2026年中考数学方程与不等式专项训练试卷（四川成都）

2026年中考数学方程与不等式专项训练试卷（四川成都） （时间：60分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求） 1．一元一次方程 的解为（ ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，解为 的是（ ） A． B． C． D． 3．若 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．分式方程 的增根可能是（ ） A． B． C． D． 5．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”其大意是：5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．设每头牛值金 两，每只羊值金 两，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 7．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． 或 C． D． 8．如图，在长方形 中，长 ，宽 （），若长方形的周长为24，则 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．某商店购进一批商品，进价为每件 元，售价为每件 元，若每件商品盈利不低于进价的20%，则 满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 10．已知关于 的一元二次方程 的两个根为 ，，且 ，则 的值为（ ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．解方程 ，得 ________． 12．若方程组 ，则 的值为________． 13．不等式组 的整数解为________． 14．若分式方程 的解为正数，则 的取值范围是________． 15．某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，设平均每次降价的百分率为 ，则可列方程为________． 三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 第16题（12分） （1）解方程组：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 第17题（12分） （1）解分式方程：； （2）关于 的一元二次方程 有两个实数根，求 的取值范围，并求出当 时方程的根。 第18题（13分）某超市计划采购A、B两种品牌的保温杯共50个，用于“五一”促销活动。已知采购2个A品牌保温杯和3个B品牌保温杯共需费用670元，采购3个A品牌保温杯和2个B品牌保温杯共需费用680元。 （1）求A、B两种品牌保温杯的进价分别为多少元/个？ （2）该超市计划A品牌保温杯的售价为170元/个，B品牌保温杯的售价为150元/个，且采购总费用不超过6600元。若全部售完，求该超市此次采购的最大利润。 19．（13分） （1）观察下列方程的解： ①方程 的解为 ，； ②方程 的解为 ，； ③方程 的解为 ，； …… 根据以上规律，写出第 个方程及它的解（ 为正整数）； （2）利用（1）中规律，解方程 ； （3）若方程 的根为整数，求整数 的值． 答案及解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．答案：A 解题步骤： 1. 移项：将含的项移到左边，常数项移到右边，得； 2. 合并同类项：； 3. 系数化为1：。 考点对应：一元一次方程的解法 易错点提醒：移项时易忘记变号，导致计算错误。 2．答案：A 解题步骤： 逐个代入验证选项，核心是确保代入 后，只有一个选项的两个方程均成立： 选项A：代入得 （第一个方程成立），（第二个方程成立），符合要求； 选项B：代入得 （第一个方程不成立），直接排除； 选项C：代入得 （第一个方程不成立），直接排除； 选项D：代入得 （第一个方程不成立），直接排除。 综上，只有选项A的两个方程均满足 ，故为正确答案。 考点对应：二元一次方程组的解 易错点提醒： · 易只验证一个方程就下结论，忽略“两个方程均成立”的核心条件； · 代入计算时易出现算术错误（如漏乘系数），导致误判。 3．答案：C 解题步骤： 1. 分析不等式性质： · 选项A：两边减5，不等号方向不变，应为，错误； · 选项B：两边乘，不等号方向改变，应为，错误； · 选项C：两边除以3，不等号方向不变，，正确； · 选项D：未说明的取值范围，若为负数，不一定成立，错误。 考点对应：不等式的性质 易错点提醒：乘除负数时易忘记改变不等号方向，忽略的取值对不等式的影响。 4．答案：B 解题步骤： 1. 分式方程增根的定义：使分母为0的根； 2. 本题分母为和，令分母为0，得或； 3. 化简方程：两边乘得，解得，无增根，但根据增根定义，可能的增根为或，结合选项，选B。 考点对应：分式方程的增根 易错点提醒：易混淆“增根的定义”与“方程的解”，忽略增根是使分母为0的潜在根。 5．答案：B 解题步骤： 1. 一元二次方程有两个相等实数根的条件：判别式； 2. 本题中，，，代入得； 3. 计算：，解得。 考点对应：一元二次方程根的判别式 易错点提醒：易记错判别式公式，或忽略二次项系数不为0的前提（本题二次项系数为1，无需考虑）。 6．答案：A 解题步骤： 1. 提取题干等量关系： · 5头牛+2只羊=10两，即； · 2头牛+5只羊=8两，即； 2. 对应选项，A选项符合等量关系。 考点对应：二元一次方程组的实际应用 易错点提醒：易混淆“牛”和“羊”对应的系数，导致方程列错。 7．答案：A 解题步骤： 1. 解不等式①：，得； 2. 解不等式②：，得； 3. 求公共解集：。 考点对应：一元一次不等式组的解法 易错点提醒：解不等式时易在“移项变号”“系数化为1”步骤出错，数轴表示时易混淆实心点与空心点。 8．答案：A 解题步骤： 1. 长方形周长公式：； 2. 代入长和宽，得； 3. 化简：，即，解得。 考点对应：几何图形与方程结合 易错点提醒：易记错长方形周长公式，或展开括号时漏乘系数2。 9．答案：A 解题步骤： 1. 盈利=售价-进价，利润率=盈利÷进价； 2. 题干“盈利不低于进价的20%”，即盈利≥进价×20%； 3. 转化为不等式：。 考点对应：不等式的实际应用（利润问题） 易错点提醒：易混淆“盈利”与“利润率”的概念，导致不等式列错。 10．答案：A 解题步骤： 1. 一元二次方程根与系数的关系：，； 2. 代入已知条件，得； 3. 解得。 考点对应：一元二次方程根与系数的关系 易错点提醒：易记错根与系数的关系公式（符号易混淆），或忽略方程有实数根的前提（本题无需额外限制，因，时）。 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．答案：11 解题步骤： 1. 去括号：； 2. 移项：； 3. 合并同类项：。 考点对应：一元一次方程的解法 易错点提醒：去括号时易漏乘常数项（-6），移项时易忘记变号。 12．答案：4 解题步骤： 1. 方程组两式相加：； 2. 合并同类项：； 3. 两边除以3：。 考点对应：二元一次方程组的整体代入思想 易错点提醒：易直接求解和的具体值，增加计算量，忽略整体思想的应用。 13．答案：2、3、4 解题步骤： 1. 解不等式①：，得，即； 2. 解不等式②：，得，即； 3. 两个不等式的解集分别为x>1和x≤4，因此不等式组的解集为1＜x≤4。 4. 找出整数解 在1＜x≤4范围内的整数为：2、3、4。 考点对应：一元一次不等式组的整数解 易错点提醒：解不等式时符号变化错误，或漏找整数解。 14．答案：且 解题步骤： 1. 化简分式方程：两边乘得； 2. 解得； 3. 限制条件： · 解为正数：，得； · 分母不为0：，即，得； 4. 综上，且。 考点对应：分式方程解的范围限制 易错点提醒：易只考虑解为正数，忽略分母不为0的限制条件。 15．答案： 解题步骤： 1. 两次降价问题公式：原价×； 2. 代入数据：原价25元，现价16元，得。 考点对应：一元二次方程的实际应用（增长率/降价问题） 易错点提醒：易将“两次降价”写成，混淆“单次降价率”与“总降价幅度”。 三、解答题（共50分） 16．（12分） 答案： （1）；（2）解集为，整数解为 详细解析： （1）解方程组： 解题步骤： 选择代入消元法，由方程②变形得：（将含的项单独列出，移项变号）； 将代入方程①，替换得：； 展开并化简：去括号得，合并同类项得； 求解：移项得，系数化为1得； 回代求：将代入，得； 验证：代入原方程组，（①成立），（②成立），故解为。 考点对应：二元一次方程组的解法（代入消元法） 易错点提醒： · 方程②变形时移项忘记变号（如误写为）； · 代入后去括号漏乘系数（如误算为）。 （2）解不等式组： 解题步骤： 解不等式①： 去括号：； 移项：（常数项移到右边，变号）； 合并同类项：； 系数化为1：（系数为正数，不等号方向不变）； 解不等式②： 移项：（常数项移到右边，变号）； 合并同类项：； 系数化为1：（系数为正数，不等号方向不变）； 求公共解集：两个不等式的解集分别为和，公共部分为； 找整数解：满足的整数为。 考点对应：一元一次不等式组的解法与整数解 易错点提醒： 解不等式①时去括号漏乘常数项（如误算为）； 系数化为1时误改不等号方向（本题系数均为正，无需变向，易因惯性思维出错）； 整数解多算（忽略不包含）或漏算（忽略“≥”包含边界值）。 17．（12分） 答案： （1）；（2），当 时，根为 ， 详细解析： （1）解分式方程： 解题步骤： 确定前提条件：分母不为0，故 且 ； 去分母：两边同乘最简公分母 ，得：； 展开化简：去括号：；合并同类项：； 求解方程：移项：；系数化为1：； 验根：将 代入最简公分母 ，满足分母不为0，故 是原方程的解。 考点对应：分式方程的解法与验根 易错点提醒： · 去分母时漏乘常数项（如误算为）； · 移项时忘记变号（如误算后未正确合并为）； · 忽略验根步骤（中考评分中验根占1-2分，即使解正确，漏验根也会扣分）。 （2）关于 的一元二次方程 有两个实数根，求 的取值范围及 时的根 解题步骤： 1. 确定二次方程有两个实数根的条件：二次项系数不为0（本题，满足），且判别式 ； 2. 计算判别式：； · 求 的取值范围：由 得 ，解得 ； · 当 时求解方程：代入方程得 ；因式分解：；解得 ，（或用求根公式验证：，结果一致）。 考点对应：一元二次方程根的判别式与解法 易错点提醒： · 判别式计算错误（如漏算中的负号，误写为）； · 因式分解时常数项分解错误（如误分解为）； 2. 忽略“二次项系数不为0”的前提（本题无需额外说明，但含参数的二次方程需优先验证）。 18．（13分） 答案： （1）A品牌进价140元/个，B品牌进价130元/个；（2）最大利润为1100元 详细解析： （1）求A、B两种品牌保温杯的进价 解题步骤： 设A品牌保温杯进价为元/个，B品牌为元/个，根据题意列方程组：； 加减消元法求解： ①+②得：，化简得； ②-①得：； ③+④得：，解得； 回代③得：，解得； 验证：（①成立），（②成立），故进价正确。 考点对应：二元一次方程组的实际应用（价格问题） 易错点提醒： 列方程时混淆“数量×单价”的对应关系； 加减消元时计算错误（如①+②误算为）。 （2）求最大利润 解题步骤： 设采购A品牌个，则B品牌个，总利润为元； 列采购总费用不等式：； 化简不等式：展开得，合并同类项得，解得； 确定的取值范围：（采购数量非负），（总数为50），故（为整数）； 建立利润函数：单个A品牌利润：元，单个B品牌利润：元；总利润； 分析利润增减性：因，随的增大而增大，故取最大值时，最大； 求最大利润：当时，元； 验证：采购A10个、B40个，总费用元（符合限制），总利润元（正确）。 考点对应：一元一次不等式组与一次函数最值的实际应用（利润问题） 易错点提醒： 利润计算错误（如误将售价减进价算成进价减售价）； 不等式化简时移项忘记变号（如移到右边误写为）； 忽略的实际意义（非负整数），或误判一次函数增减性（因系数为正，误判为随增大而减小）。 19．（13分） （1）答案：第个方程为，解为， 解题步骤： 1. 观察规律： · 方程①：（可写为），解为； · 方程②：（），解为； · 方程③：（），解为； 2. 归纳：第个方程为，因式分解得，解为，。 考点对应：规律探究与一元二次方程 易错点提醒：易忽略方程系数与项数的对应关系，或因式分解错误。 （2）答案：， 解题步骤： 1. 因式分解方程，得； 2. 解得，。 考点对应：一元二次方程的因式分解法 易错点提醒：因式分解时常数项分解错误，导致根求解错误。 （3）答案：或 解题步骤： 1. 因式分解方程，得； 2. 解得，； 3. 因根为整数，故为整数，为整数，综上（）或（）。 考点对应：一元二次方程的因式分解与整数根 易错点提醒：因式分解不彻底，或忽略为整数的限制条件。 学科网（北京）股份有限公司 $