精品解析：安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高三上学期1月考试数学试卷

2026届高三1月考试 数学学科 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（ ） A. B. C. D. 7. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，若曲线上存在点与关于直线对称，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 11. 在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等腰三角形，则 C. 当时， D. 当时， 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 13. 已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为__________. 14. 现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为_____________. 四、解答题（共77分） 15. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到列联表如下． 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？ （2）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形，. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为，求平面和平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 19. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）当时，已知的导函数为.其中.令. ①设，证明：； ②证明：对任意，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三1月考试 数学学科 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出集合，再根据交集运算求解出结果. 【详解】因为，解得，所以， 因为，解得，所以， 所以， 故选：B. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将题中所给式子化简，解出，再计算模长即可. 【详解】由，得，，， 故， 故选：D． 3. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线性质及两条渐近线的夹角为，分类求解即可． 【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或， 由可知双曲线的焦点在轴上， 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为， 点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意； 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为， 点在直线的上方， 此时解得，则双曲线的方程为. 故选：C 4. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：B. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式和诱导公式化简等式，结合角的范围求解. 【详解】原等式可化为，即， 因为，所以，所以， ， . 故选：A. 6. 已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，利用向量的夹角公式求出的值，即可得，再利用同角三角函数关系求得的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以， 当时，，即，则， 故， 则， 结合题意可知为锐角，则可得，则， 故. 故选：A 7. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】如图，取的中点，连接，，因为，， 所以，因此点就是球心，又， 故是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 设球半径为，则，，则，， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的表面积为. 故选：A. 8. 已知直线，若曲线上存在点与关于直线对称，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线的对称点的轨迹，再利用两圆有公共点的关系列式求出的范围. 【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的性质，利用均值与方差的计算性质逐一判断各选项即得. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C正确； 又，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 【答案】BD 【解析】 【分析】据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由抛物线的标准方程可知：，所以点E的坐标为，故A错误； 对于B，由，可得点A为线段的中点，点E为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B到准线的距离的，由抛物线定义可得B正确； 对于C，设，由点A为的中点， 可得，，所以，又， 联立解得，所以，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD 11. 在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等腰三角形，则 C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用辅助角化简得到，求解得到，A选项错误；为等腰三角形时， ，解得，故B选项正确；当时，，结合余弦定理化简得到，故C选项正确； 由三角恒等变换得到，当时， ，即，故D选项错误． 【详解】对于A，，即， 因为，故，故，故，A选项错误； 对于A，由对A选项的分析可知，当为等腰三角形时，为等边三角形，故，则，解得，故B选项正确； 对于C，当时，， 结合余弦定理 得，即，即，故C选项正确； 对于D，由，又由对C选项分析可知，当时，，代入，解得， 故，代入，得， 故，即，故D选项错误． 故选：BC． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据等比数列的通项关系作除法运算即可得公比的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为各项均为正数，若，， 则， 故该等比数列的公比为. 故答案为：. 13. 已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由导数为0结合韦达定理可得，通过斜率计算公式化简即可得结果. 【详解】由题意知的定义域为， 且. 令，得，此方程有两个不相等的实数根， 其中， 故直线的斜率为 ， 即直线的斜率为. 故答案为：. 14. 现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为_____________. 【答案】##0.45 【解析】 【分析】设第三次取出白球为事件，选中第个袋子为事件，分别求出和，再根据全概率公式计算即可得解. 【详解】设第三次取出白球为事件，选中第个袋子为事件. 因为10个袋子外表相同，从中任选一个袋子， 每个袋子被选中的概率均为，所以. 因为第个袋中有10个球，其中个红球，个白球， 所以在第个袋子中，任意一次取到白球的概率均为， 则在第个袋子中，第三次取到白球的概率. 所以由全概率公式可知，第三次取出白球的概率 . 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到列联表如下． 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？ （2）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）分布列： 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用公式计算，对照临界值表下结论； （2）依题意，根据二项分布的概率公式求解概率，由此能求出的分布列和期望． 【小问1详解】 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，可以认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关． 【小问2详解】 由题可知，的所有可能取值为0，1，2，3， 选择《红楼梦》的学生是女生的概率为，所以． 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 所以． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，又， 令，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由对任意恒成立， 得对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则有， 显然为增函数，可得， 则，所以． 由（1）可知， 所以，故的取值范围为． 17. 如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形，. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为，求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明： 取的中点，连接，则， 又因为,平面， 所以平面，平面， 所以，又，,平面， 所以平面，平面 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，再得到； （2）过点，作，垂足为，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，平面； 所以平面平面； 过点，作，垂足为； 因为，平面平面,平面; 所以平面. 所以直线与平面所成的角为,即； 所以；所以 以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内，与平行的线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， , 所以, 设平面的法向量为， 所以 ， 令，则 ；所以； 平面的法向量为； ； 所以平面和平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）1. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆对称性，用待定系数法求解椭圆方程；（2）（i）设直线方程，根据韦达定理表示三角形面积，进而进行判断；（ii）由可知直线的倾斜角互补，用距离公式表示并作比值求解. 【小问1详解】 由对称性知，和在椭圆C上，所以， 所以，C的方程为. 【小问2详解】 方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，，则且， .点到直线的距离， 所以面积. 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，则且， . 点到线的距离，所以面积 . ，即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是， ，.所以， 于是，因为， 所以.所以的值1. 19. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）当时，已知的导函数为.其中.令. ①设，证明：； ②证明：对任意，有. 【答案】（1）； （2） ①证明：注意到 故对任意，故在上存在零点， 因此存在个不同的零点，即， 故，故． 注意到，故只要证明：． 注意到，且， 故 从而，故． ②证明：令，故， 由①可知， 从而. 令， 容易知道关于，都是单调递增的，且. 由于，故只要证明：. 根据以上讨论可知，只要证明：当，且时，． 由， 从而，不等式成立. 从而，若，取，使得， 故，矛盾． 综上，结论成立． 【解析】 【分析】（1）变形得，从而得到方程组，解出后变形得，再根据等差数列的判定方法即可得到答案； （2）①求导得，再利用零点存在性定理得到其一系列零点，转化为证明，则得到方程组，解出即可； ②构造函数并根据其单调性转化为证明，则有，不等式成立，再利用反证法即可证明. 【小问1详解】 由题意可知． 因此， 注意到，故， 从而， 化简可得，故． 故为等差数列． 有解得，故． 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $