微专题07 构造函数与放缩综合比大小讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题07 构造函数与放缩综合比大小讲义 微专题教学内容 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 泰勒不等式 （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 3. 不等式放缩 ，， ，， ， ， 放缩程度综合 ， 4. 帕德近似 帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法． 给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为： ， 且满足：，，，…，． 注：，，， 典例精讲 【典例1】 设，则（    ） A． B． C． D． 【法一】分析法 假设待证法比较大小→构造函数 假设成立，即 令，则等价证明：，即证：（原式得证，略） 假设成立，即 令，则等价证明：， 证明略 所以函数在单调递增， 所以，即：，所以假设不成立，即， 综上所述：，故选：C 【法二】构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 会一题通一类 1.，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小． 【详解】令，，则， 所以当时，即在上单调递增， 所以，即，即，即， 令，则， 在时，，则为减函数， ∴，即； 令，，则， 故在为减函数， ∴，即； ∴， 令，则，即，∴， 所以． 故选：D． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案. 【详解】设，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 又，则， ，所以， 对于，令，则， 此时， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法： （1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较， （3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 【典例2】 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 会一题通一类 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用泰勒放缩，即可比较大小. 【详解】， ， ， ∴. 故选：D. 【典例3】 设，则（    ） A． B． C． D． 详解：因为， 所以，即 因为， 所以，即 综上所述：，故选：C 会一题通一类 已知，则（    ） A． B． C． D． 思路详解：【法一】：不等式放缩一 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A 【法二】不等式放缩二 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【典例4】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据帕德近似公式a、b，然后比较即可. 【详解】利用帕德逼近，得， ，，综上，. 故选：B 会一题通一类 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系. 【详解】，， ， 综上，． 故选：B 【典例5】 已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数和对数运算，先估算出的取值范围，再用对数运算来估算和，即可得到判断. 【详解】由换底公式等价变形得：， 因为，两边取以7为底的对数可得：， 又因为，两边取以7为底的对数可得：， 可知， 由，可得， 由，可得， 从而可得， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是借助已知数据和指数对数运算，可以估算出，从而可以让与有理数进行大小比较. 会一题通一类 （多选）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于AB，由已知条件得，构造函数，利用其单调性进行判断，对于C，由幂函数的单调性结合进行判断，对于D，由已知可得，再结合的单调性分析判断. 【详解】对于AB，由得，， 所以， 设，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以，所以A正确，B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确； 对于D，因为，所以，因为， 所以， 由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确. 故选：ACD. 【典例6】 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 会一题通一类 设，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得x，y，z的表达式，取，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较与和与的大小，即可判断A的正误；取，根据对数函数的单调性，分析比较，可判断B的正误；取极小正数，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C的正误；求出成立的必要条件是，构造函数，利用导数求得的单调性，根据对数的运算性质，可得和不可能同时成立，即可判断D的正误. 【详解】令，则，，．其中． 取，此时，， ，此时x最大． 又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故． 同理比较与，可得，故，故． 综上，当时，．故A是可能的． 取．此时，，，故且． 比较y和z，即与，，且是增函数， 所以，又底数，所以，故． 综上，当时，．故B是可能的． 取极小正数，取，此时，，，易知x最小． 现在比较和，即比较与，即和，比较和， 易知，故． 综上，取，．故C是可能的． 下面证明D选项不可能．若，则和同时成立． 若，则． 当时，，当时，， 同理可得，故存在，使得， 所以成立的必要条件是． 若，则，设， 则，且取时，， 等价于， 又，等价于，，易知其在时成立， 已证当时，，所以在上单调递增， 因为，所以当时，，即恒成立， 故和不可能同时成立，即D不可能． 故选：D． 【典例7】 已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数确定函数的单调性，再构造函数并借助媒介数比较的大小即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，，则； 令函数，求导得， 令函数，求导得，令函数， 求导得，函数在上递增，，函数在上递增， ，函数在上递增，，，则； 令函数，求导得， 函数在上递减，，即，则， 因此，所以. 故选：A 会一题通一类 已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数赋值的方法，结合具体的函数和进行验证，结合递推关系进行严格证明即可. 【详解】令 ，对任意 ，有： 由此可得递推关系：，进而推出对于正整数，. 下面验证更一般情况. 假设，代入条件得.代入不等式得：   因此，且（因）. 例如，取，则，满足，但， 说明选项A不一定成立，但B成立. 若，满足，且对 有：   此时，选项B成立，但，选项C不成立. 下面严格证明选项B   对于满足条件的任意函数，令，则： 递推可得，因此选项B 一定正确. 综上，只有选项 B（）在所有情况下成立. 故选：B. 学后测评 一、单选题 1．（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性， 确定a范围； 由对数函数的单调性判断的单调性，确定b的范围，利用指数函数的单调性判断单调性， 确定c范围， 最终确定a，b，c的大小. 【详解】单调递增， 因为 且 且， 故， 令， 因为， 在均单调递增， 则在单调递增， 因为 且， 故， 即 ； 令， 因为， 在R上单调递减， 故单调递减， 因为 且， 则 ， 因此. 故选：D. 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在时的单调性，同时分析函数的单调性，进而比较自变量的大小，最后根据的单调性得出函数值的大小关系． 【详解】因为，所以为偶函数， 当时，则，所以. 令，则， 令，解得；令0，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，可得，即在上恒成立，故在上单调递增. 令，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 又，所以，即， 所以，所以，即. 故选：D. 3．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解. 【详解】， 构造函数，，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，且， 则，即， 又， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答. 【详解】令函数，而函数是偶函数，则， 即函数是奇函数，当时，求导得， 即函数在上递增，则在上递增， 因为，所以，即， 所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得，， 【详解】因为函数是偶函数，则， 又函数为偶函数，则， 即，所以函数是周期为2的函数， 则，， 且当时，是减函数， 由可得，即. 故选：C 6．（24-25高三上·江苏南通·月考）若正数，，满足（为自然对数底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令可知在上单调递增，即可判断，再令，即可判断. 【详解】令，显然在上单调递增， 又，，为正数，所以，即，所以， 令，则在上单调递增，又，即，所以， 综上可得. 故选：D 7．（24-25高三上·江西新余·月考）设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解即可． 【详解】令，求导得，，， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以， 所以，设，则， 记，则，记， 则，所以在上单调递增， 故时，，即， 所以在上单调递增，故时，， 即，所以在上单调递增， 故时，，即，所以， 又，所以，即，所以． 故选：A 8．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性比较三个数的大小. 【详解】构造函数， 则，故函数在上递增， 所以, 又，，， 所以， 又是偶函数，则 ， 所以，，，. 故选：B. 9．（2025·海南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数利用导数确定单调性，进而比较函数值大小. 【详解】依题意，， 令，则，在上单调递增， 则，即，因此，即； 令，则当时，，函数在上单调递增， 则，因此，即.2，即， 所以. 故选：D 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 10．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 11．（2025·重庆·三模）设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求导分析单调性，再结合和对数的性质比较可得. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 又，即，可得， ，所以， 综上. 故选：B. 12．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数值的大小，通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系. 【详解】由题意得，，代入得 ，解得，可得，， 令，， 可知在上，，在上单调递增， 在上，，在上单调递减，在处取得最大值，， 所以在上，则，所以在上单调递减， 设，可知， 则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即， 综上可知，，由在上单调递减得. 故选：D. 二、多选题 13．（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小. 【详解】对A，由三角函数线可知当时，， 令，可得，所以，故A对； 对B，构造函数，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以当且时，， 令，可得，即，故B错； 对C，因为当且时，，故， 所以当且时，， 令，得，即，故C对. 对D， 构造函数，， 则，， 所以在单调递增，故，即， 令，得，故D对. 故选：ACD. 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于AB，由已知条件得，构造函数，利用其单调性进行判断，对于C，由幂函数的单调性结合进行判断，对于D，由已知可得，再结合的单调性分析判断. 【详解】对于AB，由得，， 所以， 设，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以，所以A正确，B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确； 对于D，因为，所以，因为， 所以， 由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确. 故选：ACD. 15．（2025·云南昭通·一模）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确； 【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则， 又因为，令则，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误； 对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确； 对于C：在上也单调递增，故C错误； 对于D：则 而在上也单调递增，则，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题07 构造函数与放缩综合比大小讲义 微专题教学内容 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 泰勒不等式 （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 3. 不等式放缩 ，， ，， ， ， 放缩程度综合 ， 4. 帕德近似 帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法． 给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为： ， 且满足：，，，…，． 注：，，， 典例精讲 【典例1】 设，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1.，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2】 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 会一题通一类 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【典例3】 设，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】 已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 （多选）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【典例6】 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 设，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【典例7】 已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 学后测评 一、单选题 1．（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏南通·月考）若正数，，满足（为自然对数底数），则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江西新余·月考）设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 8．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·海南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·重庆·三模）设则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·云南昭通·一模）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $