精品解析：山东省潍坊市高密市2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学阶段性检测试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单项选择题（每小题3分，共39分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 无理数就是开方开不尽的数 C. 互为相反数的立方根还是互为相反数 D. 实数包括有理数、无理数和零 2. 在下列各数中是无理数的个数有（ ） ，0，，，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列各式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，象棋盘上，若“马”位于点(6，1)，则“将”位于（ ） A. (3，－2) B. (2，－2) C. (0，－1) D. (－3，0) 6. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（ ） A. 学校在小明家南偏东的方向上，距学校； B. 学校在小明家北偏东的方向上，距学校； C. 小明家在学校南偏西的方向上，距学校； D. 小明家在学校北偏东的方向上，距学校． 8. 已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（    ）折． A. B. C. D. 10. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作．如果该程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论并得到以下结论，其中不正确的是（ ） A. 若，则不等式组无解 B. 若不等式组有解，则a的取值范围是 C. 若不等式组无解，则a的取值范围为 D. 若不等式组有且只有两个整数解，则 13. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A2022的坐标为( ) A. （1011，0） B. （1011，1） C. （2022，0） D. （2022，1） 二、填空题（每小题3分，共15分） 14. 若点在第二象限，则m的取值范围是______． 15. 如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是______． 16. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 17. 如图，平面直角坐标系中，点A在x轴上，若是等边三角形，，则点B的坐标是______． 18. 学生若干人，住若干房间，若每间住4人，则剩19人没处住，若每间住6人，则有一间不满也不空，则共有________个房间，有________人． 三、解答题（共66分） 19. 解不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形． （2）已知P为x轴上一点，若的面积为3，求P的坐标． （3）D是x轴上任一点，使是等腰三角形，直接写出D点坐标． 21. 一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． （1）若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； （2）C岛在A港的什么方向？ 22. 某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年暑假七、八月份销售情况如下表所示：（两种运动器材的单价保持不变） 月份 销售数量（副） 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 七月 40 20 3200 八月 20 40 2800 （1）求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； （2）某学校为推进阳光体育大课间活动，计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款运动器材共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍的，问学校有哪些购买方案． 23. 如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． （1）若，求的长； （2）求的度数． 24. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为不等式组的关联方程.例如：方程的解为,不等式组的解集为,因为,所以，称方程为不等式组的关联方程.若关于的不等式组有与两个关联方程，求的取值范围. 25. 在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标． 26. 阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； 探索研究： （2）小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； 问题解决： （3）如图2，若，，此时空白部分的面积为__________； （4）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性检测试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单项选择题（每小题3分，共39分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 无理数就是开方开不尽的数 C. 互为相反数的立方根还是互为相反数 D. 实数包括有理数、无理数和零 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根、无理数、立方根和实数的概念，需逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A项：，4的平方根是，而非，故A错误； B项：无理数是无限不循环小数，开方开不尽的数只是无理数的一部分（如π是无理数但不是开方所得），故B错误； C项：设a为实数，则是a的相反数，，即它们的立方根互为相反数，故C正确； D项：实数包括有理数和无理数，零是有理数的一部分，故D错误． 故选：C． 2. 在下列各数中是无理数的个数有（ ） ，0，，，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：， ∴无理数有，，，（相邻两个1之间依次多一个0），共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 3. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，根据直角三角形的判定条件，分别验证每个选项是否满足直角三角形条件． 【详解】解：在中，， A项：∵，， ∴， ∴， ∴，故是直角三角形； B项：设，，，则， ∴， ∴，，，均不为，故不是直角三角形； C项：∵，由勾股定理逆定理，，故是直角三角形； D项：设，，，则，， ∴，故，是直角三角形， 故选：B． 4. 已知，下列各式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：、不等式两边都加上，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意； B、不等式两边都乘，不等号的方向改变，即，不等式两边都加上，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意； C、当时，不成立，原变形错误，故此选项不符合题意； D、当时，不成立，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，象棋盘上，若“马”位于点(6，1)，则“将”位于（ ） A. (3，－2) B. (2，－2) C. (0，－1) D. (－3，0) 【答案】A 【解析】 【分析】根据“马”的位置确定x轴、y轴及原点位置确立平面直角坐标系，再确定“将”的坐标． 【详解】由“马”位于点(6，1)，知y轴为从左往右数的第二条竖直直线，且向上为正方向，x轴是从上往下数第三条水平直线，这两条直线交点为坐标原点， 如图所示，则“将”的位置为（3，﹣2）， 故选A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的位置的确定，根据题中的已知条件，确定坐标轴位置及原点是解决本题的关键． 6. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理，得出规律是解题的关键．由勾股定理得，再由图1可知，“生长”1次后，所有正方形的面积和为，由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为，得出规律，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， …… ∴在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是：． 故选：A． 7. 如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（ ） A. 学校在小明家南偏东的方向上，距学校； B. 学校在小明家北偏东的方向上，距学校； C. 小明家在学校南偏西的方向上，距学校； D. 小明家在学校北偏东的方向上，距学校． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方向角与距离表示位置，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：小明家与学校的相对位置描述正确的是：学校在小明家南偏东的方向上，距学校； 或小明家在学校北偏西的方向上，距学校． ∴B，C，D不符合题意，A符合题意 故选：A 8. 已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，由于线段平行于y轴，点A和点B的横坐标相同，均为2，根据线段长度，可确定点B的纵坐标为，从而得到点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两个点的横坐标相同，都是2， ∵，点A的坐标为， ∴点B的纵坐标为：， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 9. 某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（    ）折． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设至多打折，用标价折扣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解． 【详解】解：设至多打折， 由题意得，， 解得：． 答：至多打折． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解． 10. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小． 【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， 等腰三角形的顶角度数为或， 故选：C． 11. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作．如果该程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 12. 某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论并得到以下结论，其中不正确的是（ ） A. 若，则不等式组无解 B. 若不等式组有解，则a的取值范围是 C. 若不等式组无解，则a的取值范围为 D. 若不等式组有且只有两个整数解，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知不等式组解的情况求值或参数范围，根据不等式组的解集条件判断各选项，有解需，无解需，两个整数解需． 【详解】解：∵ 不等式组为， A项：若，则且，无解，故A正确； B项：不等式组有解时，需，但B中包括（无解），故B错误； C项：不等式组无解时，，故C正确； D项：有且只有两个整数解时，整数解为3和4，需，故D正确， 故选：B． ∴ 不正确的是B. 13. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A2022的坐标为( ) A. （1011，0） B. （1011，1） C. （2022，0） D. （2022，1） 【答案】B 【解析】 【分析】一动点在平面直角坐标系中按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，只要求出前几个坐标，然后根据坐标找规律即可得出A2022的坐标． 【详解】解：根据题意和图的坐标可知：每次都移动一个单位长度，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，，，，(2，1)，A6(3，1)，A7(3，0)， 坐标变换的规律：每移动4次，前两次移动后它的纵坐标都为1，后两次移动的纵坐标为0，而横坐标向右移动了2个单位长度，也就是移动次数的一半； ∴2022÷4=505余2， ∴纵坐标是的纵坐标为1，横坐标是2×505+1=1011， ∴点A2022坐标为(1011，1)， 故选：B. 【点睛】本题是规律型题目，点的坐标规律，依次求出各点的坐标，从中找到规律是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 14. 若点在第二象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 15. 如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：设点对应的实数为， ∵在数轴上，点，点分别表示实数，2， ∴， ∵，， ∴， 由作图可知，， 又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴， ∴， ∴， 即点对应的实数为， 故答案为：． 16. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 【答案】12尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理列出方程求解x即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴尺， 故答案为：12尺． 17. 如图，平面直角坐标系中，点A在x轴上，若是等边三角形，，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的特征及解含的直角三角形，根据等边三角形的性质得出，，再过点B作交于点C，在中，得出，利用勾股定理得出的长，进而求得点B坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，过点B作交于点C， 在中，， 由勾股定理得，， ∴，， ∴点B坐标为， 故答案为：． 18. 学生若干人，住若干房间，若每间住4人，则剩19人没处住，若每间住6人，则有一间不满也不空，则共有________个房间，有________人． 【答案】 ①. 10或11或12 ②. 59或63或67 【解析】 【分析】设有学生人，房间间．由题意得：，求解即可． 【详解】解：设有学生人，房间间． 由每间住4人，则剩19人没处住得：， 由每间住6人，则有一间不满也不空得： ， 将代入上式得： ， ， ． 故、11、12． 则、63、67， 即共有10或11或12个房间，有59或63或67人， 故答案为：10或11或12；59或63或67． 【点睛】本题考查一元一次不等式组在实际生活中的运用．解此类不等式时常常要先对原式进行配方再计算． 三、解答题（共66分） 19. 解不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）， 数轴表示如下： （2）， 数轴表示如下： 整数解为 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式和不等式组的解集，求不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形． （2）已知P为x轴上一点，若的面积为3，求P的坐标． （3）D是x轴上任一点，使是等腰三角形，直接写出D点坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2）或 （3）点D坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，并依次连接即可； （2）设，构建方程求解即可； （3）画出图象，分情况讨论：，和时，设，构建方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点， 由题意得，， ∴或， ∴或． 【小问3详解】 解：由图象可知，， 要使为等腰三角形，分情况讨论： ①如图，当时， 设， ∴， ∴或， ∴或； ②如图，当时， 由图象可知，点坐标为， ③如图，当时， ∴， 由勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 综上所述，点D坐标为或或或． 21. 一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． （1）若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； （2）C岛在A港的什么方向？ 【答案】（1） （2）北偏西 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 22. 某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年暑假七、八月份销售情况如下表所示：（两种运动器材的单价保持不变） 月份 销售数量（副） 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 七月 40 20 3200 八月 20 40 2800 （1）求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； （2）某学校为推进阳光体育大课间活动，计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款运动器材共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍的，问学校有哪些购买方案． 【答案】（1）羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元 （2）有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进羽毛球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元： ， ， 答：羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元； 【小问2详解】 解：设购进羽毛球拍的数量为副， 则， ，为正整数， 可取36，37，38，39，40， 共有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 23. 如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． （1）若，求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 24. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为不等式组的关联方程.例如：方程的解为,不等式组的解集为,因为,所以，称方程为不等式组的关联方程.若关于的不等式组有与两个关联方程，求的取值范围. 【答案】. 【解析】 【分析】解不等式组得出m＜x≤m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为， 方程的解为， 方程的解为， 所以取值范围是. 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元一次不等式组和一元一次方程的能力，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力． 25. 在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标． 【答案】（-3，-10） 【解析】 【分析】由折叠的性质可求得CE，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标． 【详解】∵矩形中，，， ∴， ∵将沿直线折叠， ∴， 在Rt△COE中 ∴ 设AD=m，则DE=BD=8-m， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2， 即，解得m=3， ∴D（-3，-10）． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，设未知数利用勾股定理列方程是解题的关键，还考查了直角坐标系中各象限中点的特点． 26. 阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； 探索研究： （2）小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； 问题解决： （3）如图2，若，，此时空白部分的面积为__________； （4）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【答案】（1） 证明：由图可知，每个直角三角形的面积为， 空白小正方形的面积为， 整个围成的大正方形的面积为， ∵，即， 故； （2） 如下图所示，连接大正方形一条对角线DE 可知 ， 其中，，，， 代入可得，， 即； （3）52； （4）24． 【解析】 【分析】（1）运用等面积法计算即可； （2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法化简计算即可； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可； （4）将风车周长表示出来，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理求解出b，最后计算面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图2可知，， ∵，， ∴， 则=100， ∴， 故空白部分的面积为52； 【小问4详解】 由题意可知，风车的周长为 ， 其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b， 且，即，将c=9-b代入得， ，解得b=4， 则． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $