专题2.1 两条直线的位置关系（知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“两条直线的位置关系”核心知识点，系统梳理对顶角的定义与性质、余角补角的定义及性质、垂线的定义画法性质与点到直线距离等内容，构建从位置关系到数量关系的知识链，为学生提供清晰的学习支架。 资料以13个题型讲练为核心，结合中考真题与分层训练，通过“立体图形中平行的棱”培养空间观念（数学眼光），“同角余角补角性质应用”强化推理意识（数学思维），跳远成绩测量实例渗透数学语言表达现实世界。课中辅助教师系统授课，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升综合能力。

专题2.1 两条直线的位置关系 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：对顶角 2 知识点梳理02：余角和补角的定义 2 知识点梳理03：余角和补角的性质 2 知识点梳理04：垂线 2 题型讲练 3 题型1：平面内两直线的位置关系 3 题型2：立体图形中平行的棱 4 题型3：相交线 5 题型4：对顶角的定义 6 题型5：对顶角相等 7 题型6：求一个角的余角 8 题型7：求一个角的补角 9 题型8：与余角、补角有关的计算 9 题型9：同(等)角的余(补)角相等的应用 10 题型10：垂线的定义理解 12 题型11：画垂线 13 题型12：垂线段最短 14 题型13：点到直线的距离 15 中考真题 16 分层训练 21 基础夯实 21 培优拔高 27 知识点梳理01：对顶角 1.定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 2.性质：对顶角相等． 知识点梳理02：余角和补角的定义 1.余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 知识点梳理03：余角和补角的性质 1.同角（等角）的余角相等；2.同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 （1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关； （2）一般地，锐角α的余角可以表示为（90°-α），一个角α的补角可以表示为（180°-α） ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°；（3）如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 知识点梳理04：垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【易错点拨】 （1）记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 【易错点拨】 （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【易错点拨】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 题型1：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 三 相交、平行、重合 【思路点拨】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【规范解答】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识． 直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案． 【规范解答】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或． 故选：D． 题型2：立体图形中平行的棱 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【思路点拨】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【规范解答】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【思路点拨】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【规范解答】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    题型3：相交线 【典例精讲】（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【规范解答】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【规范解答】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 题型4：对顶角的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，与互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了对顶角，熟知对顶角的定义是解题的关键．两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可． 【规范解答】解：．与不是对顶角，故该选项不符合题意； ．与互为对顶角，故该选项符合题意； ．与不是对顶角，故该选项不符合题意； ．与没有公共顶点，不是对顶角，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查对顶角，掌握“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”是正确解答的关键． 根据对顶角的定义即可解答． 【规范解答】解：由对顶角的定义可知，选项C中的与是对顶角， 故选：C． 题型5：对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【思路点拨】本题考查了对顶角相等、垂线的定义，解题的关键是利用对顶角相等求出相关角的度数，结合垂线的性质计算目标角． 先根据对顶角相等求出的度数，再由垂直得出为直角，用减去即可得到的度数． 【规范解答】解：∵直线相交于点O， ∵， ∵， ∴(垂线的定义)， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线与交于点，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线与交于点， ∴和是对顶角， ∴， 故答案为：． 题型6：求一个角的余角 【典例精讲】（24-25七年级下·广东清远·期中）若与互余，，则 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了互余的定义，由题意得，然后把代入即可求解，掌握互余的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查求一个角的余角，根据互余的定义，两个角的和为，直接计算即可得出结果． 【规范解答】解： 与互余， ， ， ， 故选：B． 题型7：求一个角的补角 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【规范解答】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则余角的补角等于 ． 【答案】/126度 【思路点拨】本题考查了余角和补角．正确把握相关定义是解题的关键． 利用互余和互补两角的关系即可求出答案． 【规范解答】解：∵ ∴的余角 ∴的余角的补角． 故答案为：． 题型8：与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知与互为余角，，则的补角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了补角和余角的定义，互为余角的两角之和为，互为补角的两角之和为； 根据余角定义，，可求出；再根据补角定义，的补角为，计算即可． 【规范解答】解：∵与互为余角，， ∴， ∴的补角， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 【答案】A 【思路点拨】本题考查垂直的性质与对顶角相等，掌握互余是指两个角的和为是解题的关键．先根据得到直角，再利用对顶角相等的性质，找出与的角度和关系，从而判断二者的关系． 【规范解答】解：∵于点， ∴，即， ∵与是对顶角， ∴， ∴，即与互余． 故选：A． 题型9：同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了余角的性质，对顶角的性质，根据反射定律和余角的性质可得，结合对顶角的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）下列三个图中，一定能得出与相等的图形个数是（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了对顶角，同角的余角相等，解题的关键是正确理解对顶角的定义．由对顶角相等和同角的余角相等，即可求解． 【规范解答】解：图，无法得出与相等， 图，由同角的余角相等，可得， 图，由对顶角相等，可得， ∴一定能得出与相等的图形有个， 故选：． 题型10：垂线的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了余角和补角、垂线的定义，利用同角的余角相等，可得，再利用补角的性质就可求出的度数． 【规范解答】解：∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵与互补， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据图形，利用角的和差和倍数关系，进行求解即可． 【规范解答】解：∵与是对顶角，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型11：画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【规范解答】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点画出射线或线段的垂线． (1) (2) (3) 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【思路点拨】本题考查过一点作已知直线（线段、射线）的垂线，解题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据垂线的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：如图，直线即为所求， 题型12：垂线段最短 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【思路点拨】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【规范解答】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【规范解答】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 题型13：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线 【答案】C 【思路点拨】本题考查点到直线的距离、两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线、垂线段最短．把踏板看作一条直线，落地点（脚跟处）看作一点，为了公平准确，测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度，即利用了点到直线的距离原理．据此选择正确选项即可． 【规范解答】解：利用点到直线的距离原理，测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【规范解答】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，在同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；用尺规画射线，使平分．若，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键． 分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答； 【规范解答】解：由图可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查直角的定义和对顶角，根据题意得，结合已知得即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川绵阳·中考真题）点在直线上，平分，，，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了角的计算，平角、垂线的定义，数形结合是解题的关键．首先根据题意画出图形，有两种情况：当在上方时；当在下方时．根据得，根据，得，再根据平角的定义即可求解． 【规范解答】解：分以下两种情况： 如图，当在上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 4．（2024·全国·中考真题）如图，直线，相交于点O，，则 度， 度． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了几何图中角的度数和对顶角相等，由平角的定义可知，结合已知条件可得出，再根据对顶角相等即可得出． 【规范解答】解：∵直线，相交于点O， ∴， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：； 5．（2024·上海·中考真题）如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果 ．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)都是的补角 (2) (3)或 【思路点拨】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系． （1）首先根据垂直定义可得，然后再证明，根据补角定义可得都是的补角； （2）根据角平分线定义可得，再根据条件 ，可得的度数，然后即可算出的度数； （3）设的度数为x，则，分两种情况：①当在的上方时，如图1，②当在的下方时，如图2，根据和的关系列方程可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是的补角； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设的度数为x，则， 分两种情况： ①当在的上方时，如图1， ∵， ∴， ， ∴， ②当在的下方时，如图2， ， ∴， ， ∴， 综上，的度数为或． 基础夯实 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，逐一判定选项的正误即可． 【规范解答】解：A、两个角没有公共顶点，则与不是对顶角，不符合题意； B、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； C、的两边是两边的反向延长线，且与有公共顶点，则与是对顶角，符合题意； D、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了余角，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义进行求解即可． 【规范解答】解：互余的角有：，，，， 共有4对， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【思路点拨】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个角等于它的补角，则这个角是 （填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【思路点拨】本题考查了互为补角的定义，熟记概念是解题的关键． 根据互补的两个角的和等于解答． 【规范解答】解：设这个角的度数为，则其补角的度数为． 根据题意：， 解得：． 因此，这个角是直角． 故答案为：直角. 5．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若与互余，与互补，若，则 ． 【答案】/165度 【思路点拨】本题主要考查了余角与补角的计算，根据余角与补角的定义：如果两个角互余那么它们的和为，如果两个角互补，则它们的和为，即可求解． 【规范解答】解：∵与互余，， ∴， 又∵与互补， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等以及角的和差关系，熟练掌握垂直的性质和对顶角相等是解题的关键．先根据垂直的性质求出相关角的度数，再利用对顶角相等和角的和差关系求出的度数． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ 与是对顶角， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂线段最短求解． 【规范解答】解：∵甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米， ∴黎明的跳远成绩应该为米， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查垂直、对顶角、在几何中计算角的问题等，关键是掌握对顶角相等，垂直的定义．先通过对顶角求出，再通过垂直求出，然后根据求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【思路点拨】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【规范解答】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为 ． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． (1)依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，角平分线定义，垂线定义理解，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关定义． （1）在以点O为角的顶点，为角的一条边，在上方作即可； （2）先根据角平分线定义求出，再根据垂线定义得出，最后根据平角定义求出结果即可． 【规范解答】（1）解：如图，射线即为所求作的射线； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 培优拔高 11．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）下列说法中错误的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点可画无数条直线 C．一个角的补角一定大于这个角 D．同角的余角相等 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了两点确定一条直线、直线定义、余角、补角等知识点，熟记相关定义是解题的关键． 根据相关定义逐项分析判断即可解答． 【规范解答】解：A．两点确定一条直线，说法正确，不符合题意；   B．过一点可画无数条直线，说法正确，不符合题意； C．设一个角为α，其补角为，当时，补角，即补角小于这个角，故该选项说法错误，符合题意；   D．同角的余角相等，说法正确，不符合题意． 故选C． 12．（24-25七年级下·山东烟台·期末）通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角恰好是的余角的倍，此时在点至点内对应的时间应是(   ) A．点或点 B．点或点 C．点或点 D．点或点 【答案】D 【思路点拨】本题考查了钟面角，余角的相关计算，先利用钟面角∠α恰好是∠α的余角的2倍，求出钟面角∠α，再确定几点即可． 【规范解答】解：∵钟面角恰好是的余角的2倍， ∴， 解得， ∵点或点时钟的时针与分针所成的角 故选：D． 13．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，在同一平面内，，平分，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 由，根据等角的余角相等得到，可判断①正确；即；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，结合①和可得，从而可判断④正确．进而可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，故②正确； ∵，而，故③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴，故④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了余角与补角的定义，掌握余角、补角的定义，以及通过列方程解决角度问题是解题的关键． 设这个角的度数为，根据余角和补角的定义，列出方程求解． 【规范解答】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为． 根据题意，得方程： 展开并化简： ． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【规范解答】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为 ． 【答案】80 【思路点拨】本题考查几何图形中的角度计算，由得，进而可得，由角平分线的定义得，再由对顶角相等即可求解． 【规范解答】解： ， ， 又 ， ， 射线平分， ， ， 故答案为：80． 17．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【规范解答】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 18．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点在直线上，． (1)如图，若在直线上方，，求的度数； (2)如图，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平角是得，即可求得的度数； （2）利用角的和差关系结合角平分线的定义分别表示，，然后求和即可． 【规范解答】（1）解：，，， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ． 19．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若点D在直线下方且与互余，求的度数 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键； （1）先由角平分线得，算出，再用角平分线的定义可求解； （2）由互余得，结合（1）中角的度数，则问题可求解． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵点O在直线上， ∴， 又∵平分， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 又∵， ∴． 20．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，与互为补角，与互为余角，平分且．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查角平分线的定义及余角和补角，熟练掌握角平分线的定义及余补角是解题的关键；先根据已知条件和互为余角的定义，求出，再根据互为补角的定义，求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据，求出答案即可． 【规范解答】解：∵与互为余角， ∴， 又， ∴； ∵与互为补角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 两条直线的位置关系 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：对顶角 2 知识点梳理02：余角和补角的定义 2 知识点梳理03：余角和补角的性质 2 知识点梳理04：垂线 2 题型讲练 3 题型1：平面内两直线的位置关系 3 题型2：立体图形中平行的棱 4 题型3：相交线 4 题型4：对顶角的定义 5 题型5：对顶角相等 5 题型6：求一个角的余角 5 题型7：求一个角的补角 6 题型8：与余角、补角有关的计算 6 题型9：同(等)角的余(补)角相等的应用 6 题型10：垂线的定义理解 7 题型11：画垂线 7 题型12：垂线段最短 8 题型13：点到直线的距离 8 中考真题 9 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 12 知识点梳理01：对顶角 1.定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 2.性质：对顶角相等． 知识点梳理02：余角和补角的定义 1.余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 知识点梳理03：余角和补角的性质 1.同角（等角）的余角相等；2.同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 （1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关； （2）一般地，锐角α的余角可以表示为（90°-α），一个角α的补角可以表示为（180°-α） ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°；（3）如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 知识点梳理04：垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【易错点拨】 （1）记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 【易错点拨】 （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【易错点拨】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 题型1：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2：立体图形中平行的棱 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    题型3：相交线 【典例精讲】（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 题型4：对顶角的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，与互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 题型5：对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线与交于点，若，则 ． 题型6：求一个角的余角 【典例精讲】（24-25七年级下·广东清远·期中）若与互余，，则 ． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 题型7：求一个角的补角 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则余角的补角等于 ． 题型8：与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知与互为余角，，则的补角是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 题型9：同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A． B． C． D． B． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）下列三个图中，一定能得出与相等的图形个数是（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 题型10：垂线的定义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 题型11：画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点画出射线或线段的垂线． (1) (2) (3) 题型12：垂线段最短 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 题型13：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线 【变式训练】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，在同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；用尺规画射线，使平分．若，的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川绵阳·中考真题）点在直线上，平分，，，则 ． 4．（2024·全国·中考真题）如图，直线，相交于点O，，则 度， 度． 5．（2024·上海·中考真题）如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果 ．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 基础夯实 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个角等于它的补角，则这个角是 （填“锐角”“直角”或“钝角”）． 5．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若与互余，与互补，若，则 ． 6．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 8．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． (1)依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； (2)若，求的度数． 培优拔高 11．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）下列说法中错误的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点可画无数条直线 C．一个角的补角一定大于这个角 D．同角的余角相等 12．（24-25七年级下·山东烟台·期末）通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角恰好是的余角的倍，此时在点至点内对应的时间应是(   ) A．点或点 B．点或点 C．点或点 D．点或点 13．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，在同一平面内，，平分，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 若，则的度数为 ． 17．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 18．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点在直线上，． (1)如图，若在直线上方，，求的度数； (2)如图，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 19．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若点D在直线下方且与互余，求的度数 20．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，与互为补角，与互为余角，平分且．求的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $