，， 所以， 所以函数在上单调递增，又， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，， 当时，在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，， 所以在上恒成立，满足条件， 当时，， 函数在上单调递增， 当时，，所以存在，使得， 即存在，使得， 且时，，函数在上单调递减， 且时，，函数在上单调递增， 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围为. 11．（25-26高三上·河南·期中）已知函数，. (1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：有且仅有一个极值点，且. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求得，将已知恒成立转化为在时为恒成立，进而由求解即得； （2）令，利用导数分析得到在上有唯一零点，并利用分析的单调性得到有且仅有1个极值点，再结合同角三角函数关系即可求得，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以. 因为在时恒成立， 所以在时恒成立. 因为当时，， 所以，即m的取值范围是. （2）由（1）可知. 令，则. 当时，，所以，单调递增， 当时，，所以，单调递减. 又则，，则， 所以，即在上有且仅有一个零点，设为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以有且仅有1个极值点. 因为，所以， 两边平方得，即，解得， 因为，所以，则. 所以. 12．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数（其中）. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，分类讨论即可； （2）转化为对恒成立，即，设 ，利用导数求解； （3）先把恒成立，转化为对任意恒成立，研究单调性，利用图像得到，从而求出的最小值. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为，求导得， 当时，对任意恒成立， 故在上单调递增， 当时：令，解得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，，不等式 可化为， 对恒成立，即恒成立，设， 求导得， 令，则恒成立， 则函数在上单调递减，且， 当时，得，即单调递增； 当时，得，即单调递减. 故在处取得最大值，因此. （3）若不等式恒成立，即对恒成立， 得，，令，则， 由，得，由，得， 得函数在上单调递增，在上单调递减， 且与轴的交点为， 令与轴的交点为， 根据不等式左右两个函数图象的相对位置，可知，即， 当且仅当在处的切线为时，取到等号， 因此的最小值为. 13．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分、及分别求解即可； （2）将原不等式转化为，按与两种情况讨论，在时，研究不等式在上恒成立，运用导数求出不等式右边对应函数的最小值，可得的最大值，进而求出满足条件a的取值范围． 【详解】（1）对求导， 可得， 令，可得或， ①当时，，在区间上，且， 此时，单调递增； 在区间上，且，故，单调递减； 在区间，且，故，单调递增． ②当时，，此时，在上单调递增． ③当时，，在区间上，且， 故，单调递增； 在区间上，且，故，单调递减； 在区间上，且，故，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）将不等式， 整理为， 即， 当时，不等式左右两边相等，符合题意； 当时，不等式等价于，即， 设， 求导数得， 令， 则， 可知在时单调递增，且， 因此在上成立，可得，在时单调递增． 计算出在时的极限：， 可得在时单调递增且， 故在上恒成立， 因此，解得， 实数a的取值范围是 14．（25-26高三上·湖南·期中）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断f（x）的零点个数并证明； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不等式的解集为区间 (2)三个零点，证明见解析 (3). 【分析】（1）先求得的定义域为，并证得的图像关于中心对称，再确定当时的符号，进而根据对称性得的解集； （2）先通过导数分析的单调性，并根据零点存在性定理确定在上有唯一零点，再根据的图像关于中心对称及，即可得到f（x）的零点个数； （3）由题意，根据的图像关于中心对称知“恒成立”等价于“在上恒成立”.并分析得到，进而，再通过导数分析得到在上单调递增，从而即可得a的取值范围. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 又 ， 所以函数的图像关于中心对称，所以. 因为， 当时， ，所以. 故当时，， 即不等式的解集为. （2）当时，. 因为的图象关于中心对称， 所以只需考虑时，的零点个数. ， 当时，. 令 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以存在唯一，使得. 所以当时，，即在上单调递增. 当时，，即在上单调递减. 所以在上没有零点， 又， 所以存在唯一实数使得，即在上有唯一零点， 由（1）知. 所以时，有三个零点：. （3）由（1）知恒成立等价于在上恒成立， ， 若， 所以存在，使得对有，即在上单调递减. 所以，这与在上恒成立矛盾. 所以. 此时. 令， 所以 令 则， 所以在上单调递减，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立，即恒成立. 综上所述，. 15．（25-26高三上·云南昆明·期中）函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①将已知不等式转化为恒成立，利用导数讨论函数单调性进而求解；②利用导数及转化思想先证，再证； （2）把已知不等式转化为恒成立，利用导数求出必要条件，再证明是充分条件，进而求出的取值范围． 【详解】（1）①恒成立，即恒成立，即恒成立， 求导得， 若，则，单调递增，但，不满足题意； 若，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故在处取最小值，， 设，求导得， 当时，，递增； 当时，，递减， 在处取得最大值，仅当时恒成立， ． ②先证：，即，即，即， 令，， 在上单调递增，故，即，； 再证：，即，即， 令，则， 在上单调递增，，， 综上，． （2）恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则， 求导得，， 令， 求导得， 为必要条件，即， 充分性：当时，， 在上单调递减，即， 在上单调递减，故，即成立， 综上，a的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题08 利用二阶导函数解决函数问题讲义 微专题教学内容 1. 二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 2. 函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 3. 曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。 4. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。 5. 解决这类题的常规解题步骤为: (1) 求函数的定义域; (2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负; (3) 构造求 , 求 ; (4) 列出 的变化关系表; (5) 根据列表解答问题。 典例精讲 【典例1】 已知函数，讨论函数的单调性. 会一题通一类 1.已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 2.已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围. 【典例2】 已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 会一题通一类 已知函数，.（注：是自然对数的底数） (1)若无极值点，求实数的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【典例3】 已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围； (3)证明：. 会一题通一类 已知函数，． (1)当时，求证：． (2)令，若的两个极值点分别为m，n（m<n）． ①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）； ②求证：． 【典例4】 已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 会一题通一类 已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【典例5】 已知函数，的导函数为． (1)若存在极值点，求的取值范围； (2)设的最小值为，的最小值为，证明：． 会一题通一类 1.已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 2.已知为自然对数的底数，为常数，函数. (1)求函数的极值； (2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围. 学后测评 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：. 4．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 5．（25-26高三上·全国·月考）已知函数． (1)设，讨论的单调性； (2)设，若恒成立，求的取值范围． 6．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 7．（2025·江西上饶·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 8．（24-25高三下·北京朝阳·月考）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 9．（24-25高三上·福建三明·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 10．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）(1)讨论函数，的单调性，并求出的极值； (2)当时，证明：； (3)若对任意，都有，求的取值范围. 11．（25-26高三上·河南·期中）已知函数，. (1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：有且仅有一个极值点，且. 12．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数（其中）. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值. 13．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 14．（25-26高三上·湖南·期中）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断f（x）的零点个数并证明； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 15．（25-26高三上·云南昆明·期中）函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $