精品解析：吉林省长春市农安县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

吉林省长春市农安县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【详解】解：2的平方根是， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 数学老师布置了道选择题作为课堂练习，榕榕将全班同学的答题情况绘制成了如图所示的条形统计图，那么答对8道题的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了频率的计算方法，频数与数据总数的比值为频率，频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量． 根据题目中所给的条形统计图，求出全班学生的总人数，利用答对8道题的学生人数除以全班总人数即可得答对8道题的同学的频率． 【详解】解：由条形统计图可得，全班学生人数为：（人）， 答对8道题的学生人数为人， ∴答对8道题的同学的频率为：． 故选：D． 4. 如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理知：， 所以． 所以点D表示的数为． 故选：B． 5. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. a D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理. 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 是直角三角形，故选项不符合题意； B、， ，即， 是直角三角形，故选项不符合题意； C、， 不是直角三角形，故选项符合题意； D、， ， 是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，是的角平分线，于点E，给出四个结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，垂线段最短，判定，推出，由垂线段最短得到，因此． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①②③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④不符合题意． ∴其中正确的有3个． 故选：B． 7. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质定理， 根据三角形三边的垂直平分线的交点的特点解答即可． 【详解】解：因为三角形三条边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等， 所以供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 8. 如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为　 　． A. 10 B. 12 C. 20 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱的截面ABCD展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出斜边AS即可. 【详解】将圆柱的截面ABCD展开，可得到直角三角形ABS， 因为，BS=6，AB=×π×=8, 所以，AS=. 故选A 【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：利用勾股定理分析最短距离. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 10. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 11. 若，，，则a、b、c的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方逆用，根据幂的乘方的计算方法得到即可． 【详解】解：∵，，，而， ∴， 即， 故答案为：． 12. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故答案为： 13. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为尺，根据题意得：， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD． 【详解】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°， ∴△BDE是等边三角形，所以①正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°， ∴∠BAE=∠ABC， ∴AE∥BC，所以②正确； ∴∠BDE=60°， ∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°， ∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误； ∵△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=4， 而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴AE=CD， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，单项式乘多项式，合并同类项，先去中括号，再去小括号，再算除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 16. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值．先利用整式的混合运算法则进行化简，再将值代入原式即可求解． 【详解】原式 把代入得： 18. 如图是的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A和点B都在格点上． （1）在图①中画出一个，使点C在格点上； （2）在图②中画出一个等腰，使点D在格点上； （3）在图③中画出—个等腰直角，使点E在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意直接画图即可． （2）由勾股定理得，再根据等腰三角形的判定与性质画图即可． （3）根据等腰直角三角形的判定画图即可． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：如图②，等腰即为所求（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：如图③，等腰直角即为所求． 19. 如图，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理. 连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 20. 如图，，为上一点，，并且 （1）求证：； （2）若，则＝ ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，利用SAS证明是解题的关键．（1）利用SAS证明即可；（2）根据等腰三角形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，根据平角的定义求解即可． 【小问1详解】 解：证明：， ， 即， 在和中， ， (SAS) ； 小问2详解】 ，， ， ， ， ， ． 21. 某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）；图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图． 该品牌月销售额统计表（单位：万元） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 该品牌月销售额 180 90 115 95 （1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用______统计图； （2）该品牌5月份的销售额是______万元，手机部5月份的销售额是______万元； （3）对于该品牌手机部6月份的进货，你有什么建议？ 【答案】（1）折线 （2）120，36 （3）多进些B机型的手机，少进些D机型的手机 【解析】 【分析】（1）要表示销售量的变化趋势，选择折线图更加直观明了； （2）根据前五个月该品牌的总销售额前去前四个月的销售额即可得到五月份的销售额，五月份的销售额乘以五月份手机销售额的占比即可求解； （3）根据五月份的销售情况来估算六月份的销售情况进而确定进货情况． 【小问1详解】 采用折线统计图表示销售量的变化趋势比其他统计图更加直观明了，故选择折线统计图，故答案为：折线； 【小问2详解】 五月份销售额：600-(180+90+115+95)=120（万）， 手机部五月份销售额：120×30%=36（万）； 【小问3详解】 五月份的手机机型销售中，B型手机买的最好，销售额占比28%，D型手机买的最差，销售额占比只有5%， 故六月份多进些B型手机，少进一些D型手机． 【点睛】本题考查了折线统计图、扇形统计图的知识，注重数形结合是解答本题的关键． 22. 阅读下列解答过程： 若二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值. 解：设另一个因式为x+a 则x2-4x+m=(x+3)(x+a)=x2+ax+3x+3a=x2+(a+3)x+3a， ∴∴ ∴另一个因式为x-7，m的值为-21. 请依照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式x2+3x-k有一个因式是x-5，求另一个因式及k的值； （2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式是x+3，求另一个因式及k的值. 【答案】（1）另一个因式为x+8，k的值为40.（2）另一个因式为2x-1，k的值为-3. 【解析】 【分析】（1）类比题目所给的解题方法即可解答；（2）根据二次项2x2的系数为2，一个因式为x+3，即可确定另一个因式的一次项系数一定是2，再类比题目所给的解题方法即可解答. 【详解】（1）设另一个因式为（x+a）， ∴x2+3x-k=（x-5）（x+a）， 则x2+3x-k=x2+（a-5）x-5a， ∴ ， 解得：a=8，k=40， ∴另一个因式为x+8，k的值为40； （2）设另一个因式为（2x+a）， ∴2x2+5x+k =（x+3）（2x+a）， 则2x2+5x+k=2x2+（6+ a）x+3a， ∴ ， 解得：a=-1，k=-3， ∴另一个因式为2x-1，k的值为-3. 【点睛】本题是阅读理解题，正确读懂例题，确定另一个因式的一次项系数是解本题的关键． 23. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）的长为__________； （2）当点在线段、上运动时，用的代数式表示的长度； （3）当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； （4）点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）当在上，；当在上， （3）秒 （4）秒或秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意分别列出代数式； （3）点作于点，根据角平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可； （4）分两种情况讨论：当在上时，为等腰三角形；当在上时，为等腰三角形即①、②时、③，进行讨论易得的值． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：当点在上运动时，； 当点在上运动时，； 【小问3详解】 当点在的平分线上时，过点作于点， ∵点恰好在的角平分线上， ∴， ∵， ， ∴，， ∵在中， ∴ ∴； 【小问4详解】 ①当在上时，，为等腰三角形 ∴，即 ∴． ②当在上时，为等腰三角形 Ⅰ．当时，点在的垂直平分线上,过作于， 如图： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴； Ⅱ．，即 ∴； Ⅲ．，过作于，如图： ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴． ∴当秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、列方程并解方程等，能利用分类讨论的思想是解题的关键． 24. 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． （2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）①；②，；③；④17 （2）①；②80 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）①根据直角三角形的两边长即可得到结论； ②求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； ③根据②的结果，即可得出答案； ④代入求出即可； （2）①求出大正方体的体积和各个部分的体积，即可得出答案； ②代入①中的等式求出即可． 【小问1详解】 解：①图1中阴影部分小正方形边长可表示为， 故答案为：； ②图1中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； ③由②知：， 即， 故答案为：； ④∵， ∴， 故答案为：17； 【小问2详解】 解：①图形的体积为或， 即， 故答案为：； ②∵ ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市农安县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学老师布置了道选择题作为课堂练习，榕榕将全班同学的答题情况绘制成了如图所示的条形统计图，那么答对8道题的频率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. a D. 6. 如图，在中，，是的角平分线，于点E，给出四个结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 8. 如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为　 　． A. 10 B. 12 C. 20 D. 14 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的立方根是______． 10. 计算：___________． 11. 若，，，则a、b、c大小关系是______．（用“”连接） 12. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 13. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为______． 14. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： 16 因式分解： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图是的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A和点B都在格点上． （1）在图①中画出一个，使点C在格点上； （2）在图②中画出一个等腰，使点D在格点上； （3）在图③中画出—个等腰直角，使点E在格点上． 19. 如图，，，，，求的度数． 20. 如图，，为上一点，，并且 （1）求证：； （2）若，则＝ ． 21. 某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）；图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图． 该品牌月销售额统计表（单位：万元） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 该品牌月销售额 180 90 115 95 （1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用______统计图； （2）该品牌5月份的销售额是______万元，手机部5月份的销售额是______万元； （3）对于该品牌手机部6月份的进货，你有什么建议？ 22 阅读下列解答过程： 若二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值. 解：设另一个因式为x+a 则x2-4x+m=(x+3)(x+a)=x2+ax+3x+3a=x2+(a+3)x+3a， ∴∴ ∴另一个因式为x-7，m的值为-21. 请依照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式x2+3x-k有一个因式是x-5，求另一个因式及k的值； （2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式是x+3，求另一个因式及k的值. 23. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）的长为__________； （2）当点在线段、上运动时，用的代数式表示的长度； （3）当点恰好在角平分线上（点除外），求的值； （4）点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 24. 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． （2）通过不同方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $