精品解析：宁夏回族自治区中卫市中宁县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

中宁县2025-2026学年第一学期九年级数学学科试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分）． 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：B ． 2. 下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征． 判断点是否在反比例函数图象上，需验证该点坐标是否满足函数关系式，即． 【详解】∵ 点在函数图象上， ∴ ． 选项A∶ ， ∴ ， 不满足，该选项不符合题意； 选项B∶ ， ∴ ， 满足，该选项符合题意； 选项C∶ ， ∴ ， 不满足，该选项不符合题意； 选项D∶ ， ∴ ， 不满足，该选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，在平行四边形中，为边的中点，连接，交于点，若的面积为2，则的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 先证得，可得相似三角形的面积比等于相似比的平方，由E为中点，可得，然后由可求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解一元一次不等式组，一元二次方程（为常数，）根的判别式为，当时，方程有实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义，得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得：且， 故选：C ． 5. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 6. 2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据锐角的正弦可直接进行求解． 【详解】解：如图，由题意可得：， ∴， ∴． 这名滑雪运动员的高度下降了； 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出即可解决问题． 本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象分布，根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】解：根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 已知：，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求分式的值，根据比例关系设参数表示变量，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为 ． 10. 如图，菱形的边长为，，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形，锐角三角形函数的知识，解题的关键是根据题意，则，，求出，再根据菱形的面积公式，即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由根与系数的关系，得到，，即可得到答案，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 13. 若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式判断反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 待定系数法求反比例函数解析式可得的值，根据即可得增减性． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 即； 又∵ ∴在图象的每一支上，随的增大而减小． 故答案为：减小． 14. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 15. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知， ， ， ， 又， ， ， 米，米，米 ， 米． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 16. 如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设直线l与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再由的面积为2，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C， ∵直线平行于轴， ∴直线l垂直于y轴，即， ∵直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点， ∴； ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. （1）解方程： （2）计算． 【答案】（1），      ；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算，特殊角的三角函数值以及用公式法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先算绝对值，0指数幂，负整数指数幂，和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； 【详解】（1）解： ∴， ∴，   ； （2）解： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）和是位似图形,图见详解； 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【小问1详解】 解：如图为所求： 【小问2详解】 解：如图为所求： 【小问3详解】 解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 19. 某校举行“春天诵诗”比赛，将参赛选手的成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）求B等级选手的人数为 ，m的值为 ； （2）学校从成绩为A等级的学生中选2人去参加县里比赛．已知A等级学生中有2名男生1名女生，请用列表法或画树状图求出所选2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）5；40 （2）恰好是一名男生和一名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键． （1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，用C等级人数除以总人数即可求出m的值； （2）利用列表法得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：参赛选手的总人数为人， ∴B等级选手的人数为：， C等级所占的百分比为 ， 故答案为：5；40； 【小问2详解】 解：列表如下： 男 男 女 男 (男， 男) (男， 女) 男 (男， 男) (男， 女) 女 (女，男) (女， 男) 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则P恰好是一名男生和一名女生． 20. 如图，现利用一面长度为的墙围，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门． （1）设米，则___________米． （2）间能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，表示出矩形的长与宽是解题关键． （1）设为米，根据图形求解即可； （2）根据“面积为”列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：设为米， ∵篱笆长，小门宽， ∴； 【小问2详解】 解：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园． 理由如下： 由题意，得： 解得，， 当，（舍去）， 当，， 答：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的判定方法及性质是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，则，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，，即的长是． 22. 如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）顶点为，对称轴为直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． （3）请直接写出时的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键． （1）分别把A点坐标代入和中计算出b和k的值即可； （2）分别求出B点的坐标，与x轴、y轴的交点坐标，根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵经过和， ∴， 解得， ∴，； 【小问2详解】 解：将代入得， ∴， 对于，当时，， 当时，， 令，， 则， ∴， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：观察图像可得，时，x的取值范围是或． 24. 周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 【答案】（1）230米 （2）670米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握含30度的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数，是解题的关键． （1）在中，根据，可得，即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形，结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 故的长为230米； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故黄老师从山脚A点到达山顶点的路程约为670米． 25. 盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： （1）图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（ ） A．整体思想 B．类比思想 C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ （2）将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 【答案】（1）画图见解析； ①3，2，； ②B； ③ （2）右平移2个单位；向上平移1个单位； 【解析】 【分析】（1）先用描点法画出图像，①②根据函数图像的平移规律即可解答；③先求出时的取值，然后结合函数图像即可解答． （2）根据发现的规律填空即可 【小问1详解】 解：列表： 描点、连线画出的图像如图所示： ①将函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位可得， 的对称中心为，向左平移3个单位，再向下平移2个单位，可得对称中心为． 故答案为：3，2， ②上述研究方法用到的数学思想是类比思想， 故答案为B． ③解：当时，有，即； 由图像可得：当时，． 故答案为． 【小问2详解】 函数是由向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对称中心是， 故答案为：右平移2个单位；向上平移1个单位；． 【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数的性质、对称中心、运用函数图像求不等式解集等知识点，正确画出函数的图像是解答本题的关键． 26. 【问题背景】 如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接． 【初步探究】 （1）求证：； （2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比； 【拓展提升】 （3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在正方形中，， ∴． ∵， ∴ （2）； （3）存在，4或10 【解析】 【分析】（1）在和中，易得，，故可得； （2）易得正方形的面积，根据，可得，再求出，，即可求解. （3）分两种情况讨论：和，根据两种情况列出关系式进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形的边长为8， ∴正方形的面积 ， ∴ ∵，点E 是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为． （3）解：存在实数x，使得以点 P、F、E为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图2，连接， 若，则， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴，即． 如图3，连接． 若，则，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点F为的中点 ∴， ∴． ∵，即 ， ∴， ∴，即． 综上所述，满足条件的x的值为4或10． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中宁县2025-2026学年第一学期九年级数学学科试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分）． 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，为边的中点，连接，交于点，若的面积为2，则的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 6. 2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 已知：，则的值是___________． 10. 如图，菱形的边长为，，，则菱形的面积为______． 11. 已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为______． 12. 如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为_____． 13. 若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 14. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 15. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米． 16. 如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 三、解答题 17. （1）解方程： （2）计算． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 19. 某校举行“春天诵诗”比赛，将参赛选手的成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）求B等级选手的人数为 ，m的值为 ； （2）学校从成绩为A等级的学生中选2人去参加县里比赛．已知A等级学生中有2名男生1名女生，请用列表法或画树状图求出所选2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，现利用一面长度为的墙围，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门． （1）设米，则___________米． （2）间能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 22. 如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． （3）请直接写出时的取值范围． 24. 周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 25. 盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： （1）图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（ ） A．整体思想 B．类比思想 C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ （2）将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 26. 【问题背景】 如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接． 【初步探究】 （1）求证：； （2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比； 【拓展提升】 （3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $