精品解析：江苏省盐城市亭湖区二联盟2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期作业检查 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误； B、，故该选项是错误的； C、，，不是正整数，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的． 故选：D． 2. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的定义，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的定义“有个角是直角的三角形”，勾股定理逆定理“三角形中，两边的平方和等于较长边的平方”进行判定即可求解． 【详解】解：A、， ∵， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； B、， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； C、， 设， ∴， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； D、， ∵， ∴， ∴， ∴，该三角形是不是直角三角形，符合题意； 故选：D ． 4. 在中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：， 无理数有：，有3个， 故选：B． 5. 一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ） A. 4与5之间 B. 5与6之间 C. 6与7之间 D. 7与8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根，先根据正方形面积计算公式求出正方形边长，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积是31， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， 故选；B． 6. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．根据关于x轴对称的两个点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的对称点为． 故选：D． 7. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【详解】解：A、，未知数最高次不是1次，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意； B、没有未知数，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意； C、不符合题意一次函数的解析式形式，一次函数解析式右边应为整式，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意． 故选：D． 8. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】要对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段上移动；②当点P在线段上移动；③当点P在线段上移动；④当点P在线段上移动；探讨得出规律即可． 【详解】①当点P在线段上移动， 即时，； ②当点P在线段上移动， 即时，； ③当点P在线段上移动， 即时，； ④当点P在线段上移动， 即时，， 点P的运动轨迹以16为单位循环， 当时，， 此时， 故答案为：B． 【点睛】本题考查动点函数问题，分段函数的应用，函数的解析式的求法以及动点的运动规律，分类探讨是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，，只需补充一个条件 __________，就可以得到． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，，，据此结合全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加，证明如下： 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2或腰长为4两种情况． 【详解】解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 11. 如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【详解】解：由题意知，“路”长（米）， 则少走了：（米）； 故答案为：4． 12. 计算 的结果为__________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6． 13. 已知过点，两点的直线平行于x轴，则a的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查坐标与图形的性质，根据两点所在直线平行于x轴，那么这两点的纵坐标相等解答即可． 【详解】解：∵过点，两点的直线平行于x轴， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数______． 【答案】135° 【解析】 【分析】由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BCA=45°，而CD=，AD=5，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠ACD=90°，从而易求∠BCD． 【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=3， ∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°， 又∵CD=，DA=5， ∴AC2+CD2=18+7=25，AD2=25， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+90°=135°． 故答案为：135°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ACD是直角三角形． 15. 如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有__________个． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，分，，三种情况解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 当时，点P应在线段垂直平分线与的交点处； 当时，以点B为圆心，以为半径画弧，交射线于点，交直线于点，符合题意的点有3处； 当时，以点A为圆心，以为半径画弧，交射线于点，此时符合题意的点有1处． 故答案为：5． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的好点，已知点的好点为，的好点为，的好点为，以此类推得、、，当的坐标为时，点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，理解新定义并求出每个点为一个循环是解题的关键 根据好点的定义依次求出，，，，的坐标，可得每个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为，，，，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，的坐标为，即， 同理可得， ， ， ， …… 以此类推，可知每个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为，，，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查利用立方根解方程、平方根解方程等知识点，根据立方根、平方根的定义是解题的关键． （1）先移项，然后利用立方根解方程即可解答； （2）先利用平方根求得，然后再求的x的值即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解： ， 或， ，． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算； （1）根据算术平方根和立方根的定义化简各个式子，再计算即可； （2）根据零指数幂和算术平方根化简后再计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 如图，，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． 先用证明可得，再根据等角对等边即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接 ∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，平分，，，求的面积？ 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，由角平分线上的点到角两边距离相等得到，是解题的关键． 根据题意，作于点，由角平分线的性质可得，再根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：过点D作于点，如图， ∵，平分，， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． （1）在图中画出关于轴对称的图形，点的对应点分别为点，并写出点的坐标． （2）在y轴上画点P，使最小，并写出点P的坐标． 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析； 【解析】 【分析】（1）作出点关于y轴的对称点，然后顺次连接即可得出，根据图象得出点D的坐标即可； （2）连接交y轴于一点，该点即为点P，连接，根据轴对称得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为：，把代入得：，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解： 即为所求作的三角形，如图所示： 点关于y轴的对称点为； 【小问2详解】 解：连接交y轴于一点，该点即为点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与y轴的交点坐标，轴对称坐标，关于y轴对称点的坐标特点，解题的关键是数形结合，熟练掌握轴对称的性质． 22. 如图是单位长度为1的正方形网格． （1）在图1中画出一条长度为的线段； （2）在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解； （2）根据勾股定理及其逆定理求解． 【小问1详解】 如图：根据勾股定理． 故即所求； 【小问2详解】 如图：根据勾股定理得：，， ， 故直角三角形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理和逆定理，掌握网格结构特点和勾股定理是解题的关键． 23. 如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， , 在中，， ， 即, , 的面积为, 的面积为, 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 24. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）设点在这个函数的图像上，求m的值． （3）试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）可设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）根据一次函数图象上定的坐标特征进行判断即可． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，可设， ∵当时，， ∴ 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 将点代入得： ， 解得：； 【小问3详解】 不在； 当时，， ∴点不在此函数的图象上． 25. 如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由函数图像上的坐标特征可确定点的坐标，再根据点的坐标即可确定直线的函数表达式； （2）设，由轴得，，再结合点在点右侧则可得出答案； （3）由题意可得是直角三角形需分两种情况讨论：①，则此时点；②，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 在中，令，得， ∴， ∵， ∴， 设， ∵轴，点在直线上，， ∴， ∴， 解得：或， ∵点在点右侧 ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在，理由如下： 设点， ∵，， ∴，，， ∵是直角三角形， ①，则，； ②，则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合应用，考查了坐标与图形，函数图像上点的坐标特征，函数图像的交点坐标，勾股定理的应用，待定系数法，掌握一次函数的性质是解题的关键． 26. 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）． 【初步探究】 （1）写出点B的坐标 ； （2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点P在第四象限时，连接． ①求证：； ②写出与位置关系并证明． 【深入探究】 （3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究当点P运动到与点O距离最小时，求线段所在直线的函数表达式． 【拓展延伸】 （4）点C在x轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 【答案】（1）；（2）①见解析；②垂直，见解析；（3）；（4）或或或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，，题干中已知A点坐标，即可求得的长度，表示出B点坐标即可； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，再根据等角的余角相等，得出角，最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可； ②根据①中，得出，即可判断； （3）根据（2）的结论，得出当点P在x轴时，P到O的距离最小，此时，然后根据待定系数法求解即可； （4）先根据题意，确定B点、A点坐标，设出P点和C点坐标，分情况进行讨论，当时，当时，当时，分别利用两点间距离公式求出点P点的坐标，然后分别算出的长，最后利用计算出C点坐标即可． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴B点坐标为； （2）①证明：在等腰直角三角形中，，，在等腰直角三角形中，，， ， ， ， 在和中， ， ； ②， 理由：由①知：， ， ； （3）， P点在过B点且垂直与的垂线上， 当点P在x轴时，P到O的距离最小， ∵点B的坐标为， ∴P到O的距离最小时，点P的坐标为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； （4）由题意和（1）可知， 设，， ∴， ， ， 当时，， ∴， 解得∶（舍去）或， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴； 当时，， ， 解得：或， ∴此时点P的坐标为或， ∵ ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点坐标为， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全的判定方法，计算两点间距离，动点问题，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，能够得到相等的线段和角，动点问题要注意分类进行讨论，根据情况确定答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期作业检查 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. ，， D. 5，12，13 2. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A B. ，， C D. 4. 在中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ） A. 4与5之间 B. 5与6之间 C. 6与7之间 D. 7与8之间 6. 点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，，只需补充一个条件 __________，就可以得到． 10. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 11. 如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米． 12. 计算 的结果为__________________． 13. 已知过点，两点的直线平行于x轴，则a的值为_____． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数______． 15. 如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有__________个． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的好点，已知点的好点为，的好点为，的好点为，以此类推得、、，当的坐标为时，点的坐标为__________． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，，相交于点O，，．求证：． 20. 如图，在中，，平分，，，求的面积？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． （1）在图中画出关于轴对称的图形，点的对应点分别为点，并写出点的坐标． （2）在y轴上画点P，使最小，并写出点P的坐标． 22. 如图是单位长度为1的正方形网格． （1）在图1中画出一条长度为的线段； （2）在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形． 23. 如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 24. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）设点在这个函数的图像上，求m的值． （3）试判断点否在此函数图像上，说明理由． 25. 如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）． 【初步探究】 （1）写出点B的坐标 ； （2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点P在第四象限时，连接． ①求证：； ②写出与的位置关系并证明． 深入探究】 （3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究当点P运动到与点O距离最小时，求线段所在直线的函数表达式． 【拓展延伸】 （4）点C在x轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $