重难点专题 反比例函数函数综合问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 反比例函数的综合问题 重难点一 一次、二次函数与反比例函数求交点坐标 题型特征：给出一次函数、二次函数与反比例函数解析式，求图像交点.一般方法： 联立两个函数方程，组成方程组；消去y，得到关于x的分式方程，转化一元二次方程求解x；将解出的x代回任意一个解析式求出对应的y；写出交点坐标. 如果两个函数有两个交点，则交点关于原点中心对称检验分母不为0；方程无解代表两个图像没有交点. 1.有3个不同的函数（为不为0的常数，，2，3）；4个不同的二次函数．则这7个函数的图象的交点个数最多是（         ） A．36个 B．48个 C．60个 D．72个 2.如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 3.若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 4.在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是　　　　. 5.如图，正方形的边长为5，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图像过点．求该反比例函数的表达式． 6.规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 　　（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数的值； ②求另外两个“兄弟点”的横坐标． 重难点二 函数图像比较大小（>或者，求x取值范围） 题型特征：已知一次函数、二次函数与反比例图像交点，看图直接写什么时候一个函数值大于另一个. 一般方法：（图像法优先） 先找到两个函数交点横坐标；画草图，以交点横坐标作为分界点，从左往右看图；图像位置在上的，函数值更大；分区间写出自变量x取值范围. 注意：x≠0，反比例函数在x=0无意义.不要漏区间，容易只写一个范围；忘记排除x=0. 1．抛物线与双曲线y=-有交点，且满足，则 的取值范围是(    ) A． B．或2 C． D．或 2.已知函数（k为常数且），函数的图象和函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（　　） ①函数的图象上的点的横坐标不可能等于2． ②若当时，x的取值范围为或． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 3．已知关于的一元二次方程有实数根，且关于的反比例函数图象上有两点，，，，则符合条件的所有整数的和 ． 4.如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围； 5.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．    (1)求反比例函数的解析式． (2)直接写出不等式的解集． (3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 重难点三 一次函数、二次函数与反比例综合求图形面积 一次函数、二次函数与反比例综合，求图形面积.题型特征：两个函数交于两点，结合坐标轴，求三角形、四边形面积.一般方法：割补法（核心方法）先求两个交点坐标，求一次函数、二次函数与x轴/y轴交点坐标；如果三角形底边在坐标轴上：以坐标轴上线段作为底，对应点纵坐标/横坐标作为高，直接算面积；如果图形不规则：采用割补法，拆成多个直角三角形、直角梯形面积加减求解；尽量避免复杂坐标运算，利用坐标求垂线段长度.坐标是负数的时候，求线段长度要取绝对值，不要直接拿负数当高计算. 1.定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.如图，点A在反比例函数的图象上，直线交反比例函数另一支图象于点B，过A、B两点分别作轴于M，轴于N，连接，则四边形面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 3.如图，矩形的顶点A和对称中心均在反比例函数上，若矩形的面积为6，则k的值为 ． 4.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”，已知直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，且点P是“和谐点”，则的面积为 ． 5.如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，求的值．    6.如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，点是线段上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点，与轴交于点，连接、．    (1)一次函数表达式为___________；反比例函数表达式为___________； (2)在线段上是否存在点，使点到的距离等于它到轴的距离？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图），求出点、的坐标； ②如图，在平移过程中，射线与轴交于点，点是平面内任意一点，若以、、﹑为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 重难点四 反比例函数与简单几何图形综合 题型特征：反比例结合三角形、矩形、平行四边形，已知几何性质求k值、求点坐标. 一般方法：设双曲线上动点坐标；利用几何性质：边长相等、平行、垂直、面积条件建立方程；解方程求出未知数，算出k的值；根据图像象限，判定k正负. 1.已知ΔABC各顶点坐标为，若反比例函数的图象与有交点，则k的最大值为（　　） A．5 B． C．4 D． 2.如图，点A，E在反比例函数的图象上，点D，F在反比例函数的图象上，正方形的顶点B，C在线段上，若，，正方形的边长为2，G为x轴上的一个动点，则的面积为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 3.如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（　　）    A． B．8 C．16 D．32 4.如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ． 5.正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积是16． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 6.如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上． (1)若点的坐标是，求点的坐标； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的长． 7.如图，在矩形中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点．    (1)如图1，连接，求，的坐标； (2)如图1，若以和为邻边作矩形，求过点的反比例函数的表达式； (3)如图2，在第一象限内，直线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 重难点五 参数类综合问题（含字母参数，判断交点个数、参数取值范围） 题型特征：解析式含有参数m、k，已知两个函数交点情况，求参数范围.一般方法：联立一次、二次、反比例函数得到一元二次方程； 利用一元二次方程判别判断根的数量： 解不等式求出参数取值范围，注意反比例k≠0限制条件. 1.函数，当时，对应的有唯一确定的值，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 2.如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（    ）    A． B．32 C． D．16 3.如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点、在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 . 4.如图，矩形的顶点O在坐标原点，顶点分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋得到矩形．若点O的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为 ． 5.点A是反比例函数图象上一点，连接，并将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A的横坐标为4，那么k的值为 ． 6.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且）的图象经过的顶点B，交y轴于点E，轴，F为边上一点，且，连接．    （1）若点B的坐标为，则k的值为 ． （2）设的面积为，四边形的面积为，则的值为 ． 7.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求和的值； (2)根据图象直接写出的解集； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 8.如下图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． (3)如下图，平移直线交双曲线于点，交直线于点，连接，并延长交于第一象限内一点，若，求平移后的直线的解析式． 9.如图，函数的图象过和两点． (1)求n和k的值． (2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 反比例函数的综合问题 重难点一 一次、二次函数与反比例函数求交点坐标 题型特征：给出一次函数、二次函数与反比例函数解析式，求图像交点.一般方法： 联立两个函数方程，组成方程组；消去y，得到关于x的分式方程，转化一元二次方程求解x；将解出的x代回任意一个解析式求出对应的y；写出交点坐标. 如果两个函数有两个交点，则交点关于原点中心对称检验分母不为0；方程无解代表两个图像没有交点. 1.有3个不同的函数（为不为0的常数，，2，3）；4个不同的二次函数．则这7个函数的图象的交点个数最多是（         ） A．36个 B．48个 C．60个 D．72个 【分析】分三种情况：3个不同的函数与4个不同的二次函数的交点个数，4个不同的二次函数之间最多的交点个数，3个不同的函数之间的交点个数，然后再相加即可． 【详解】解：∵一个函数的图象与一个二次函数的交点最多有4个， ∴3个不同的函数与4个不同的二次函数的交点个数最多为： （个）， 2个二次函数图象最多有2个交点， 第3个二次函数图象与前2个二次函数图象都有2个交点， 第4个二次函数图象与前3个二次函数图象电都有2个交点， ∴4个二次函数最多的交点个数为（个）， 任意2个函数的图象都不存在交点， ∴3个不同的函数之间没有交点； 综上分析可知，这7个函数的图象的交点个数最多是（个），故C正确． 故选：C． 2.如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：        根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 3.若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令，点关于原点对称的点为，则，由“共生点对”的定义可得方程，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数，即研究函数，两个函数图象的交点个数，画出函数的草图如图，由图象的交点个数即可求解． 【详解】解：函数， 设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令， 点关于原点对称的点为，则， 若也在函数y的图象上，则点对是函数y的一个“共生点对”， ∵，，在函数y的图象上， ∴，则， ∵也在函数y的图象上， ∴， 则，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数， 即研究函数，两个函数图象的交点个数， 当时，，，即画出函数的草图如图，    由图可知，与有两个交点，故方程有两个解， ∴此函数的“共生点对”有2个． 故选：C． 4.在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是　　　　. 【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．易证，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点， ∵，且在直线上， ∴，，， ∴． 由旋转的性质可知，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵P是双曲线上的一点， ∴，即． ∴． 5.如图，正方形的边长为5，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图像过点．求该反比例函数的表达式． 【分析】过点作轴于，根据结合正方形的性质，利用勾股定理解得，在利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如下图，过点作轴于， ∵四边形为正方形，且边长为5， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图像过点C， ∴将点代入，可得， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 6.规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 　　（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数的值； ②求另外两个“兄弟点”的横坐标． 【分析】（1）画出函数图象，有函数图象及“兄弟点”的定义即可得到答案； （2）①将把代入得，将代入即可求出的值；②联立，整理得到，从而得到或，利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：如图：   ， 由图可知，与二次函数有3个交点的是， 与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①把代入得， 其中一个“兄弟点”的坐标为， 把代入得：， 解得：； ②由①得：， ， 联立， 得， ， ， ， ，即， 或， ， 在中，， ， 另外两个“兄弟点”的横坐标为和． 重难点二 函数图像比较大小（>或者，求x取值范围） 题型特征：已知一次函数、二次函数与反比例图像交点，看图直接写什么时候一个函数值大于另一个. 一般方法：（图像法优先） 先找到两个函数交点横坐标；画草图，以交点横坐标作为分界点，从左往右看图；图像位置在上的，函数值更大；分区间写出自变量x取值范围. 注意：x≠0，反比例函数在x=0无意义.不要漏区间，容易只写一个范围；忘记排除x=0. 1．抛物线与双曲线y=-有交点，且满足，则 的取值范围是(    ) A． B．或2 C． D．或 【分析】根据题意，求得临界值的交点坐标或，代入抛物线解析式，进而画出草图，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当交点为时，代入，即 解得：或 当交点为时，代入， 解得：或， 如图所示，的取值范围为：或， 选D． 2.已知函数（k为常数且），函数的图象和函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（　　） ①函数的图象上的点的横坐标不可能等于2． ②若当时，x的取值范围为或． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【分析】先根据反比例函数的性质、轴对称的性质、函数图象的平移画出图形并得到；①根据解析式即可判断①；②根据反比例函数的增减性结合函数图象即可解答． 【详解】解：如图：由函数，根据函数的图象和函数的图象关于直线对称可知 ∵，即， ∴函数的图象上的点的横坐标不可能等于2说法正确，即①正确； 当时， 当时，则，可得： ∵，， ∴， 当时，则，可得： ∵，， ∴， 综上，当时，x的取值范围为且，即②错误．    故选B． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，且关于的反比例函数图象上有两点，，，，则符合条件的所有整数的和 ． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，由反比例函数的性质得 ，可求出的取值范围，即可得出答案，利用一元二次方程根的判别式及反比例函数图象的性质求出整数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有实数根， ∴且， 解得且， ∵关于的反比例函数图象上有两点，，，， ∴， ∴， ∴且， ∴整数可以为，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 4.如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围； 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图像问题及线段和最值问题． （1）联立两函数解析式求出交点坐标； （2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集； （3）作A关于x轴对称点即可找出点 P 的位置． 【详解】（1）点在一次函数上， ， 点的坐标为， 点在反比例函数（为常数，且）上， ， 反比例函数表达式为． 联立一次函数表达式与反比例函数表达式，的： ， 解得：， 点B的坐标为． （2）当时， 一次函数的图像在反比例函数图像上方， 自变量的取值范围为或． （3）作A关于y轴对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小． 点，A关于y轴对称点， ， 设直线的表达式为， 则有， 解得：， 直线的表达式为， 令中，则， 点P的坐标为． 5.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．    (1)求反比例函数的解析式． (2)直接写出不等式的解集． (3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【分析】（1）过点作于点，可得，，，根据反比例函数中的几何意义，即可求得解析式； （2）根据直线与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，观察函数图像，即可得到不等式解集； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，求得直线的解析式，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：过点作于点，如解图1所示，则．    ∵， ∴． 又∵， ∴． 由反比例函数中的几何意义，可知， ∴（正值已舍去）． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：或． （3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，如解图2所示．    把点，分别代入，得，，即点，． ∴． 易得直线的解析式为． ∴． 重难点三 一次函数、二次函数与反比例综合求图形面积. 一次函数、二次函数与反比例综合，求图形面积.题型特征：两个函数交于两点，结合坐标轴，求三角形、四边形面积.一般方法：割补法（核心方法）先求两个交点坐标，求一次函数、二次函数与x轴/y轴交点坐标；如果三角形底边在坐标轴上：以坐标轴上线段作为底，对应点纵坐标/横坐标作为高，直接算面积；如果图形不规则：采用割补法，拆成多个直角三角形、直角梯形面积加减求解；尽量避免复杂坐标运算，利用坐标求垂线段长度.坐标是负数的时候，求线段长度要取绝对值，不要直接拿负数当高计算. 1.定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，求出、的坐标，从而得到直线的解析式，得到点的坐标，根据进行计算即可得出答案，求出、的坐标是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”， ， 整理得：， 解得：，， 当时，，当时，， ，， 设直线解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， ， ， ， 故选：A． 2.如图，点A在反比例函数的图象上，直线交反比例函数另一支图象于点B，过A、B两点分别作轴于M，轴于N，连接，则四边形面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，设点，根据反比例函数的对称性质，求得点，则可得到，利用三角形面积公式，即可解答，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：设点，根据反比例函数的对称性质，求得点， 可得到， 四边形面积为， 故选：B． 3.如图，矩形的顶点A和对称中心均在反比例函数上，若矩形的面积为6，则k的值为 ． 【分析】本题考查反比例函数图象上点 的坐标特征，设矩形的对称中心为E，连接、，过E作垂足为F，设，，利用矩形的面积，表示矩形的边长，再根据对称中心表示E的坐标，由点A、E都在反比例函数的图象上，由反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：设矩形的对称中心为E，连接、，过E作垂足为F， ∵点E是矩形的对称中心， ∴，， 设，， ∵的面积为6， ∴，， ∴点， ∵， ∴， 即：， 故答案为：3． 4.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”，已知直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，且点P是“和谐点”，则的面积为 ． 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，先根据“和谐点”的定义求出m的值，进而可求出点A的坐标，根据三角形的面积可求出的面积，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴， 解得， 当时，， 把点P的坐标代入一次函数和反比例的解析式得： ∴，， ∴， ∴． 当时，， ∴，， ∴， ． 故答案为：或． 5.如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，求的值．    【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：，， ∵， ∴，即， ∴. 6.如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，点是线段上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点，与轴交于点，连接、．    (1)一次函数表达式为___________；反比例函数表达式为___________； (2)在线段上是否存在点，使点到的距离等于它到轴的距离？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图），求出点、的坐标； ②如图，在平移过程中，射线与轴交于点，点是平面内任意一点，若以、、﹑为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设点，根据的面积列方程，求解即可； （3）①连接，根据平行线的性质，可得直线的解析式，联立直线解析式与反比例函数解析式，求出点坐标，根据平移的性质进一步即可求出点坐标； ②根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出的坐标，可得，以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当为边时，当、为边时，当、为边时，分别列方程，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 得， 解得， 一次函数的表达式：， 将点代入反比例函数， 得， 反比例函数表达式：， 故答案为：； （2）解：点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点， 点，点， ， 设点， 点到的距离等于它到轴的距离， ， 解得， 点坐标为； （3）解：①连接，如图所示：    根据平移的性质可得， 直线的解析式：， 联立， 解得或（不合题意，舍去）， 点， 根据平移的性质，可得点； ②点， 设直线的解析式：， 代入点， 得， 解得， 直线的解析式：， 根据平移，可得， 设直线的表达式为， 直线的解析式为， 设平移后的点为，则点， 将点坐标代入， 得， 解得， 直线的表达式为：， 当时，， 点， ， 以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论： 当为边时，， 解得或（舍去）， 点， 当、为边时，， 解得， 点； 当、为边时，， 解得（舍或， 点， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，等积法，平移的性质，菱形的判定等，本题综合性较强，计算量较大． 重难点四 反比例函数与简单几何图形综合 题型特征：反比例结合三角形、矩形、平行四边形，已知几何性质求k值、求点坐标. 一般方法：设双曲线上动点坐标；利用几何性质：边长相等、平行、垂直、面积条件建立方程；解方程求出未知数，算出k的值；根据图像象限，判定k正负. 1.已知ΔABC各顶点坐标为，若反比例函数的图象与有交点，则k的最大值为（　　） A．5 B． C．4 D． 【分析】若反比例函数与有公共点，则反比例函数向下最多到点A，向上最多到与直线只有一个交点．当过点A时，把点A坐标代入反比例函数解析式可得；当反比例函数与直线只有一个交点时，求出直线的解析式为，与反比例函数联立得，由该方程有两个相等的实数根得到，解得，得到k的取值范围为，即可得到答案． 【详解】解：如图，    若反比例函数与有公共点，则反比例函数向下最多到点A，向上最多到与直线只有一个交点． 当过点A时，把点A坐标代入反比例函数解析式可得，解得； 当反比例函数与直线只有一个交点时，设直线的解析式为. ∴把两点坐标代入可得， 解得. ∴直线的解析式为. 联立， 消去y整理可得， 则该方程有两个相等的实数根． ∴， 即， 解得． ∴k的取值范围为． ∴k的最大值为． 故选：B 2.如图，点A，E在反比例函数的图象上，点D，F在反比例函数的图象上，正方形的顶点B，C在线段上，若，，正方形的边长为2，G为x轴上的一个动点，则的面积为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】由点E在反比例函数的图象上，可得反比例函数为：，证明，，，可得，的纵坐标是4，可得，，由点D在反比例函数的图象上，可得反比例函数为：，求解，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵，， ∴轴，， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∵正方形的边长为2， ∴，，， ∴，的纵坐标是4， ∴，即， ∴，即， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴，即， ∴， ∴； 故选C． 3.如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（　　）    A． B．8 C．16 D．32 【分析】连接，过点作轴于点，延长交于点，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得为等腰直角三角形，四边形为正方形，四边形为矩形，求出点的坐标即可． 【详解】解：连接，过点作轴于点，延长交于点，    则：， ∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点， ∴轴，轴， ∴轴， ∴， ∴四边形为正方形； ∵， ∴， ∴，； ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵C为优弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4.如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ． 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出是等边三角形，从而表示点的坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长，把代入解析式即可求得点的横坐标． 【详解】解：设菱形的边长为， ， 是等边三角形， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过菱形的顶点， ， （负数舍去）， 菱形的边长为2， 点的纵坐标为2， 把代入得，， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 5.正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积是16． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标为，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为，然后把代入，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入得， ， 即； 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为； （2）设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合题意）， 正方形的边长为得． 6.如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上． (1)若点的坐标是，求点的坐标； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的长． 【分析】（1）过点F作轴于G，设、交点为M，根据正方形和平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质证明得到，，再根据点在反比例函数的图象上的点的坐标特征求得，，进而求得，求得即可求解； （2）过F作轴于H，先证明得到，，再证明得到， 设，则，，则，代入中求解a值即可. 【详解】（1）解：过点F作轴于G，设、交点为M，如图，则 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标是， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上，四边形是正方形， ∴，则， ∴，， ∴点F的纵坐标为， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴当时，，则， ∴，则， ∴； （2）解：过F作轴于H，如图，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，即， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，则， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴，解得（负值舍去）， ∴． 7.如图，在矩形中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点．    (1)如图1，连接，求，的坐标； (2)如图1，若以和为邻边作矩形，求过点的反比例函数的表达式； (3)如图2，在第一象限内，直线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标； （2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可； （3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ，， 直线的解析式为， 当，， ， ， ， ， ，解得：， ； （2）设的坐标为， 四边形为矩形， 为直角三角形， 当时，在外边，故不成立； 当时， ， ， ， ， ， 解得：， ， 设点， ， ， ， ， 设过点的反比例函数为， ，解得：， 过点的反比例函数为； （3）使是等腰直角三角形， 设，， ①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于，    是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ，， ，解得：， ； 在下方，如下图，过点作交轴于，交与延长线于，    是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 当时，的坐标为或； ②当时，如下图，在上方，过点作轴于，    是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， 此时不在边上，不符合题意； ③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点，    是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 综上所述点坐标为或或． 重难点五 参数类综合问题（含字母参数，判断交点个数、参数取值范围） 题型特征：解析式含有参数m、k，已知两个函数交点情况，求参数范围.一般方法：联立一次、二次、反比例函数得到一元二次方程； 利用一元二次方程判别判断根的数量： 解不等式求出参数取值范围，注意反比例k≠0限制条件. 1.函数，当时，对应的有唯一确定的值，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【分析】本题考查函数的图象，如图，由题意可知当时，对应的有唯一确定的值，即直线与该函数的图象只有一个交点，解题的关键是正确画出函数的图象． 【详解】解：由题意可知：时，对应的有唯一确定的值，即直线与该函数图象只有一个交点， ∴由图象可知：或， 故选：． 2.如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（    ）    A． B．32 C． D．16 【分析】本题考查了反比例数的性质，菱形的性质，勾股定理；根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：由点的坐标， 得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：A． 3.如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点、在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 . 【分析】过点D作轴过点C作轴，可证，，求出，确定，求出，C向左移动n个单位后为，代入进而求n的值． 【详解】过点D作轴，过点C作轴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于， 当时，， 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顶点D在反比例函数上， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵C向左移动n个单位后为 ， ∴， ∴， 4.如图，矩形的顶点O在坐标原点，顶点分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋得到矩形．若点O的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为 ． 【分析】本题考查了反比函数k的几何意义，解一元二次方程，图形的旋转，设，则可得两点坐标，由反比函数k的几何意义即可求解．解题关键是k等于反比例函数上的点的纵坐标与横坐标乘积的一半． 【详解】解：设则， 根据反比函数k的几何意义可得：， 即， 解得：， 两点在第一象限， ， ， 点在反比例函数图像上， ． 5.点A是反比例函数图象上一点，连接，并将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A的横坐标为4，那么k的值为 ． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，过点A作轴于点D，过点B作于点E，得出，则，通过证明，得出，把代入得，求解即可． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作于点E， ∵点A横坐标为4，且点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 整理得：（舍去）， 故答案为：． 6.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且）的图象经过的顶点B，交y轴于点E，轴，F为边上一点，且，连接．    （1）若点B的坐标为，则k的值为 ． （2）设的面积为，四边形的面积为，则的值为 ． 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，用面积法求比． （1）把点代入，即可求出k的值； （2）设，根据平行四边形的性质得出，，则，，即可得出． 【详解】解：（1）把点代入得：， 故答案为：18； ②∵， ∴可设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设到距离， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 7.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求和的值； (2)根据图象直接写出的解集； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据题意将分别代入和，求得和的值即可； （2）由题意根据图象中的信息即可得到结论； （3）根据题意过点作轴于点，过点作轴于点以及过点作轴于点，过点作轴于点进行分析证明求解． 【详解】（1）解：将分别代入和，得，， 解得，． （2）由图象可知：的解集为或． （3）存在，过点作轴于点，过点作轴于点． 由（1）知，，， ∴直线的表达式为， 反比例函数的表达式为． 将代入，得， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点与点关于原点对称   ∴，   ∴   设， ∴ 解得或， ∴或， 故在轴上存在一点，使得，点的坐标是或． 8.如下图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． (3)如下图，平移直线交双曲线于点，交直线于点，连接，并延长交于第一象限内一点，若，求平移后的直线的解析式． 【分析】（1）作轴于．根据解析式确定，，由三角形面积可求，，代入反比例函数解析式求解； （2）作轴于，轴于，设．由，可得，于是，根据绝对值性质分情况求解，得的坐标为或； （3）可求证，于是，得证垂直平分，于是关于直线对称，点在上，可求，待定系数法确定的解析式为． 【详解】（1）解：如图1中，作轴于， ， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，，解得， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴； （2）解：如图2中，作轴于，轴于， 设， ， ，， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或3（舍去）． 综上所述，满足条件的点的坐标为或； （3）解：如图3中， ， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴垂直平分， 关于直线对称， ∵点在上， ∴点也在上， 又∵点Q在直线上， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 9.如图，函数的图象过和两点． (1)求n和k的值． (2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将和两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线得解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图象过和两点， ，解得：； （2）解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， 则，， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿x轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， 直线的解析式为；    （3）解：存在，点F的坐标为或或，理由如下： 直线交x轴于点D，交y轴于点E， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ；    ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ；    ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点F，使得为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $