精品解析：黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2025-2026学年高一上学期期末数学试卷

哈尔滨市第二十四中学校高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解指数不等式得到，再求即可. 【详解】，， 所以. 故选：B 3. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式以及面积公式计算即可. 【详解】由题意，扇形的圆心角为120°，即， 所以弧长，则扇形面积. 故选：B. 4. “”是“一元二次方程”有实数解的 A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确． 考点：充分必要条件 5. 设，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以则. 故选：B. 6. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的单调性，再利用零点存在定理判断根所在的区间. 【详解】因为在上是增函数， 而，，，， 所以， 根据零点存在定理，可得函数的零点所在的区间为. 故选：C 7. 已知函数，且它的最小正周期为，若将函数的图象向右平移个单位后，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图像变换原则，逐步变换即可. 【详解】将函数的图象向右平移得到的图象，再将此图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，属于基础题型. 8. 已知函数 给出下列三个结论：① 当时，函数的单调递减区间为；② 若函数无最小值，则的取值范围为；③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且. 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数的取值范围；③首先令，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】①当时，，画出函数的图象，如下图， 由图象可知当时，函数单调递减，当时函数单调递减，但函数在时，函数并不单调递减，故①不正确； ②当时，时，函数单调递增，并且当时，，所以函数没有最小值； 当时，，，函数的最小值是0； 当时，时，函数单调递减，函数的最小值是1，当时，，的最小值是0，综上可知函数的最小值是0， 综上，若函数没有最小值，只需满足，故②正确； 对于③，令，当时，，当时，， 不妨设，，，， 则，令，可得， 当时，，则三个零点， 当时，，则三个零点. 综上可知③正确； 故选：C 【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断，从而只需验证是否即可. 二、多选题 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断. 【详解】由.故A正确； ，故C正确； ，故D错误； 因为，所以为第一或第三象限角. 若为第一象限角，则，所以； 若为第三象限角，则，所以. 所以B错误. 故选：AC 10. 已知函数，下列说法正确的是（    ） A. 函数的周期为 B. 是函数的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 方程的解为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确； 对于B，因为， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 对于C，由，得，所以函数在内无间断点且单调递增，故C正确； 对于D，由，可得，所以， 解得，故D错误. 故选：ABC. 11. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； B. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是； C. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围是； D. 若是奇函数，且实数k满足，则k的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域可得函数的定义域；对于B，利用复合函数的单调性以及对数型函数的定义域可得实数a的取值范围；对于C，利用函数零点与图象交点的关系解出实数b的取值范围；对于D，利用函数的奇偶性求出，利用函数的单调性解出k的取值范围． 【详解】对于A，由函数的定义域为，即，得到， 则函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数为复合函数， 令，，若满足题意， 只需在上为增函数，且， 所以，∴，B正确； 对于C，函数有两个零点， 即为函数的图象与直线的图象有两个交点， 可得，故C正确； 对于D，由题意，∴，经检验满足题意. ∴单调递减， ∵，， ∴，∴，D正确； 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的定义域，考查函数单调性的应用，考查函数的性质解不等式，考查函数与方程思想，考查学生计算能力，函数的零点与方程根的关系如下： 1. 函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零； 2. 根据函数零点定义可知，函数的零点就是方程的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实根，有几个实根； 3. 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 三、填空题 12. 若幂函数在上为减函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】 由幂函数定义求得，再由减函数确定最终取值． 【详解】由已知，解得或. 当时，在上为增函数，不符合题意; 当时，在上为减函数，符合题意. 故答案为：1. 【点睛】本题考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性．属于基础题． 13. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式结合题意得，即可得解. 【详解】由题意得. 故答案为：. 14. ________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 故答案为：2 四、解答题 15. 求值： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的运算求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 函数（，，）的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间； （3）已知，，求． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到，最小正周期，故，代入求出，得到函数解析式； （2）整体法得到，整体法得到函数单调区间； （3）由求出，根据图象特征和特殊点函数值得到，故，利用凑角法和余弦差角公式求出答案 【小问1详解】 由图象可得，设的最小正周期为， 则，解得， ，故，解得， 所以， 将代入解析式，， 故，解得， 又，故当时，满足要求， 所以； 【小问2详解】 时，， 故当或时， 即或时，单调递增， 当，即时，单调递减， 故在上的单调递增区间为,， 单调递减区间为； 【小问3详解】 ，即， 因为，所以，又， 所以，其中， 故，故， 所以 . 17. 已知，． （1）设，，求的最大值与最小值； （2）求的值域． 【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2）， 【解析】 【分析】 （1），，，可得在，上是减函数，即可得出． （2），可得在，单调递减，即可得出值域． 【详解】（1），，， 在，上是减函数， 时有最大值； 时有最小值． （2）， 在，单调递减， （即，取得最大值，． （即，取得最小值，． 所以函数的值域，． 【点睛】利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法. 18. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，若曲线与直线恰有两个公共点，求m的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将函数化简后再代入求值即可； （2）根据正弦函数性质列不等式求解即可； （3）作出函数与直线的图象，根据题意即可求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 令，， 解得，， 函数的单调递增区间为，； 【小问3详解】 根据五点作图法得如下表格： 根据函数具有周期性结合表格得函数与图象如图所示： 因为，， 当时，要使曲线与直线恰有两个公共点，则. 19. 已知定义在上的奇函数，且. （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1），，在上单调递增，证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义求解函数，利用函数单调性定义证明； （2）结合（1）得在上是增函数，再利用奇函数和单调性求解不等式； （3）先求出函数的最大值，则对恒成立，即，求解即可. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 即，整理得，解得， 又因为，解得，可得 在上单调递增，证明如下： 对于任意，且， 可得 ， ，即， ，在上单调递增，得证； 【小问2详解】 由是奇函数，则不等式等价于， 因为是定义在的奇函数，且在上单调递增， 所以在上是增函数，则，解得， 则的取值范围是. 【小问3详解】 由已知得在上是增函数， 可得， 由题意知对恒成立， 所以恒成立， 即， 所以对恒成立， 即，解得或或， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第二十四中学校高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“一元二次方程”有实数解的 A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 5. 设，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 6. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且它的最小正周期为，若将函数的图象向右平移个单位后，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为 A. B. C. D. 8. 已知函数 给出下列三个结论：① 当时，函数的单调递减区间为；② 若函数无最小值，则的取值范围为；③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且. 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（    ） A. 函数的周期为 B. 是函数的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 方程的解为 11. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； B. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是； C. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围是； D. 若是奇函数，且实数k满足，则k的取值范围是. 三、填空题 12. 若幂函数在上为减函数，则__________. 13. 若，则___________. 14. ________． 四、解答题 15. 求值： （1）； （2）． 16. 函数（，，）的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间； （3）已知，，求． 17. 已知，． （1）设，，求的最大值与最小值； （2）求的值域． 18. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，若曲线与直线恰有两个公共点，求m的取值范围. 19. 已知定义在上的奇函数，且. （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $