微专题02 普通型糖水不等式及对数型糖水不等式讲义-【会一题通一类系列】2026年高考数学二轮微专题精讲（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦普通型及对数型糖水不等式核心考点，以定理梳理、典例精讲、变式迁移为知识架构，通过考点解析、方法归纳、真题训练的教学流程，帮助学生构建不等式应用的逻辑体系，突破比较大小、证明推理等难点。 资料特色在于将生活情境抽象为数学模型培养数学眼光，通过典例对比（如对数型不等式比较大小）发展数学思维，设置分层测评（单选、解答题）保障复习效果，助力学生高效掌握高考高频题型，为教师把控复习节奏提供精准指导。

微专题02 普通型糖水不等式及对数型糖水不等式讲义 微专题教学内容 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 典例精讲 【典例1】 （多选）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 会一题通一类 已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 2.试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 【典例3】 已知，则（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 比较大小: 与 的大小． 学后测评 一、单选题 1．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 2．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 8．已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 9．（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 普通型糖水不等式及对数型糖水不等式讲义 微专题教学内容 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 典例精讲 【典例1】 （多选）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【分析】应用作差法、不等式性质判断各项不等式关系的正误即可. 【详解】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有； 故选：ABC 会一题通一类 已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 【答案】BCD 【典例2】 已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同时取对数可判定关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系. 【详解】由，可知，所以， 易知， 先证糖水不等式：若，则， 证明如下：作差得，得证. 所以有，即， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：为定义域上增函数；糖水不等式：，则；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专题总结. 会一题通一类 1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 详解：【法一】 ,又 ，用排除法, 选 A 。 【法二】 ， 若, 但 , 综上所述， 2.试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 详解：依题意. 【典例3】 已知，则（    ） A． B． C． D． 详解：因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 会一题通一类 比较大小: 与 的大小． 【法一】 。 【法二】 【法三】对数型糖水不等式直接可得 学后测评 一、单选题 1．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：应用对数型糖水不等式计算求解计算判断求解；方法二：应用普通型糖水不等式计算求解计算判断求解. 【详解】方法一：对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 因为函数在上单调递减，所以， 可得 , 且 . 所以 , 即 , 故选 :A. 方法二：普通型糖水不等式 由已知条件 , 可得 .  可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 故选: A. 2．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由得，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，由题得，故C错误； 对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误. 故选：A. 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知，. 则，所以. 则，所以. 所以. 故选：D. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明（，），再由换底公式及对数函数的性质判断即可. 【详解】若，，则，即， 而，， ， 又因为 ，， 所以，， 所以. 故选：B 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数，对数函数单调性进行放缩，再来比较大小. 【详解】, , , , 由上可得：， 故选：A. 6．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数或者利用对数的运算性质转换来逐步分析它们的大小. 【详解】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较. 利用换底公式，则，. 计算. 根据基本不等式，对于和，有. 而，即. 所以，也就是，即.   比较与的大小，同样利用换底公式，，. 计算. 由基本不等式，对于和，. 且，即. 所以，也就是，即.   综上可得. 故选：B. 7．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】D 【分析】易得，.又，比较与0的大小即可. 【详解】，因函数在上单调递增， 则，. ，因，则 . 故，综上有. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小. 8．已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同时取对数可判定关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系. 【详解】由，可知，所以， 易知， 先证糖水不等式：若，则， 证明如下：作差得，得证. 所以有，即， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：为定义域上增函数；糖水不等式：，则；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专题总结. 二、解答题 9．（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【答案】（1）的范围为，的范围为； （2） (i)，证明见解析；(ii） 【分析】结合不等式的性质即可求解； 利用作差法即可判断；结合的结论即可求解． 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $