微专题04 奇函数+常函数及f(a)+f(-a)讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

马轮微专题 会台题通白类系列 微专题04奇函数+常函数及f(a)+f(-a)讲义 回微专题教学内容 1.在定义域内，若Fx)=fx)+A,其中fx)为奇函数，A为常数，则最大值M,最小值m 有M+m=2A,即M+m=2倍常数 2.在定义域内，若Fx)=fx)+A,其中fx)为奇函数，A为常数，有fa+f-a=2A 即fa+f-a=2倍常数 3.与指数函数相关的奇函数和偶函数 f(x)=a+a,(a>0,且a≠1)为偶函数， f(x)=a-a,(a>0,且a≠1)为奇函数 f)=-和f)=+，（a>0,且a1)为其定义域上的奇函数 a+1 a-1 和=1+。二，(0>0，且a1D为其定义城上的奇质数 2 f(x)=1- a+1 f(x)=a州为偶函数 4.与对数函数相关的奇函数和偶函数 f(x)=log(+b2x2±bx),(a>0且a≠1)为奇函数， b±Cx fx)=log:b年cx (a>0且a≠1)为奇函数 ◆典例精进 【典例1】 若f(x)=3+ax x2+2 (a为实数且a≠0)在其定义域上有最大值为M最小值为N.则M+N=() A.4 B.6 C.8 D.10 1/4 马轮微专题 会白题通台类系列 荒会一题通一类 1.己知函数f(x=x+ax+5在x∈[-3,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m为() A.O B.5 C.10 D.20 2.设函数∫x)=x+2x3+3x+2在区间[-2025,2025]上的最大值是M,最小值为m,则M+m等于() A.0 B.2 C.3 D.4 3.已知函数f(x)=(e+ex)sinr-2在[-2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,则M+N=() A.-4 B.0 C.2 D.4 【典例2】 已知f=4:2015+2+xc0sx-15xS小，设函数fx的最大值是M,最小值是N,则() 2015+1 A.M+N=8 B.M-N=8 C.M+N=6 D.M-N=6 光会一题通一类 1.已知函数fx=x+2(x++4在-10,10上的最大值为m,最小值为n,则(m+-2)25=() x2+3 A.22025 B.-22025 C.1 D.-1 2.已知函数f八x= v2sinx+ +4十4r+x的最大值为M,最小值为m,则M与m满足()， 2x2+cosx A.M+m=6 B.M+m=4 C.M-m=6 D.M-m=4 【典例3】 已知函数=2如-}3，若14，则1-一 荒会一题通一类 1.已知函数f(x)=ar2+bx-C+2,若f(2025)=6,则f-2025)= g已知/四=+0行计4，若@=3，则/-@ 2/4 二轮微专题 会台题通白类系列 7学后测评 1.已知函数-二在-5内的最大值和最小值分别为以，州，则《) A.M+m=2 B.M-m=2 C.M·m=-1 D.M=-1 m 2.已知函数fy=sinx-2--1在区间xe-m,m的最大值为M,最小值为N,其中m>0,则M+N=() 2+1 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知函数f=3x+x+3的最大值为M,最小值为m,则M+m=(） x2+1 A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知函数f(x)= 2+2+x+a（a为常数)，若f(y在-2,4上的最大值为M,最小值为m,且 sin (x-1) M+m=6,则a=(） A.6 B.4 C.3 D.2 5若函数闲=产+s的数大值为M,最小佰为N,则M+y:{) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知f)=4-2010+2 xcosx(-1≤x≤)，设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则() 2010+1 A.M+N=8 B.M-N=8 C.M+N=6 D.M-N=6 7.若关于x的函数f)=1+x+2023r的最大值为M,最小值为N,且M+N=8,则实数t的值为() A.2 B.4 C.-4 D.-2 8.若关于x的函数/(x=+2x++si>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数：的 x+t 值为() A.1 B.2 C.3 D.4 9.函数y=f(x-x2是奇函数.若函数gx=f(x+5,f(4)=9,则g(-4= 10.已知函数f（x)=x3+ac+bsinx-+2,且f-l=5,则f(1=一 1.已知弱数f)=2026r+cosx+e-e+3,fa)=-1,则/a)- 12.已知函数f(x)=a(e-e）+blnW4x2+1+2x+2,若f(2026)=3,则f(-2026)= 3/4 二轮微专题 会合题通白类系列 13.函数f)=++sinx,其导函数为f),则 x2+1 f(2026)+f(2026)+f(-2026)-∫'(-2026)=一 14.已知函数f(x)=e-e+ x-l,f(a)=3,则f-a叫= x+ 15.已函数f)=n+4r-2+2,则/g)+/g-一 4/4 微专题04 奇函数+常函数及f(a)+f(-a)讲义 微专题教学内容 1. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数 2. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 3. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 4. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 典例精讲 【典例1】 若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】解法一：根据关于对称即可求解； 解法二：特值法，令即可求解. 【详解】解法一：由于,可得关于点对称，故， 解法二：特殊值法：可令，， 当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得， 同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值， 故 故选：B. 会一题通一类 1．已知函数在上的最大值为，最小值为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，而函数在为奇函数，则，进行求解即可． 【详解】设，则， 而函数在为奇函数，则， 故， 故选：C 2．设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 3．已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】构造函数，证明为奇函数，从而得到，即可求出的值. 【详解】令，定义域为， 因为在上的最大值和最小值分别为，， 所以在上的最大值和最小值分别为，， 因为， 所以为奇函数，的图象关于原点对称， 所以的最大值和最小值互为相反数，即， 所以， 故选：A. 【典例2】 已知，设函数的最大值是M，最小值是N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上是奇函数，利用奇偶性即可求解. 【详解】，令， 则在上是奇函数， 故有，， 即， 故选：C． 会一题通一类 1．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得，令，结合的奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】， 令，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而， 则， 故选：A. 2．已知函数的最大值为，最小值为，则与满足（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数转化为，再令，利用其奇函数求解. 【详解】解：， 令， 当时，，则， 当时，，则， 所以的定义域为R， 又， 所以为奇函数，又存在最大值和最小值， 所以也存在最大值和最小值，且． 故． 故选：B 【典例3】 已知函数，若，则 . 【答案】2 【分析】利用诱导公式化简，并发现，即可得解. 【详解】由题意得， 则， 所以，故. 故答案为：2 会一题通一类 1．已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据即可求解. 【详解】当时，， 所以，解得：， 故答案为： 2．已知，若，则 . 【答案】-5 【分析】构建函数判断奇偶性；运用奇函数的定义验证 ，根据已知 ，代回得到 ，利用奇函数的对称性直接得到 ；最后将常数项加回，得到 . 【详解】已知函数，定义域， 解得：或，定义域关于原点对称， 令， 对定义域内的，有 因此是奇函数，已知，则， 由为奇函数得， 所以 故答案为： 学后测评 1．已知函数在内的最大值和最小值分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后求得正确答案. 【详解】因为， 所以，所以是奇函数， 因此，即． 故选：D 2．已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】在原函数的基础上，构造一个函数，通过构造函数的奇偶性说明最值之间的关系，进而求出原函数的最值之间的关系. 【详解】设函数，易知定义域为， 由，可知为奇函数， 所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即， 即， 可得，解得； 故选：D. 3．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 4．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案. 【详解】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得. 故选：D. 5．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，构造奇函数，再根据奇函数的性质即可得解. 【详解】， 令， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为， 因为， 所以函数是奇函数， 所以，即，所以. 故选：B. 6．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看成两个函数的和，函数在上单调递增，函数为奇函数，从而函数的最大值与最小值之和为函数的最大值和最小值之和，结合单调性利用指数运算化简求值即可. 【详解】因为， 由复合函数单调性的判断方法，知此函数在上为增函数 又，所以为上的奇函数，故其最大值加最小值为0， 所以. 故选：C 7．若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可. 【详解】依题意，函数的定义域为R， 令，则，即为奇函数， 由于函数有最大值为M，最小值为N，则函数有最大值，最小值， 由奇函数的性质知，所以. 故选：B 8．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用函数的奇函数进行求解即可. 【详解】设， 设， 因为， 所以函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是奇函数，它的图象关于原点对称， 因此， 因为， 所以由， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知函数的解析式进行变形，通过判断函数的奇偶性进行求解. 9．函数是奇函数．若函数，则 ． 【答案】28 【分析】由函数是奇函数，利用可求出，进而可求的值. 【详解】函数是奇函数，则有， 所以， 又，得. 故答案为：28 10．已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】先求出，再利用，计算， 【详解】,将替换成， 得：， ， 当时，代入，得，， 则 故答案为： 11．已知函数，，则 . 【答案】7 【分析】令，证明为奇函数求解. 【详解】令，定义域为， 且， 所以为奇函数， 所以， 即， 所以. 故答案为：7 12．已知函数，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意可得，由即可求解. 【详解】函数， ， 所以，即，解得. 故答案为：1 13．函数，其导函数为，则 . 【答案】 【分析】，令，证明函数为奇函数，为偶函数，利用函数奇偶性的性质，代入即可求解. 【详解】， 函数的定义域为， 令，定义域为， ，， 所以函数为奇函数， ， ， ， 所以为偶函数， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求出，分析可得，根据分析计算得到答案. 【详解】由题，则， 因为，所以. 故答案为：. 15．已知函数，则 ． 【答案】4 【分析】令，通过奇函数定义得是上的奇函数，然后结合对数运算代入求值即可. 【详解】令，则； 因，即满足， 又 ，知是上的奇函数； 则. 故答案为：4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $