精品解析：吉林省吉林市第七中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学期末试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．利用轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用合并同类项，同底数幂除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、 ，该选项错误，不符合题意； D、 ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：B． 4. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3． 中，，，， ， 的最大值为6， ∴的长可能是， 故选：B． 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A．中，分子和分母有公因数5，不是最简分式，故本选项不符合题意； B．中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； C．中，分子和分母有公因数式，不是最简分式，故本选项不符合题意； D．中，分子和分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查的是最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解题关键． 6. 如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都不对 D. 甲、乙都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作一个角与已知角相等，作三角形的高，熟练掌握作图方法是解题关键； 分析两个作图方法，然后判断即可． 【详解】解：甲的作法：由作图痕迹可知， ， ， ， 即是上的高， 乙的作法由作图痕迹即为的高， 故两名同学作法都对； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点关于x轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 8. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式分解因式得出即可． 【详解】解：． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 9. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个， 所以0.000000007=7×10-9． 故答案为：7×10-9． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得． 【详解】解：平分，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则和的数量关系是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，三角形外角的基本性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先证得，进而可得，再利用三角形的外角进行计算即可． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算乘方，零次幂和负指数次幂，再计算加减即可． 详解】解：原式 ． 13. 计算: ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先利用平方差公式去小括号，然后计算括号内，最后计算整式的除法即可． 【详解】解：原式  ． 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， ， ， 当时，， ∴原方程的解为． 15. 如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． （1）你选的条件为______（只填写一个序号）； （2）添加条件后，证明． 【答案】（1）①（①或②都可以） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到；添加②，由两个三角形全等的判定定理得到. （2）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【小问1详解】 解：添加①或②都可以 【小问2详解】 证明：若添加①， ， ， 在与中， ， ， ； 若添加②， ， ， 在与中， ， ， ． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均在格点上，画出一条过点A的直线将分成面积相等的两部分； （2）在图②中，的顶点均在格点上，是的角平分线，画出的平分线； （3）在图③中，的顶点均在格点上，画出， 使点F为格点，且与全等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查格点作图，三线合一和全等三角形； （1）找到的中点，连接，即为所求； （2）连接点与的中点，与交于点，连接，即为所求； （3）找点，使且，即为所求； 【小问1详解】 解：利用格点性质找到的中点，连接，即为所求，作图如下： ∵为中点， ∴的面积与的面积相等， ∴即为所求． 【小问2详解】 解：连接点与的中点，与交于点，连接，即为所求，作图如下： ∵由格点性质可知， ∴连接点与的中点，根据三线合一，这条线也是的角平分线， ∵三角形的角平分线交于一点， ∴交点为角平分线的交点， ∴为的角平分线． 【小问3详解】 解：找点，使且，即为所求，作图如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 17. 先化简，再求值： ，并从，，中选一个合适的数作为a的值，并代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键； 先对分式进行化简，然后代数求解即可，注意取值时要使分母和除数有意义． 【详解】解：原式  ， 当时，，分式无意义， 当时，，分式无意义， ∴当时，原式 ． 18. 如图:已知中，边的垂直平分线分别交，边于点E，D，且． （1）求证：是等边三角形； （2）点F在射线上，连接，当为等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线基本性质，等边三角形的证明，等腰三角形的证明及性质，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）根据垂直平分线基本性质可知，再通过邻补角性质可知，进而可证得是等边三角形； （2）分三种情况讨论计算，当在线段上，且时；当在的延长线上，且时；当在的延长线上，且时；分别计算即可． 【小问1详解】 证明：∵为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 解：如图， ∵等边三角形，为的垂直平分线， ∴， 当在线段上，且时，为等腰三角形， ∴； 当在的延长线上，且时，为等腰三角形， ∴； 当在的延长线上，且时，为等腰三角形， ∴， ∴， 故的度数可以为：，，． 故答案为：，，． 19. 通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）观察图①，请写出之间的等量关系是 ； （2）若，则的值为 ； （3）如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； （4）若，写出值为 ． 【答案】（1） （2）22 （3）6 （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的应用，观察图形，正确表示出图形的面积是解题关键． （1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，表示出正方形的面积，正方形的面积，的面积，再利用（1）中的等式进行计算即可； （4）设，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积和正方形的面积为， ∴的面积为：，故， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问4详解】 解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 为了美化小区生活环境，物业部门准备开展植树活动． 现有甲、乙两个植树队，甲队每天植树棵，乙队比甲队每天多植树20棵． （1）若甲队植树1000棵与乙队植树1200棵所用的时间相等，求x的值； （2）现让甲队完成植树160棵的任务，乙队完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲、乙两队完成各自的任务所需要的天数 ； ②通过计算说明哪队完成任务所需时间更少． 【答案】（1） （2）①；②甲队完成任务所需时间更少，计算见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）乙队每天植树棵，根据甲队植树1000棵与乙队植树1200棵所用的时间相等建立方程求解即可； （2）①用任务总量除以每天植树的数量即可得到答案；②根据（2）①所求，利用作差法求出两队所需时间的差值，判断出结果的符号即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 【小问2详解】 解：①由题意得，甲完成任务所需要的天数为，乙完成任务所需要的天数为； ② ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴甲队完成任务所需时间更少． 21. 【操作判断】如图①，在中，，，直线经过点A．且直线于点D，直线于点E，请直接写出 ； 【变式迁移】如图②，将图①中的条件“点B，C在直线m的同侧”改为“点B，C在直线m的异侧”，其余条件不变，请直接写出 ； 如图③，将图①中的条件“，且直线于点D，直线于点E”改为“（其中为任意锐角或钝角）”，其余条件不变，图①中的结论是否成立，请说明理由； 【应用拓展】在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点A的坐标是，直角顶点B在x轴上． (1)如图④，若点B的坐标为，请直接写出点C的坐标是 ； (2)如图⑤，若点B在x轴负半轴上，过点B在第三象限作，且，连接交x轴于点M，当点B在x轴负半轴运动时，的长度是定值，请求出的长度． 【答案】【操作判断】；【变式迁移】 ，图①中的结论成立，理由见解析；【应用拓展】（1），（2） 【解析】 【分析】【操作判断】先证明，再利用即可得到； 【变式迁移】仿照【操作判断】的方法证明即可； 【应用拓展】（1）过点C作轴于H，证明，得出，，求出，即可得出答案； （2）过点C作轴于P，证明，得出，，证明，得出． 【详解】解：【操作判断】直线，直线， ． ， ， ， ． 在和中， ， 故答案为：； 【变式迁移】如图②， ， 直线l， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； 如图③，图①中的结论成立，理由如下： ， ． 在和中， ； 【应用拓展】（1）如图，过点C作轴于H， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，过点C作轴于P， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，且 ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 22. 如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． （1）直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； （2）当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； （3）连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； （4）当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【答案】（1），， （2）存在， （3）当运动时间为秒时直线平分四边形的面积 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转、轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的定义等知识． （1）根据旋转、轴对称的性质求解即可； （2）已知，，要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，只需，列出方程求解即可； （3）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论，用含的方程表示出左侧梯形的面积，解方程即可； （4）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论：当点在上运动时，是以为底的等腰三角形；当点在边上运动时，只可能是以为底的等腰三角形，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵绕斜边的中点旋转得到， ∴， ∴，，． 又∵沿翻折得到， ∴，且共线， ∴． 当点在边上运动时， ∵，，∴. 当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒， ∴． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：当在边上运动时，，，. ∵，， ∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 只需，即，解得； 【小问3详解】 解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易得四边形的面积为， ∴当直线平分四边形的面积时， 四边形的面积为，即，解得=； 如图，当点在边上运动时，，，， ∴， 四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)． 综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积； 【小问4详解】 解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形； 当点在边上运动时，∵，， ∴△只可能是以为底的等腰三角形，． 如图，连接，过点作，则，， 在和中，， ∴， ∴，即，解得． 综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都不对 D. 甲、乙都对 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点关于x轴对称的点的坐标为____________． 8. 分解因式：_____． 9. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 10. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______． 11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则和的数量关系是 __________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 计算: ． 14. 解方程：． 15. 如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． （1）你选的条件为______（只填写一个序号）； （2）添加条件后，证明． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均在格点上，画出一条过点A的直线将分成面积相等的两部分； （2）在图②中，的顶点均在格点上，是的角平分线，画出的平分线； （3）在图③中，顶点均在格点上，画出， 使点F为格点，且与全等． 17. 先化简，再求值： ，并从，，中选一个合适的数作为a的值，并代入求值． 18. 如图:已知中，边垂直平分线分别交，边于点E，D，且． （1）求证：是等边三角形； （2）点F在射线上，连接，当为等腰三角形时，的度数是 ． 19. 通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）观察图①，请写出之间的等量关系是 ； （2）若，则的值为 ； （3）如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； （4）若，写出的值为 ． 20. 为了美化小区生活环境，物业部门准备开展植树活动． 现有甲、乙两个植树队，甲队每天植树棵，乙队比甲队每天多植树20棵． （1）若甲队植树1000棵与乙队植树1200棵所用时间相等，求x的值； （2）现让甲队完成植树160棵的任务，乙队完成植树200棵的任务． ①直接用含x式子分别表示甲、乙两队完成各自的任务所需要的天数 ； ②通过计算说明哪队完成任务所需时间更少． 21. 【操作判断】如图①，在中，，，直线经过点A．且直线于点D，直线于点E，请直接写出 ； 【变式迁移】如图②，将图①中的条件“点B，C在直线m的同侧”改为“点B，C在直线m的异侧”，其余条件不变，请直接写出 ； 如图③，将图①中的条件“，且直线于点D，直线于点E”改为“（其中为任意锐角或钝角）”，其余条件不变，图①中的结论是否成立，请说明理由； 【应用拓展】在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点A的坐标是，直角顶点B在x轴上． (1)如图④，若点B的坐标为，请直接写出点C的坐标是 ； (2)如图⑤，若点B在x轴负半轴上，过点B在第三象限作，且，连接交x轴于点M，当点B在x轴负半轴运动时，的长度是定值，请求出的长度． 22. 如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． （1）直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； （2）当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； （3）连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； （4）当满足 条件时，是以为底或以为底等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $