微专题06 函数的零点、图象的交点与方程的根讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

微专题06 函数的零点、图象的交点与方程的根讲义 微专题教学内容 1、 函数的零点 一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。 2、 零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在 3、 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 6、判断函数单调性的方法 （1）可直接判断的几个结论： ① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数 ② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数 ③ 若为增函数，且，则为增函数 （2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”） （3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象 7、证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 典例精讲 【典例1】 函数的零点是 ． 【答案】/0.5 【分析】 利用对数运算及零点含义可得答案. 【详解】由题意可得函数的定义域为. ，令可得，解得或（舍）， 故答案为：. 会一题通一类 1.已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得. 【详解】因为是函数的一个零点， 所以，即，故， 则． 故选：D． 2.函数所有零点之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】分类求出函数的零点后可得正确的选项. 【详解】由或可得或或或， 故函数的零点之和为， 故选：C. 【典例2】 函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用三角函数的性质求解即可. 【详解】令，得，则； 故，， 所以在共有4个零点， 故选： C. 会一题通一类 1.函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，求出零点即可判断. 【详解】函数，由，得或， 当时，，因此函数在上的零点个数为4. 故选：B 2.函数的零点个数为 【答案】3 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 【典例3】 函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的零点存在定理判断. 【详解】因为， ， . 所以函数的零点所在的区间为， 故选：C 会一题通一类 1.函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可. 【详解】易知为增函数，又， ，故零点所在的区间是. 故选：B. 2.已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可. 【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图，      由图象可排除AB选项， 又, ， ， 所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点， 所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间. 【典例4】 函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为. 【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 会一题通一类 1.已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值. 【详解】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根， 令，则， 当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，， 当时，，且单调递增， 在直角坐标系中画出的大致图象如图： 要使有两个交点，则， 故选：D 2.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 【典例5】 若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解. 【详解】由得，解得或， 画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，） 故选：D. 会一题通一类 1.若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案. 【详解】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5. 故选：D 2.已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 【典例6】 函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断. 【详解】令函数，，则定义域为， ，是奇函数， 当时，； 由为奇函数可得当时，， 而函数是偶函数，且当时，， 则函数与的图象在时无交点； 当时，令，求导得， 函数在上单调递增，又， ，因此在上只有一个零点， 所以函数与的图象交点只有一个. 故选：B 会一题通一类 1.曲线与直线的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数探讨在区间上的单调性，再利用零点存在性定理确定零点个数即可. 【详解】函数在R上单调递减，当时，；当时，， 由，得，因此曲线与直线的交点横坐标必在上， 令，，求导得， 由，得，存在，使得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又， ，因此函数在上各有一个零点， 所以曲线与直线的交点个数为3. 故选：C 2.当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数. 【详解】作图像，列表： 0 0 1 0 0 1 0 0 作图像，列表： 0 0 2 0 0 2 0 在同一坐标系中画出图形，如下图所示， 则两个函数在上有4个交点. 故选：B. 3.已知函数，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数与的图象有三个交点，得到有三个根，再分离参数得到去分析与的交点个数. 【详解】因为函数与的图象有三个交点，所以， 当时，方程必然成立， 当时，分离参数可得，则与有两个交点， 若，则，若，则，如图所示，    结合图像，要与有两个交点，需满足. 故选：C 学后测评 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，转化为求，图象交点个数即可. 【详解】令，则， 在同一直角坐标系中分别作出，的图象，如图所示， 观察可知，它们有3个交点，即有3个零点. 故选：D. 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知曲线与直线无交点，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意可得无解，分和两种情况讨论可求解. 【详解】因为曲线与直线无交点，所以无解， 所以无解，所以无解， 当时，方程无解， 当时，方程为，解得， 故时，曲线与直线无交点. 故选：C. 3．（2025·四川德阳·一模）若函数有且只有1个零点，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，接着分析函数的奇偶性和单调性以及函数值的情况即可求解. 【详解】由题可得，所以函数定义域为关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 又为增函数，和均为上的增函数， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 所以有最大值为，又时，， 所以若函数有且只有1个零点，则. 故选：C 4．（2025·重庆·模拟预测）已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案． 【详解】由，，知 故， 即 即 令则上述式子即为 由于，且， 故在是单调递增函数， 故由可得 即，令， ， 由，得， 当时，， 当时，， 故，，且当时，恒成立， 由此可得出的大致图象如下： 由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点， 由图可得：． 故选：C． 5．（2025·河北·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质和函数解析式画出图像，然后结合方程的6个根求出结果即可. 【详解】设，由于函数为偶函数，且当时，，故的大致图象如图所示， 当时，函数的图象与直线有四个交点，横坐标分别设为，，且， 故四个方程的根的个数分别为0，0，4，2， 故方程恰有6个不同的根，因此B选项正确．容易验证取其他值时，不符合题意． 故选：B. 6．（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 二、多选题 7．（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数，的零点分别为，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数单调性及零点存在定理判断范围判断A，应用对数运算判断B，应用单调性判断C，应用单调性及零点判断D. 【详解】函数，的零点分别为，， 因函数在上单调递增，且 ，则； 又在上单调递增，且， ，则， 所以，故A正确； 因，故B正确； 因为，所以，又因函数单调递增，则，故C错误； 因函数，的零点分别为，，则， 由可得，即，即， 又因为函数在定义域上单调递增，且， 则，即，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 8．（2025·四川内江·一模）函数的所有零点的和为 . 【答案】 【分析】根据函数零点的定义列出方程，再求解方程得到函数的零点，最后计算所有零点的和. 【详解】，得 ， ∴，两边平方得， 两边同乘以，得， 整理得， 令，则，解得或. 当时，，解得， ，不符合， ，不符合， 当时， ，解得（重根）. ∴将代入，满足，故函数只有一个零点. ∴所有零点之和为. 故答案为： 9．（2025·广东江门·模拟预测）函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】先求出函数的定义域，求导分析函数单调性及极值，分析函数的极限及最大值，进而利用零点存在定理得出零点个数． 【详解】的定义域为， 函数的定义域为， 求导得，令，则， 解得，，，设， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 在处取得极大值， 当时，，故； 当时，，故； 极大值为最大值， 函数在从增至正极大值，穿过轴一次，有一个零点； 在从正极大值递减至必穿过轴一次，有另一个零点， 函数共有2个零点． 故答案为：2． 10．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题06 函数的零点、图象的交点与方程的根讲义 微专题教学内容 1、 函数的零点 一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。 2、 零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在 3、 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 6、判断函数单调性的方法 （1）可直接判断的几个结论： ① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数 ② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数 ③ 若为增函数，且，则为增函数 （2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”） （3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象 7、证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 典例精讲 【典例1】 函数的零点是 ． 会一题通一类 1.已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.函数所有零点之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【典例2】 函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 会一题通一类 1.函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例3】 函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1.函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】 函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1.已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5】 若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 会一题通一类 1.若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【典例6】 函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 会一题通一类 1.曲线与直线的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 3.已知函数，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学后测评 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知曲线与直线无交点，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·四川德阳·一模）若函数有且只有1个零点，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025·重庆·模拟预测）已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数，的零点分别为，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2025·四川内江·一模）函数的所有零点的和为 . 9．（2025·广东江门·模拟预测）函数的零点个数为 ． 10．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $