精品解析：四川省成都市金牛区第二十中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

成都20中初二数学试卷 一、选择题（每小题3分） 1. 实数，，，，，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．先化简实数，再根据无限不循环小数是无理数即可判断求解． 【详解】解：∵ ，，均为有理数； 0 是有理数； 中是无理数，故其为无理数； 是无理数； （相连两个 1 之间依次多一个 0）是无限不循环小数，故为无理数； ∴ 无理数有 ，，，共3个． 故选：C． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 3. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用估算无理数的方法得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， ∴4＜＜5， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 4. 下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 5. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）． A. B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 已知函数，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0且x-1≥0，解可得答案． 【详解】解：根据题意，得：x-2≠0且x-1≥0， 解得：x≥1且x≠2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 7. 如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 8. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 的平方根是________.－27 的立方根是________.． 【答案】 ①. ±2 ②. -3 【解析】 【详解】∵， ∴的平方根为±2； ∵， ∴－27的立方根为－3． 故答案为： 10. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入求值计算． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 11. 如图，在数轴上点P表示的实数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．根据勾股定理与无理数的关系，进行计算即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 点P表示的实数是． 故答案为：． 12. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的意义及应用，熟练掌握勾股定理的应用是做题的关键． 根据勾股定理和正方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理可知， 正方形与的面积和等于正方形的面积，正方形与的面积和等于正方形的面积，并且正方形与的面积和等于最大的正方形的面积， 因此，四个小正方形A、B、C、D的面积之和为最大的正方形的面积． 最大的正方形的边长是， 最大的正方形的面积为， 即图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是． 故答案为：． 13. 有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据数值转换器的原理，结合立方根、算术平方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故输出的y是， 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算： （2）计算： （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，立方根和平方根应用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，绝对值意义，进行求解即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （3）方程两边同除以3，再根据平方根定义，解方程即可； （4）先移项，然后根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， 方程两边同除以3得：， 开平方得：， 解得：，； （4）， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2）的平方根 【解析】 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，， ， 的整数部分3， ， ，，； 【小问2详解】 ，，， ， 的平方根． 16. 如图，在四边形中，，，，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 等腰直角三角形，理由： 在中，， 则，， ∵，即 ∴为等腰直角三角形，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）过点作，交延长线于点，通过证明得到，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交延长线于点，如下图： 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 17. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 18. （1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等；平行 （2）①结论：． 理由：延长到T，使得，连接． ∵， ∴同理（1）可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由中点的定义可得，，然后可证，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可解答； （2）①延长到T，使得，连接．先说明、，平行线公理得出，由勾股定理可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后运用等量代换即可解答；②长到T，使得，连接，延长交于点J．再证可得，再说明是等腰直角三角形，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：结论：，理由如下：． 如图1中，∵点O是线段的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：相等；平行． （2）①略 ②如图3中，延长到T，使得，连接，延长交于点J． ∵， ∴同理可证，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即． ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解答本题的关键． B卷（50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 若，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出a的值，然后代入式子求出m的值，最后求出am的值． 【详解】解：要使有意义，则， 解得， 故， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了求二次根式有意义的条件，二次根式的取值范围的基本依据是被开方数大于或等于零,当分母中含有二次根式时,还要保证分母不等于零,从而将其转化为解不等式或不等式组．若被开方数为非负数时,则取值范围是全体实数． 20. 已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，先根据数轴上，，的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可，解题的关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴ ∴ ， 故答案为：． 21. 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 据此写出的最小值是________；若a，b为正数，试运用构图法，自己构图并直接写出以，，为边的三角形的面积是________． 【答案】 ①. 5 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，运用几何构造法将代数问题转化为几何图形的线段和最小值问题，解题关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理解决问题，运用了数形结合的思想．先作交的延长线于点，易得四边形为矩形，再根据勾股定理可得，进一步得的最小值是，即可得出答案；分别以，为边长作矩形，则，，在上截取，设的中点为，连接，，，则，，再根据勾股定理分别表示出，，的长，进一步得为符合条件的三角形，最后利用面积公式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 在中，， 在中，， ． 如图1， 作交的延长线于点， ， 则四边形为矩形， ，， 在中，． ， 即当点，，共线时，取到最小值，最小值为线段的长， 的最小值是， 即的最小值是； 如图， 分别以，为边长作矩形，则，， 在上截取，设的中点为，连接，，， 则，， 由勾股定理得，， ， ， 为符合条件的三角形． ，，，， ， 以，，为边的三角形的面积是． 故答案为：；． 22. 如图1，在长方形中，，，点E为边上一动点，将沿着直线翻折后得到，请解决下列问题． 连接，当为直角三角形时，求出此时________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形性质、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 分两种情况：①当时，利用方程根据勾股定理求出；②当时，利用方程根据勾股定理求出即可． 【详解】解：在长方形中，， ，， ∵点E在上运动， 则， ①当时， 三点在同一直线上， 在中，根据勾股定理，得： ， ， 由折叠知：， 在中，根据勾股定理，得： ， 解得：； ②当时，即点F落在上时， 在中，根据勾股定理，得： ， ， 在中，根据勾股定理，得： ， 解得：； 综上所述，当为直角三角形时，求出此时或， 故答案为：或． 23. 如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝，则BE的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，证△BCP≌△FCE(SAS)，得∠BHF=90°，故点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，当点E与点H重合时，BE=BH最短，根据直角三角形性质得CP，正方形CPHE中，PH=CP= ，BH=BP+PH即可得出答案． 【详解】如图所示， 将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC,作直线FE交OM于H,则∠BCF=90°，BC=FC， ∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE， ∴∠PCE=90°，PC=EC， ∴∠BCP=∠FCE， 在△BCP和△FCE中， BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC， ∴△BCP≌△FCE(SAS)， ∴∠CBP=∠CFE， 又∵∠BCF=90°， ∴∠BHF=90°， ∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH， ∵BH⊥EF， ∴当点E与点H重合时，BE=BH最短， ∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°， ∴CP=BC= ，BP= = ， 又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE， ∴正方形CPHE中，PH=CP= ， ∴BH=BP+PH= ， 即BE的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行判断． 24. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3） ，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）利用分子有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 25. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 【答案】（1）是；（2）：：；（3）△ABC的面积为或6 【解析】 【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，再根据勾股定理求得AC的长，进而求出答案． 【详解】解：（1）∵22+42=4×=20， ∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 则a2+b2=c2，a2+c2=4b2， 则2a2=3b2，2c2=5b2 故，， 此三角形的三边长之比为：， 当b2+c2=4a2，同理可得结论 故答案为：； （3）当CD2+BD2=4×62时， ∵AD=BD=DC， ∴BD=DC=，AB= 在Rt△ABC中根据勾股定理 ， 此时， 当CD2+BC2=4×BD2时， ∵AD=BD=DC， ∴BD=DC=，AB=， 在Rt△ABC中根据勾股定理 ， 此时， 故△ABC的面积为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键． 26. 【问题发现】 （1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在中，易得，由，得，，之间的数量关系为__________． 【类比分析】 （2）如图所示，当点D在内部时，请问此时，，之间的数量关系为？并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）如图，和都是等腰直角三角形，，将绕点B逆时针旋转，连接，取中点F，连接，．其中，．若，，在旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）， 证明：将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，， ∴，， ∴， ， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴，， ∴， 在中，易得， ∴ （3）或 【解析】 【分析】问题发现：本小题先利用旋转构造，得到等腰和，利用勾股定理即可求解； 类比分析：本小题先利用旋转构造全等三角形和等腰，得出，利用勾股定理即可求解； 拓展延伸：本题要先构造辅助线证明，再设出未知数，在中，利用勾股定理建立一元二次方程，求出后，进一步求出． 【详解】问题发现 解：； 理由：将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，， ∴，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴， 在中，易得， ∴ ， 类比分析 略 拓展延伸 解：或； 理由如下：如图，当D点在线段上时，在上取点G，使， ∵点F为中点， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴，（负值舍去）， ∵， ∴； 如图，当D点在线段的延长线上时， 同理可证， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴，（负值舍去）， ∵， ∴； ∴或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，利用旋转的知识求解；本题涉及的知识点较多，知识点较综合，需要综合分析，本题运用了转化的思想与分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都20中初二数学试卷 一、选择题（每小题3分） 1. 实数，，，，，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（ ）个． A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 4. 下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）． A. B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知函数，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 7. 如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 的平方根是________.－27 的立方根是________.． 10. 已知，则________． 11. 如图，在数轴上点P表示的实数是________． 12. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是________． 13. 有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是______． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算： （2）计算： （3）解方程：； （4）解方程：． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 16. 如图，在四边形中，，，，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 17. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 18. （1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． B卷（50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 若，则__． 20. 已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：______． 21. 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 据此写出的最小值是________；若a，b为正数，试运用构图法，自己构图并直接写出以，，为边的三角形的面积是________． 22. 如图1，在长方形中，，，点E为边上一动点，将沿着直线翻折后得到，请解决下列问题． 连接，当为直角三角形时，求出此时________． 23. 如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝，则BE的最小值为________． 24. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 25. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 26. 【问题发现】 （1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在中，易得，由，得，，之间的数量关系为__________． 【类比分析】 （2）如图所示，当点D在内部时，请问此时，，之间的数量关系为？并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）如图，和都是等腰直角三角形，，将绕点B逆时针旋转，连接，取中点F，连接，．其中，．若，，在旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $