精品解析：广东省深圳市南方科技大学附属实验学校2025-2026学年上学期九年级期末模拟考试数学试卷

南方科技大学附属实验学校2025-2026学年第一学期期末模拟 九年级数学学科 时间：90分钟 满分：100分 说明：1．全卷分为选择题和非选择题两部分，共2页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填写在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，不准使用涂改液，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．本卷选择题1-8，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡内对应题答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案；非选择题9-20，必须用规定的笔在答题卡非选择答题区内按相应的序号作 第一部分 选择题 一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 2. 下列各选项中，其主视图如图所示的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，分别求出四个选项中的主视图即可得到答案． 【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，因此选项A不符合题意； B、四棱柱的主视图是长方形，且有两条看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项B符合题意； C、四棱柱的主视图是长方形，且有两条能看见的轮廓线用实线表示，因此选项C不符合题意； D、圆柱的主视图是长方形，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 3. 已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出k的值，再分别判断即可． 【详解】∵是反比例函数上一点， ∴； A．，故在上； B． ，故不在上； C． ，故在上； D． ，故在上； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟记是解题的关键． 4. 2020年9月1日，《深圳市生活垃圾分类管理条例》正式实施．滨海学校九（1）班成立了“环保卫士”宣传小组，其中男生2人，女生3人，从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类”，恰好抽到女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵共5人，女生3人， ∴从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类”，恰好抽到女生的概率为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，掌握概率公式是关键． 5. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A. △BFE B. △AFD C. △ACE D. △BAE 【答案】D 【解析】 【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D． 【详解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵∠EBF=∠DBC ∴△BFE∽△BCD，故选项A正确； ∴∠BFE=∠C， ∵∠AFD=∠BFE=∠C， 又∵∠ADF=∠BDC=90°， ∴△ADF∽△BDC，故选项B正确； ∵∠BDC＝∠AEC＝90°， ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BDC∽△AEC， ∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确； ∵， ∴， ∵△BFE∽△BCD， ∴， ∴， ∵∠BDC=∠AEB=90°， 若△ABE∽△BCD， 满足条件， 即， ∴满足即， 连结FC， 应有△CEF∽△BDC， ∵∠FEC=∠CDB， ∴只要满足∠FCE=∠DBC， 应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点， 已知中没有点E为BD中点条件， ∴△BAE不一定与△BCD相似， 故选项D不正确． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键 6. 如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（　　） A. AC∥DF B. C. BC是△OEF的中位线 D. S△ABC：S△DEF =1：2 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质、中位线的定义、相似多边形的性质判断即可； 【详解】解：∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴AC∥DF，AB∶DE=OA∶OD=1∶2，即A、B选项正确； ∵BC∥EF，BC∶EF=1∶2， ∴BC是△OEF的中位线；即C选项正确； ∵位似图形是相似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴S△ABC：S△DEF =1：4，即D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质和中位线的定义；掌握位似图形的性质是解题关键． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于函数，随的增大而减小 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若∽，且，则 D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，相似三角形性质，直接开平方法解一元二次方程及矩形的判定即可得到答案 【详解】解：A、对于函数，在每个象限内，随的增大而减小，故原命题错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、若∽，且，所以相似比为，面积比为，则，正确，符合题意； D、移项得，原方程无解，故原命题错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，相似三角形性质，直接开平方法解一元二次方程及矩形的判定，解题的关键是熟练掌握几个知识点． 8. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【详解】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 10. 已知是方程的根，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】把代入到方程中得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴． 解得：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 11. 在某一时刻，一根长为的竹竿投影在地面上的影长是，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是，则旗杆的高度为______． 【答案】18 【解析】 【分析】利用在同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：设旗杆的高度为． 根据在同一时刻物高与影长成比例可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用；根据同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式是解决问题的关键． 12. 如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，过点E作于点H．利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点H． 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴E，C，F，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 13. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图象上，则点B的坐标为__________． 【答案】（，0） 【解析】 【分析】首先根据点C是反比例函数（x＞0）图象上一点，设点C的坐标为，设点B的坐标为（a，0），则AB的中点D的坐标为；然后证明△AED∽△DFC，根据，列出关于a、x的方程组，解方程组即可求出当△ABC是等边三角形时，点B的坐标为多少即可． 详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，CG⊥OB于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F， 设点C的坐标为，点B的坐标为（a，0）， ∵△ABC是等边三角形， ∴D为AB的中点， ∴CD⊥AB， ∵； ∵CD⊥AB， ∴∠ADE+∠CDF=90°， ∵∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠DAE=∠CDF， ∵∠AED=∠CFD=90°， ∴△AED∽△DFC， ∴， 即， 整理，可得， 由①②，解得，（舍去）， ∴当△ABC是等边三角形时，点B的坐标为：（，0）． 故答案为：（，0） 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及等边三角形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形边上的高是这个边的中线． 三、解答题（本答题共7小题，共61分） 14 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是熟练应用知识点解题； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 15. 小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）． （1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是 　 　； （2）请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率． 【答案】（1） （2）小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率为 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图（A、B表示能打开教室前门锁，C、D、E表示不能打开教室前门锁）展示出20种可能的结果，找出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为：（A、B表示能打开教室前门锁，C、D、E表示不能打开教室前门锁） 共有20种可能的结果，其中小明至多试开两次就能打开教室前门锁的结果数为14， ∴小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率． 【点睛】本题考查了运用树状图法求概率，理解题意是解决本题的关键． 16. 如图，的对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论； （2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB＝＝，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD， ∵BD＝2AB， ∴AB＝OB， ∵AE∥BD，OE∥AB， ∴四边形ABOE是平行四边形， ∵AB＝OB， ∴四边形ABOE是菱形； （2）解：连接BE，交OA于F，如图所示： ∵四边形ABOE是菱形， ∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE， ∵S四边形ABOE＝4， S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE， ∴BE＝4， ∴BF＝2， ∴OB＝＝＝， ∴BD＝2OB＝2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 17. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （2）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当这种青包销售单价为42元时，销售利润是3120元 （2）这种背包的销售利润不可能达到3700元，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元． 【小问1详解】 解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 【小问2详解】 解：依题意，得：， 整理，得：． ， 该方程无解， 这种书包的销售利润不能达到3700元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找准等量关系，正确列出一元二次方程． 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，　 　． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【答案】（1） （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P； ②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使． 【小问1详解】 解：图1中， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∴点P即为所要找的点． 【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形． 19. 【探究发现】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将矩形沿折叠，使点A恰好落在 边上的点F，求线段的长． 【类比迁移】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将沿着折叠得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求线段的长． 【拓展应用】 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，对角线交于点D．P为轴上一动点，连接，将沿着直线折叠得到，当直线轴时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，利用矩形的性质和勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得到，据此求解即可； （2）利用折叠的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，求出，则，证明，由相似三角形的性质求出，，再由，求出，则； （3）分点P在点A左侧时，当点在D上方和下方两种情况以及点P在点A右侧，总共三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图1所示，当点P在点A左侧且点在点D上方时， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵轴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图2所示，当点P在点A左侧且点在点D下方时， 同理可得，， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在点A右侧时，不可能存在轴这种情况； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，坐标与图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”． 如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： 如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC＝4cm，CD＝2cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 探究二： 如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝120，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC＝6cm，CD＝4cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： 如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC'，点C的对应点为点C'． 1．由旋转得：∠D＝∠　　，因为∠ABC+∠D＝180°，所以∠ABC+∠ABC'＝180°，即点C'，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△ACC'． 2．如图7，在△ACC'中，作AH⊥BC于点H，若AH＝m，CH＝n，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 探究四： 以下是图7中的“等补四边形”ABCD的四个条件：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm；④AC＝13cm．请你从中选择不超过3个条件（不能有多余条件），并用所选择的条件计算图7中的“等补四边形”ABCD的面积． 选择的条件是：　　；　　（写出两种不同组合，只填写序号）．“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 【答案】探究一：9；探究二：；探究三：，；探究四：①和②和③或③和④，60． 【解析】 【分析】（1）计算出直角梯形的面积，由旋转的性质可得，“等补四边形”ABCD的面积为直角梯形面积的一半； （2）由旋转的性质即可得出，“等补四边形”ABCD的面积为等边三角形面积的，计算出等边三角形的面积即可求得答案； （3）由旋转的性质即可得出，，“等补四边形”ABCD的面积等于等腰的面积，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式即可求得的面积； （4）根据上述分析和已知条件，结合勾股定理和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）探究一：如图， 将“等补四边形”ABCD烧点A顺时针旋转90°得到“等补四边形”四边形，可以形成一个直角梯形， 则， ∴直角梯形的面积 , ∴“等补四边形”ABCD的面积直角梯形的面积； 故答案为：9 探究二：由题可知，等边三角形的边长为10cm， 点C绕点A顺时针旋转120°得到 ,再旋转一次得到， 过点作垂足为E， ∵为等边三角形，， ∴, ∴， ∴, ∴“等补四边形”ABCD的面积， 故答案为：； 探究三：由旋转的性质得，, ∵,AH⊥BC ∴， ∴, 又∵S四边形ABCD，且 ∴S四边形ABCD， 故答案为：，； 探究四： 选择的条件是：③AH＝5cm；④AC＝13cm， 在中， ， 结合探究三得， S四边形ABCD; 选择的条件是：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm； ∵， ∴， ∴， ∴S四边形ABCD； 故答案为：①和②和③或③和④，60． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题关键是理解题目，结合所学知识点进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南方科技大学附属实验学校2025-2026学年第一学期期末模拟 九年级数学学科 时间：90分钟 满分：100分 说明：1．全卷分为选择题和非选择题两部分，共2页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填写在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，不准使用涂改液，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．本卷选择题1-8，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡内对应题答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案；非选择题9-20，必须用规定的笔在答题卡非选择答题区内按相应的序号作 第一部分 选择题 一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列各选项中，其主视图如图所示的是（    ） A. B. C. D. 3. 已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（    ） A. B. C. D. 4. 2020年9月1日，《深圳市生活垃圾分类管理条例》正式实施．滨海学校九（1）班成立了“环保卫士”宣传小组，其中男生2人，女生3人，从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类”，恰好抽到女生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A. △BFE B. △AFD C. △ACE D. △BAE 6. 如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（　　） A. AC∥DF B C. BC是△OEF的中位线 D. S△ABC：S△DEF =1：2 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于函数，随的增大而减小 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若∽，且，则 D. 方程有两个不相等的实数根 8. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则______． 10. 已知是方程的根，则的值为______ ． 11. 在某一时刻，一根长为竹竿投影在地面上的影长是，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是，则旗杆的高度为______． 12. 如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______． 13. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图象上，则点B的坐标为__________． 三、解答题（本答题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）． （1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是 　 　； （2）请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率． 16. 如图，的对角线，交于点，，，． （1）求证：四边形菱形； （2）若，，求的长． 17. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （2）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，　 　． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 19. 【探究发现】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将矩形沿折叠，使点A恰好落在 边上的点F，求线段的长． 【类比迁移】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将沿着折叠得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求线段的长． 拓展应用】 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，对角线交于点D．P为轴上一动点，连接，将沿着直线折叠得到，当直线轴时，求点P的坐标． 20. 某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”． 如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： 如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC＝4cm，CD＝2cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 探究二： 如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝120，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC＝6cm，CD＝4cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： 如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC'，点C的对应点为点C'． 1．由旋转得：∠D＝∠　　，因为∠ABC+∠D＝180°，所以∠ABC+∠ABC'＝180°，即点C'，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△ACC'． 2．如图7，在△ACC'中，作AH⊥BC于点H，若AH＝m，CH＝n，试求出“等补四边形”ABCD面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 探究四： 以下是图7中的“等补四边形”ABCD的四个条件：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm；④AC＝13cm．请你从中选择不超过3个条件（不能有多余条件），并用所选择的条件计算图7中的“等补四边形”ABCD的面积． 选择的条件是：　　；　　（写出两种不同组合，只填写序号）．“等补四边形”ABCD的面积为　　cm2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $