精品解析：海南省海口市2025-2026学年上学期九年级期末考试数学科试题

2025—2026学年度第一学期 海口市九年级数学科期末检测题 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 计算结果为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解关于x的一元二次方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 一元二次方程解是（ ） A. B. C. D. ， 7. 如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ） A. 25米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，添加下列条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为等腰三角形，，，则（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点E为边延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F．若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 14. 若关于的方程的一个根为，则它的另一根为________． 15. 如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为________． 16. 如图，把一张宽为1的矩形纸片沿折叠，顶点A、B、C、D的对应点分别为、、、，点与重合，点恰与、的交点重合．若，则______°，的长为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3） 18. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 20. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； （2）估计袋中白球的个数； （3）若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 22. 如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，易证明．以上是同学们熟悉的“一线三等角”．某数学研究小组在此基础又有了新发现，请完成以下环节： （1）【合作探究】如图1，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，点E为边上一点，点F为延长线上一点，．若，，求的长； （3）【学以致用】如图3，在中，，，点D为边上一点，．若，且，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 海口市九年级数学科期末检测题 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 计算的结果为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根；先计算平方，再取算术平方根． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质是解决问题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的性质化简对D进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，所以此选项不符合题意； B．与不能合并，所以此选项不符合题意； C．，所以此选项不符合题意； D．，所以此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意； B、，被开方数为2，故B符合题意； C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数为3，故D不符合题意． 故选：B. 4. 用配方法解关于x的一元二次方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法；通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较选项得出答案即可． 【详解】解：， 移项：， 两边同时加：， 即． 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 6. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，然后根据提公因式法因式分解，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 7. 如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ） A. 25米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坡度的定义，坡度是坡面垂直距离与水平距离的比；根据坡度为可得：垂直距离：水平距离，据此即可求解 【详解】解：∵坡度为， ∴垂直距离:水平距离， 设该小车离水平面的垂直高度为米，则水平距离为米， ∵斜坡向上行驶了50米， ∴，解得：． 故选：C． 8. 如图，添加下列条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定；由图可知与已有一组公共角相等，依次根据选项判断添加的条件能否判定即可． 【详解】解：A、，加上已知公共角，由两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，可判定，故A不符合题意； B、的对应边错误，中对应边为，对应边为，故B符合题意； C、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故C不符合题意； D、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故D不符合题意． 故选：B． 9. 如图，为等腰三角形，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 过点A作于点D，过点B作于点E，根据勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式进行表示求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵， ∴是边上的中线， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故选C． 10. 如图，点E为边延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F．若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；先由可得，由平行四边形的性质得，可得可判断A选项；由可判断B选项；由可计算出，可判断C选项；由平行四边形对角相等可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故A正确； ∵ ∴ 又∵ ∴ 故B正确； ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故C正确； ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴与对应角不相等， ∴与不相似． 故D错误． 故选：D． 11. 魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正切函数等；由正方形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，由可判定，由全等三角形的性质得，由正切函数的定义，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形，和都是正方形， ，，，，， ， ， ， 设，则， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 12. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理得出的长，再证，然后根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图所示：作于点E， 由题意可得，, ∴， ∵， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴，即，解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确把握相关性质是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 14. 若关于的方程的一个根为，则它的另一根为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的另一个根为，由题意得出，求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 关于的方程的一个根为， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的定义得，根据勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据三角形中线的性质得，继而推出，最后在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴，， ∵， 又∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识点．根据正切值求边长是解题的关键． 16. 如图，把一张宽为1的矩形纸片沿折叠，顶点A、B、C、D的对应点分别为、、、，点与重合，点恰与、的交点重合．若，则______°，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，图形的折叠变换及其性质，相似三角形的性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及其性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；由，设，，证明得，即，由此得，则，，，在中由勾股定理得，，设，则，证明得，，在中由勾股定理得，则，再根据，即可建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴设，， 由折叠性质得：，，，，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：或（舍去）， ∴，，， 在中由勾股定理得， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：，． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的运算； （1）根据二次根式的乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）根据特殊角的三角函数值的运算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：． 18. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】设该品牌头盔销售量的月增长率为20% 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 【答案】（1）B1(-1，2) （2）B2(-2，4) （3）P2(2a -10，2b+6) 【解析】 【分析】（1）先按要求画出平移后所得△A1B1C1，再对照图形写出点B1的坐标即可； （2）连接OA1，并延长到点A2，使OA2=2OA1可得点A2，用同样的方法画出点B2、C2，再顺次连接三点即可得到△A2B2C2，对照图形写出点B2的坐标即可； （3）由△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1可知点P2的坐标是点P1坐标的2倍，由此可得到点P2的坐标； 【小问1详解】 如下图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1的坐标为：(-1，2)； 【小问2详解】 如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2的坐标为：(-2，4)； 【小问3详解】 由题意可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1 ∴当点P1的坐标为(a-5，b+3)时，对应点P2的坐标为：(2a -10，2b+6)． 20. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0300 0.260 0.254 0.250 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； （2）估计袋中白球的个数； （3）若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.25 （2）3 （3） 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）首先求出球的总数，进一步求解即可得出答案； （3）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解： 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案：0.25； 【小问2详解】 解：∵从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 ∴球的总数为 ∴袋中白球的个数为； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； 小问2详解】 解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 22. 如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，易证明．以上是同学们熟悉的“一线三等角”．某数学研究小组在此基础又有了新发现，请完成以下环节： （1）【合作探究】如图1，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，点E为边上一点，点F为延长线上一点，．若，，求的长； （3）【学以致用】如图3，在中，，，点D为边上一点，．若，且，求值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形； （1）根据相似三角形的判定，寻找两组对应角相等即可得证； （2）寻找两组对应边相等，证明，即可得到，结合已知条件可求出，再利用平行四边形的性质即可求出； （3）过点A作，先证明，可得，设，，可求出，再利用，可求出，最后求出即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 小问3详解】 解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $