精品解析：黑龙江省齐齐哈尔龙沙区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题

2025-2026学年度上学期 初三数学期末试题 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：清明时节雨纷纷，是随机事件， 故选：D． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 4. 下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（ ） A. 当x＞0时，y＜0 B. y随x的增大而减小 C. 图像在第二、四象限 D. 图像关于直线y＝－x对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质进行分析即可． 【详解】解：在反比例函数中，k2+2＞0． A、该反比例函数图象经过第一、三象限，则当x＞0时，y＞0，结论不正确，不符合题意； B、该反比例函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，结论不正确，不符合题意； C、该反比例函数图象经过第一、三象限，结论不正确，不符合题意； D、图象关于直线y=-x对称，结论正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质判断． 5. 若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（　　） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，根据勾股定理即可求得结果． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． ∵正方形的外接圆半径为2， ∴正方形的对角线长为4， ∴正方形的边长为＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，�此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（ ）． A. 1200m B. 2400m C. 400m D. 1200m 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质可得∠ABC=∠α=32°；接下来依据正弦函数的定义，得到sin∠ABC=，然后将已知代入进行计算即可. 【详解】由平行线的性质得 ∠ABC=∠α=30°， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=1200m， ∴AB==2400（m）. 故选B. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义与平行线的性质. 8. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可． 【详解】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图， ∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发， 作QE⊥AB交AB于点E， 则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°， ∴BP＝5−x，QE＝， ∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×(5−x)×=（0＜x≤5）， ∴此时图象为抛物线开口方向向下； （2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图， ∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发， 作QE⊥BC交BC于点E， 则有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°， ∴BP＝x−5，QE＝， ∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x−5）×=（5＜x≤5）， ∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大； 综上，只有选项B的图象符合， 故选：B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确的求出函数解析式是解题的关键． 10. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②图象上有两点和，若，且，则一定有；③；④若方程没有实数根，则；正确的是() A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线的性质判断、、的正负性，据此解答即可；②由抛物线开口向下，对称轴为，，，得在的右侧，分与两种情况讨论求解即可；③由抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得，根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出，据此判断即可；④根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可． 【详解】解∶∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，抛物线与轴的另一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为，，， ∴在的右侧， 当时， ∴在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴， 综上所述，故②正确； ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵的最大值是， ∴方程没有实数根，则， 结论④正确． 综上，可得正确结论的序号是∶②③④． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图像及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点和关于原点对称，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 12. 如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求出母线长为，圆锥的底面周长为，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角． 【详解】解：根据题意得，圆锥的母线长为：， 设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ， 解得：， 该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长=展开图扇形弧长，圆锥母线长=展开图扇形半径，母线长=，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 13. 如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由作图得平分，再根据勾股定理求解． 【详解】解：过D作于F，连接， 由作图得：平分， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，掌握圆周角定理是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 15. 已知长方形，，，点为边上一点，若，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查长方形的性质、锐角三角函数、解一元二次方程，利用正切定义求解线段长是解答的关键．先证明得到，则，设，则，求得长，再由求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，则， 解得，， 即或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：或． 16. 如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可， 【详解】解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算负整数指数幂，零指数幂，求算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后再计算加减法． 【详解】解： 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1），1200 （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）先求出抽查的总人数，然后根据占比求出圆心角度数，根据用样本估计总体即可； （2）求出类别D和类别B的人数，然后补全条形统计图即可； （3）利用树状图进行求概率即可． 【小问1详解】 解：本次抽查的总人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数为； 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的人数为（人）， 故答案为：，1200； 【小问2详解】 解：类别D的人数为（人）， 类别B的人数为（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2， 所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，求点A旋转经过的路径的长度（结果保留π）． 【答案】（1） 如图所示． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据弧长公式列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴点A旋转经过的路径的长度． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点是解题的关键． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点． （1）求反比例函数的关系式与的值； （2）根据图像直接写出不等式时的取值范围． 【答案】（1），10 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入反比例函数并求解，即可求得反比例函数的关系式，再将点代入并求解，即可求得的值； （2）结合图像中一次函数图像再反比例函数图像上方的部分，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 将点代入， 可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，， 由图像可知，不等式时的取值范围为或． 22. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． （1）求证：为的切线； （2）延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，容易证明，因此，命题得证； （2）先根据三角函数求出，结合可得，．根据直角三角形的性质和勾股定理，计算出，分别计算和扇形的面积，阴影面积为两者的差． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握相关的知识是解题关键． 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1） （2） 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 24. 如图1在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于、两点，与y轴交于点C，顶点为点G，连接、，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接、，当四边形周长取最小值时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点P坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入函数表达式，求出和的值； （2）分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为．根据二次函数的表达式求出点C坐标为，进而求出直线的函数表达式为．根据点A和点P的坐标，计算出点D坐标为，点H坐标为，因此，．由可得，则，使用配方法求出的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）过点F作的平行线，交轴于点，连接，，四边形中，和为固定长度，因此当最小时，四边形周长最小．通过轴对称的性质和平行四边形的性质可得，，当I、F、B三点共线时，取到最小值，计算出此时点E的坐标即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得， ， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为， 将，代入，得， ∴点C坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点D坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴点H坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，取最大值， 此时点P坐标为，在直线上方，符合题意． ∴的最大值为，点P坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点F作的平行线，交轴于点，连接，， ∵，，， ∴，，， 在直角中，， 四边形周长为， ∴当最小时，四边形周长最小， ∵点A和点B关于对称， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴点I的坐标为， 在直角中，， ∵， ∴当I、F、B三点共线时，取到最小值，此时四边形周长最小， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴直线的函数表达式为， 由抛物线对称轴公式可得，的对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点F的坐标为， ∵线段在抛物线对称轴上，长度为2，且点E在点F上方， ∴点的坐标为， ∴当四边形周长取最小值时，点E的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期 初三数学期末试题 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（ ） A. 当x＞0时，y＜0 B. y随x的增大而减小 C. 图像在第二、四象限 D. 图像关于直线y＝－x对称 5. 若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（　　） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，�此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（ ）． A. 1200m B. 2400m C. 400m D. 1200m 8. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 9. 如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②图象上有两点和，若，且，则一定有；③；④若方程没有实数根，则；正确的是() A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点和关于原点对称，则的值是_______． 12. 如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是______． 13. 如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 15. 已知长方形，，，点为边上一点，若，则的值为__________． 16. 如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： 18. 解方程： （1） （2） 19. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，求点A旋转经过的路径的长度（结果保留π）． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点． （1）求反比例函数的关系式与的值； （2）根据图像直接写出不等式时的取值范围． 22. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． （1）求证：为的切线； （2）延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 24. 如图1在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于、两点，与y轴交于点C，顶点为点G，连接、，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接、，当四边形周长取最小值时，直接写出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $