专题2.3 平行线的性质（知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学“平行线的性质”核心知识点，系统梳理两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的基本原理，以知识荟萃为基础，通过8个题型讲练（从基础应用到判定与性质综合）衔接中考真题与分层训练，构建“原理-应用-拓展”的完整学习支架。 资料特色在于素养导向与分层设计，融入生活实例（如自行车结构、拦道闸角度）培养数学眼光，通过判定与性质综合题（如补全推理过程）发展推理意识，分层训练兼顾基础夯实与培优拔高，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化几何直观与应用能力。

专题2.3 平行线的性质 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识荟萃 1 题型讲练 2 题型1：两直线平行同位角相等 2 题型2：两直线平行内错角相等 3 题型3：两直线平行同旁内角互补 3 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 4 题型5：根据平行线的性质求角的度数 5 题型6：平行线的性质在生活中的应用 6 题型7：根据平行线判定与性质求角度 7 题型8：根据平行线判定与性质证明 9 中考真题 10 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 14 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 题型1：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 【变式训练1】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 题型2：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（2025·河南漯河·一模）如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型3：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·吉林·月考）如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，点、、在同一条直线上，点是一个动点，，连接、． (1)当点在线段上固定时，若，则的度数是___________； (2)当点在线段上运动时，试探究、和之间的数量关系； (3)当点不在线段上时，（2）中结论是否会发生改变？若改变，请写出它们之间新的数量关系；若不变，请说明理由． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 题型5：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，，平分交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·湖北·模拟预测）如图，直线与直线，都相交．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，直线，，那么，各是多少度？        题型6：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【变式训练2】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 题型7：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知，，，垂足为，请在横线上补全求的度数的解题过程或依据． 解：∵（已知）， ∴______（____________）， ∵（已知）， ∴____________（等量代换）， ∴____________（____________）， ∴____________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴______， ∴______（等式的性质）． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴ 　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，垂直于地面于点，平行于地面，求的度数． 解：如图②，过点作． ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 辅助线作法， ， ， 题型8：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（23-24七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，于点，点为上一点，于点，点为上一点，连接，若，求证：． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级下·北京·期末）如图，已知，为的平分线，与相交于点F，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵，(已知) ∴_____，（ ） ∵，(已知) ∴．（等量代换） ∵为的平分线，(已知) ∴，（角平分线的定义） ∴，（等量代换） ∴ ，( ) ∴．( ) 1．（2024·河南开封·中考真题）如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，的一边为平面镜，在上有一点E，从点E射出一束光线经上一点D反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广西南宁·中考真题）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是 ． 4．（2024·安徽安庆·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，．若，则 ． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，，的平分线交于点F，． (1)如图1，判断与是否相等，并说明理由； (2)如图2，平分，，求的度数； (3)如图3，过点D作，交于点．线段上有一点P，点M在射线上，，且满足，求的值． 基础夯实 1．（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，，点在上，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在点处，，则 ． 5．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，折射光线为，点在射线上．已知，，则 ． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，．求和的度数． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知一工件，它的下半部已经残缺，只知道，并且量得．你能算出残缺的下半部中和两个角的度数吗？请说明理由． 10．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，．将求的过程填写完整． 因为，所以 ． 又因为，所以 ． 所以 ． 所以 ． 又因为， 所以 = ． 培优拔高 11．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线 ，将一个含角的三角板如图摆放，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ． 15．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为 ． 17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小实想利用起吊机将太阳能板放置在人字屋顶上，于是绘制了相应草图如图，起吊机的伸展臂与屋脊线平行，此时支撑臂与地面垂直，横梁与点在同一水平直线上，即，若人字屋顶坡角为，即，则的度数为 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，．现将木棒同时沿顺时针方向转动一周，木棒a每秒转动，木棒b每秒转动，当两根木棒都停止转动时，运动结束．在转动过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出是在第几秒． 19．（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知平分，交于点，，且，，求的度数．    第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 平行线的性质 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识荟萃 1 题型讲练 2 题型1：两直线平行同位角相等 2 题型2：两直线平行内错角相等 4 题型3：两直线平行同旁内角互补 5 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 8 题型5：根据平行线的性质求角的度数 13 题型6：平行线的性质在生活中的应用 15 题型7：根据平行线判定与性质求角度 17 题型8：根据平行线判定与性质证明 20 中考真题 22 分层训练 28 基础夯实 28 培优拔高 34 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 题型1：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了长方形折叠．熟练掌握长方形对边平行的性质，折叠性质，是解题的关键． （1）根据，得，根据，得，即得． （2）根据，得，由折叠可得，． 【规范解答】（1）解：． 理由如下：∵， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解． 【规范解答】解：如图 ，， ， ． 故选B． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等得到，，再等量代换即可求证． 【规范解答】证明：∵，， ∴，， ∴． 题型2：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（2025·河南漯河·一模）如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么 ． 【答案】155 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故选：A． 题型3：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行同旁内角互补”可得，，再根据，即可得解． 【规范解答】解：， ，． ， ． 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案． 【规范解答】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴()， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形的面积， 故答案为： ． 【变式训练2】（23-24七年级下·吉林·月考）如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． （1）先由平行线的性质得，进而得∠ADC=110°，再根据角平分线的定义可得出答案； （2）先由平行线的性质得，再根据得，据此即可判定与的位置． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：与的位置关系是：． 理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，点、、在同一条直线上，点是一个动点，，连接、． (1)当点在线段上固定时，若，则的度数是___________； (2)当点在线段上运动时，试探究、和之间的数量关系； (3)当点不在线段上时，（2）中结论是否会发生改变？若改变，请写出它们之间新的数量关系；若不变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)改变，或 【思路点拨】本题考查利用平行线的性质探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）过点作，进而得到，利用平行线的性质，得到，即可得出结果； （2）同（1）法即可得出结果； （3）分点在线段的延长线上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）会发生改变； ①当点在线段的延长线上时，作，则：， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，作，则：， ∴， ∴； 综上：或． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)． 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可知，，即可求出的度数； （2）过点作，可知，根据平行线的性质可知，，即可得到之间的数量关系． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，需熟练掌握平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造平行线，使用平行线的性质解决角度问题． （1）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”可得与，再由等量代换即可求解； （3）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，再结合角平分线的性质，再结合（2）中的结论即可求解． 【规范解答】解：（1）过点P作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）， 过点P作，如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）过点E作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴，， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴． 题型5：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，，平分交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是角平分线的含义，平行线的性质，先根据角平分线可得，再利用平行线的性质可得答案． 【规范解答】解：∵，平分， ， ， ， 故选：A． 【变式训练1】（2026·湖北·模拟预测）如图，直线与直线，都相交．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【规范解答】解：∵， ， 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，直线，，那么，各是多少度？        【答案】， 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质，平行线的性质；由对顶角相等得，由平行线的性质得，即可求解． 【规范解答】解：与是对顶角， ， ， ． 题型6：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【规范解答】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【规范解答】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B. 【变式训练2】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【规范解答】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型7：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知，，，垂足为，请在横线上补全求的度数的解题过程或依据． 解：∵（已知）， ∴______（____________）， ∵（已知）， ∴____________（等量代换）， ∴____________（____________）， ∴____________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴______， ∴______（等式的性质）． 【答案】，两直线平行，内错角相等；；，内错角相等，两直线平行；；；． 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，垂直定义，根据平行线的判定与性质，垂直定义即可求解，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴， ∴（等式的性质）， 故答案为：，两直线平行，内错角相等；；，内错角相等，两直线平行；；；． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴ 　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 【答案】；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110． 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【规范解答】证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，垂直于地面于点，平行于地面，求的度数． 解：如图②，过点作． ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 辅助线作法， ， ， 【答案】已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；； 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【规范解答】解：如图②，过点作． ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 垂直的定义 辅助线作法， ， ， ． 故答案为：已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；；． 题型8：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（23-24七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，于点，点为上一点，于点，点为上一点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质．根据题意，易得，则，结合已知条件，得，即可得到结论． 【规范解答】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·北京·期末）如图，已知，为的平分线，与相交于点F，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵，(已知) ∴_____，（ ） ∵，(已知) ∴．（等量代换） ∵为的平分线，(已知) ∴，（角平分线的定义） ∴，（等量代换） ∴ ，( ) ∴．( ) 【答案】2 ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【思路点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【规范解答】证明：∵，(已知) ∴，（ 两直线平行，同位角相等 ） ∵，(已知) ∴．（等量代换） ∵为的平分线，(已知) ∴，（角平分线的定义） ∴，（等量代换） ∴ ，( 内错角相等，两直线平行 ) ∴．( 两直线平行，同旁内角互补 ) 1．（2024·河南开封·中考真题）如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活应用平行线的性质成为解题的关键． 由平角的定义先求得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴． 故选：D． 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，的一边为平面镜，在上有一点E，从点E射出一束光线经上一点D反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2024·广西南宁·中考真题）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是 ． 【答案】/64度 【思路点拨】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．折叠得到，平行得到，，再利用平角的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：如图，    ∵折叠， ∴， ∵对边平行的纸带， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（2024·安徽安庆·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，．若，则 ． 【答案】/15度 【思路点拨】先根据三角板的特点可得，．根据平行线的性质可得，再根据即可求出的度数． 本题考查平行线的性质和三角板中的角度计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，，的平分线交于点F，． (1)如图1，判断与是否相等，并说明理由； (2)如图2，平分，，求的度数； (3)如图3，过点D作，交于点．线段上有一点P，点M在射线上，，且满足，求的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)的值为或 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理； 根据得，再根据平分得，由此即可得出答案； 根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到； 依题意有以下两种情况：①当点M在线段上时，②当点M在的延长线上时，根据三角形的内角和即可得到结论． 【规范解答】（1），理由如下： ， ， 的平分线交于点F， ， ； （2）， ， 的平分线交于点F， ， ， ，， ， 平分， ， ， ； （3）依题意有以下两种情况： ①当点M在线段上时，如图3①所示： 设，则， ， 设，则， ， ， ， ， 由的结论得：， 在中，， ， ， ， ， ； ②当点M在的延长线上时，如图3②所示： 设，则， ， 设，则， 同理可得：， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的值为或 基础夯实 1．（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 2．（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，，点在上，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得，又因为平分，得，故，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理应用； 由折叠得到，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和差关系即可解答． 【规范解答】解：由折叠得到， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在点处，，则 ． 【答案】/60度 【思路点拨】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键；由题意易得，由折叠的性质可知，然后根据平行线的性质可进行求解． 【规范解答】解：在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 5．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，根据题意可得，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 作出如图的辅助线，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【规范解答】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在之间，为， ∵直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，折射光线为，点在射线上．已知，，则 ． 【答案】/35度 【思路点拨】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．根据得，再根据即可得出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，．求和的度数． 【答案】的度数为，的度数为 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是做题的关键．根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：如图， ， ， ． ， ． 答：的度数为，的度数为． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知一工件，它的下半部已经残缺，只知道，并且量得．你能算出残缺的下半部中和两个角的度数吗？请说明理由． 【答案】，，理由见解析 【思路点拨】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 【规范解答】解：，，理由如下： ， ， ， ，． 10．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，．将求的过程填写完整． 因为，所以 ． 又因为，所以 ． 所以 ． 所以 ． 又因为， 所以 = ． 【答案】，，，，， 【思路点拨】本题考查了平行线的判定及性质求角度；由平行线的性质得∠2 =，由平行线的判定方法得 ，再由平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：因为，所以  ． 又因为，所以． 所以 ． 所以 ． 又因为， 所以 =． 故答案为：，，，，，． 培优拔高 11．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了方向角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据题意可得，，，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【规范解答】解：如图，由题意得：，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 12．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线 ，将一个含角的三角板如图摆放，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可得到结论． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 13．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【规范解答】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 14．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查轴对称的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用方程思想解决实际问题成为解题的关键． 设．由轴对称的性质可得，易得 ，根据，据此构建方程求解即可． 【规范解答】解：设． ∵点B关于直线的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质得到，再根据，，求出，最后根据平行线的性质得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：由折叠的性质可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为 ． 【答案】/72度 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 根据翻折的性质及角的数量关系求出，根据平行线的性质得出同位角相等，再利用翻折的性质进行求解即可． 【规范解答】解：如图所示， 根据翻折的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质得， ， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小实想利用起吊机将太阳能板放置在人字屋顶上，于是绘制了相应草图如图，起吊机的伸展臂与屋脊线平行，此时支撑臂与地面垂直，横梁与点在同一水平直线上，即，若人字屋顶坡角为，即，则的度数为 【答案】 【思路点拨】本题考查了角度的计算，平行线的性质，正确认识图形，掌握平行线的性质是解题的关键； 根据题意，利用，结合已知条件，求出的度数，结合与地面垂直，求得的度数． 【规范解答】解：如图，，， ， ，， ， 即， ， 故答案为：． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，．现将木棒同时沿顺时针方向转动一周，木棒a每秒转动，木棒b每秒转动，当两根木棒都停止转动时，运动结束．在转动过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出是在第几秒． 【答案】存在；当第或或或时， 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，一元一次方程与角度的关系，掌握平行线的判定方法是关键．根据题意，设旋转时间为，分四种情况：当时，当时，当，时，当，时，分别列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：存在； 已知，．木棒a每秒转动，木棒b每秒转动， 如图所示，设旋转时间为， ∴顺时针旋转到直线的时间为，顺时针旋转到直线的时间为， 旋转一周的时间为，旋转一周的时间为， 当时，， ∴， 解得，； 当时，，， ∴， 解得，； 当，时，如图所示： 则， 解得：； 当，时，如图所示： 则， 解得：； 综上，当第或或或时，． 19．（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）先根据可得，再由可以求出的度数，最后根据得出即可得出的度数； （2）先根据角平分线定义可以求出的度数，再根据即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知平分，交于点，，且，，求的度数．    【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质．由角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，，即可求解． 【规范解答】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $