2024年上海市华东师范大学第二附属中学自主招生数学试题

2024年上海市华东师大二附中自主招生数学试卷 一、填空题 1. a，b为不相等的实数，满足，且，求的值． 2. 如图，有一系列正方形，则的坐标为_______． 3. 有个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有_______________个． 4. 对一切实数k，有成立，求k的最大值． 5. 二次函数与x轴的交点为A，B，已知A，B到原点的距离均小于1，且a，b，c为正整数，求的最小值． 6. 一个边形的一个外角为，与这个外角不相邻的所有内角和为，则与的关系是什么？ 7. 已知，无论t取任何实数，均满足，求的形状． 8. 如图，矩形中，，点E为上一点，且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的长为______． 二、解答题 9. 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF； (3)若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长． 11. 已知n、k为正整数，且满足． （1）对于所有满足条件的n、k，求的最大值； （2）若n满足：恰有r个k使不等式（*）成立，则称n为“r阶好数”，所有“r阶好数”的个数记为，求函数的解析式． 2024年上海市华东师大二附中自主招生数学试卷 一、填空题 【1题答案】 【答案】4 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】或 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】11 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】直角三角形 【8题答案】 【答案】## 二、解答题 【9题答案】 【答案】（1）①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 （2） 【10题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接OE． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）证明：如图，连接DE． ∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC=EH． ∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE与△HFE中， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF． （3） 【11题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $