第3章勾股定理 期末综合复习训练题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册《第3章勾股定理》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．7，8，9 B．8，15，17 C．1，1，2 D．0.3，0.4，0.5 2．如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 4．如图，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处．已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 7．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 二、填空题 8．在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，则△ABC的面积是 ． 9．如图，在中，是角平分线，，，则的长是 ． 10．如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是 ． 11．如图，点是平分线上一点，交边于点，过点作交边于点，若，，则的值为 ． 12．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为 ． 13．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为 ． 14．如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 三、解答题 15．我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈尺，1米尺） 16．如图，在中，，，点D在边上，，，垂足为，与交于点． (1)求的长； (2)求的长． 17．在陕西周至的国家级自然保护区中，调皮可爱的猴子随处可见．如图，有两只猴子爬到一棵树上的点B处（），且，突然发现远方A处有好吃的食物，其中一只猴子沿下到C处，再沿走到离树处的A处（即），另一只猴子沿先爬到树顶D处后再沿缆绳（绷直）线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，若设为，则这棵树高有多少米？ 18．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 19．在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)若（如图①），求的长； (2)过点M作与边交于点E（如图②），试探究：线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 20．工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． (1)求处离地面的垂直高度； (2)在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理的计算，理解勾股数，掌握勾股定理是关键． 勾股数是三个正整数，且满足勾股定理 （其中 为最大数）． 【详解】解：∵ 选项A：，，， ∴ 不是勾股数； ∵ 选项B：，，， ∴ 是勾股数； ∵ 选项C：，，，且不是正整数组成的直角三角形， ∴ 不是勾股数； ∵ 选项D：0.3、0.4、0.5 不是正整数， ∴ 不是勾股数； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，先结合网格以及勾股定理得，则，故，又因为，所以运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：观察网格，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求得，进而可得，根据正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 依题意， ∴ ∴正方形的面积为， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．由题意可得，由折叠的性质可知，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， 由折叠的性质可知，，， ， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键． 通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离． 【详解】初始状态：设墙高为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． 移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 m， 设新梯脚离墙距离为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． ∴ 梯脚移动距离为m． 6．D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 7．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 8． 【分析】先判断△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵32+42=52 ∴ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积是：． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 9． 【分析】本题考查的知识点是三线合一、勾股定理，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 由三线合一可得且是中线，再结合勾股定理即可得解． 【详解】解：，是角平分线， 且是中线， 即， 中，， ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 11．18 【分析】过点作于点，先证明，推出，，接着利用勾股定理求得，接着利用平行和角平分线，证明，从而得到的长度，最后得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵点是平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．3 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点离地面的高度的值为 3 米， 故答案为：3． 13．或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，解题的关键是掌握对称的性质．过点作于点，延长交于点，则，，由折叠可得，，，则当为直角三角形时，只能，此时，分两种情况：当点在下方时，当点在上方时，根据等腰直角三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ，， ， ， 由折叠可得，，， 则当为直角三角形时，只能， ， 当点在下方时， ，， ， ， ， ； 当点在上方时， ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 14． 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 15．水池深12尺，芦苇长13尺 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中的直角三角形，设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，由题意得： ， 解得：， ∴芦苇的长度为（尺）， 答：水池深12尺，芦苇长13尺． 16．(1)4 (2)5 【分析】本题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先由勾股定理计算得出，再由，，计算即可得出答案； （2）连接，证明得到，，设，则，由勾股定理可得：，即，求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ． 17．这棵树高有6米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵两只猴子所经过的路程相等 ∴， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 18．(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 19．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键在于正确作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质． （1）连接，求出，设，则.再根据勾股定理求解即可． （2）延长到F，使得，连接．证明，再根据勾股定理求解即可判断三者关系． 【详解】（1）解：连接， ∵，且点M为边的中点， ∴是线段的垂直平分线． ∴． 设，则， 在中，， ． 解得：，即 ． ． （2）解：，理由如下： 如图②延长到F，使得，连接． ∵点M为的中点， ∴， 在和中． ∴ ∴． ∴． ∵ ． ∴． 在中，∵， ∴． 在中，． ∴． 20．(1)米 (2)不能够到维修点正上方0.5米处的维修点，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理解，即可求解； （2）连接，勾股定理求得，而，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 依题意，，，， 在中，， ∴（米） （2）解：如图，连接， 依题意，， 在中，． ∵，． ∴不能够到维修点正上方0.5米处的维修点． 学科网（北京）股份有限公司 $