湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一实验班上学期元月月考数学试卷

学科网（北京）股份有限公司 湖北随州曾都一中25级高一实验班26年元月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（    ） A． B． C． D． 7.已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．点为曲线的一个对称中心 C．直线为曲线的一条对称轴 D．函数在区间上单调递减 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 11. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则_____. 13. 若，且，则_____. 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 16. 已知函数，若函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 18.（1）已知,求的值； (2)已知函数，的图象关于轴对称,又角，，锐角满足，求的值. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 湖北随州曾都一中25级高一实验班26年元月月考 数学试卷参考答案 CBCB AACC 9. AC 10. ABD 11. AC 12.8 13. 14.①. ②. 15. 解：（1）由，可得或，即集合或： 由，得或，解得或. （2）易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知 ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知，综上可知 16.解：（i）的图象过点，，解得， 所以．又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，则， ，则， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为2． 由已知，得，所以，即， 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 17.解：（1）由题意，选择模型①，将，分别代入①式可得： ，解得，，所以，也满足该式. 当时，，即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. （2）（i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人），即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 18.解：（1）依题意，解得, 所以 （2）因为，又因为的图象关于轴对称，所以，因为，所以. 则，，所以； 因为，若，则，而，不合题意. 故，则，所以，. 所以， . 19.解：（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得，的取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 第6页/共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $