第3章勾股定理 期末综合复习训练题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

专题03 勾股定理(复习) 高级教师谈总结，用最少的时间学会勾股定理 初中的勾股定理的应用分3类： 1. 能用的前提：一边和一角，两边也正好（能用勾股定理），已知一边另外两边有关系 2. 三边都有（三角形的三边都给了）验证勾股定理，解三角形 3. 斜边高线面积法（直角三角形斜边的高线可应用面积法来求） 下面利用例题分别讲解 （一）1.一边和一角（在直角三角形中一直一条边和一个特殊角） 如图，在中，，若∠A等于60度，，则AC的长是（    ） 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握在直角三角形中，可知∠B是30°所以AC长等于6.5 2.两边也正好：（在直角三角形中已知两条边正好能用勾股定理） 如图，在中，，若BC=12，，则AC的长是（    ） A．18 B． C．5 D．8 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 故选：C． 练习：1. 若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边的长为______． 3.已知一边另外两边有关系（在直角三角形中已知一条条边长，其余两边有关系，例如两边之和或差等） 如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 【分析】在直角三角形ACD中，已知CD=10 ，另外两边有关系（和是50）设AD= x ,则AC=50-x 利用勾股定理列方程，求得AD ，在三角形ABD中利用勾股定理求AB 练习： 如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线折叠，使边落在斜边上，点C的对应点为点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 如图，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处．已知，则的长为（   ） A． B． C． 如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． （二） 三边都有验证勾股定理，解三角形 某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积．和BD上的高 【分析】 连接后，根据勾股定理能求出BD的长，这样在三角形BDC中，三条边就都给出了，那就验证是否为直角三角形 练习：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积 一个零件的平面图如图所示：其中∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝3，AC＝5，CD＝12．则四边形ABCD的周长为　 　 ． （三）斜边高线面积法 为了缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库．如图，某建筑公司提供了该地下停车库入口的设计示意图，按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便停车人判断车辆能否安全驶入．为了标明限高，请你根据图中数据计算的长． 【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用面积法：AB x BC = AC xBE 练习．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，点C到AB的距离是 如图，四边形中，，，，，，求四边形 BC上的高 课后练习： 1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 2．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4（江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 5．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 6．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 7．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 8．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 10．如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 11．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 14．（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．1，2，5 C．，， D．30，40，50 ． 15．）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 16．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______． 17．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 学科网（北京）股份有限公司 $