精品解析：山东省济宁市金乡县2025-2026学年上学期12月质量检测九年级数学试题

2025－2026学年第一学期12月学业水平测试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（　　） A. 6 B. 8 C. D. 5. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】 A. B. C. D. 8. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线经过，，三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是________． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 13. 已知关于x的一元二次方程，若方程的两根均为等腰的边长，且的周长为5，则m的值为______． 14. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是______min． 15. 如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点、的坐标． （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，并写出点A、B的对应点、的坐标． （3）判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 18. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集 （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 21. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯 抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为． 任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 22. 在直角坐标系中，设函数（a，b是常数，）． （1）已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． （2）若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． （3）若，当时，函数随x的增大而增大，求a的取值范围． 23. 在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期12月学业水平测试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（　　） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵DE∥AB， ∴∠BDE=∠ABD， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBE， ∴∠DBE=∠EDB， ∴BE=DE， ∵BE=4， ∴DE=4， ∵DE∥AB， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴， ∴AB=， 故选C． 5. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 6. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的全面积=侧面积+底面面积”计算即可． 【详解】解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为， 圆锥底面圆的半径为． ∴圆锥的底面积为． ∴圆锥的全面积是． 故选：C． 7. 已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质，先根据二次函数的图象开口向下可知，再由函数图象经过原点可知，由对称轴在y轴左侧可知b<0b<0，利用排除法即可得出正确答案．． 【详解】解：∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下， ∴， ∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为， ∴由得． ∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点， ∴． ∴一次函数过第二四象限且经过原点，反比例函数位于第二四象限， 观察各选项，只有C选项符合． 故选C． 8. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦值、勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识点，在网格中构造直角三角形是解题的关键． 如图：根据网格以及勾股定理及其逆定理确定格点D，使得是直角三角形，根据勾股定理得出的长，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：确定格点D，使得是直角三角形， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 9. 抛物线经过，，三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数与坐标轴的交点问题，先根据该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧判断a的正负，再根据二次函数的性质求解． 【详解】解：设抛物线与x轴的交点横坐标为， ∵该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大． ∵抛物线对称轴为直线， ∴． 故选A． 10. 如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，求得，即，即可得到；根据，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；证明，得到，则， 即可得到． 【详解】解：在中， ，，平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①正确； ， ， ， 故平分，故②正确； 依据中，，即可得到，故③错误； 是中点，为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程，若方程的两根均为等腰的边长，且的周长为5，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法，可求出原方程的两个实数根，情况讨论：当两个根相等时，求出m的值；当两个根不相等时，求出m的值，再讨论三角形三边关系求出最终m的值． 【详解】解析：由题意，， 解得，． ①当关于x的一元二次方程有两个相等的实数根时，， ∵的周长为5， ∴三角形第三边为3， ∵， ∴1，1，3不能组成三角形， ∴不符合题意，舍去． ②当关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根时， ∵的周长为5， ∴三角形第三边为， ∵， ∴1，2，2能组成三角形． 综上所述，m的值为2． 故答案为：2 14. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是______min． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正比例函数解析式与反比例函数解析式，进而得出有效作用时间，即可求解． 【详解】解：依题意，时，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例， 设函数解析式为， 将点代入得，，解得：， ∴解析式为，当时，， 当时，与成反比例，设解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴解析式为，当时， ∴此次消杀的有效作用时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 15. 如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点、的坐标． （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，并写出点A、B的对应点、的坐标． （3）判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1）如图所示，，． （2）如图所示，，； （3）与是关于点为位似中心的位似图形． 【解析】 【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案； （2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键． 18. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2） 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集 （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）或 （3）的面积最大值为4，此时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯 抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为． 任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】任务一：点B到一楼地面的距离为；任务二：照明灯C到一楼地面的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：过点B作BR⊥AN于点R，设，则，利用勾股定理列方程即可解答； 任务二：连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T，解直角三角形即可解答． 【详解】任务一：解：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为， ∴设，则， ∵， ∴在中，， 即， 解的， ， 答：点B到一楼地面的距离为； 任务二解：如图，连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T， 由题意得，， 在中，， ∴． ∴在中，． ∴ 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 22. 在直角坐标系中，设函数（a，b是常数，）． （1）已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． （2）若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． （3）若，当时，函数随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）函数表达式为 （2） 证明：函数图象的顶点坐标为， 代入函数中得：， 化简得：， ∴； （3）a的取值范围为 【解析】 【分析】（1）将和代入函数表达式即可； （2）先得出函数顶点坐标，代入化简即可得出结论； （3）根据二次函数性质求解． 【小问1详解】 解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键． 23. 在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【解析】 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $