精品解析：新疆塔城地区第一高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

塔地一高2025-2026学年第一学期高一月考 高一数学试卷 命题人：朱永霞 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 3. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 4. 若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时 6. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为R的函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，若是奇函数，则满足f(x＋3)＋f(2x－1)＜0的x范围为（ ） A. (-∞，-) B. (-，+∞) C. (-∞，) D. (，+∞) 8. 已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”的否定为“” B. 若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 C. 函数与函数是同一个函数 D. 用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是  11. 下列命题为真命题的有（    ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则 C. 函数的零点是， D. 函数的零点所在区间可以是 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的单调递增区间为________． 13. 函数的单调递减区间是_____________; 14. 已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤） 15. 已知函数，其中a，b为常数，且，． （1）求a，b的值； （2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 16. 计算： （1） （2） （3）若，求的值； 17. （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 18. 已知函数，记集合A为的定义域. （1）求集合A； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）当时，求函数的值域. 19. 函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． （1）求的值； （2）求证：是R上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塔地一高2025-2026学年第一学期高一月考 高一数学试卷 命题人：朱永霞 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的概念运算. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及单调性进行判断． 【详解】对于A项，函数为非奇非偶函数，故A错误； 对于B项，函数为奇函数，故B错误； 对于C项，函数是偶函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D项，函数为非奇非偶函数，故D错误． 故选：C 3. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性可判断. 【详解】因为在上单调递增，所以； 因为在上单调递减，所以； 又因为在上单调递减，所以； 综上：. 故选：C 4. 若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是幂函数求得，由此求得所过定点. 【详解】∵是幂函数，∴，，∴过定点. 故选：A 5. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法，结合代入法、指数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时， 所以有，， 于是当时，（小时）. 故选：C 6. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可． 【详解】若在上为增函数， 则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 7. 已知定义域为R的函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，若是奇函数，则满足f(x＋3)＋f(2x－1)＜0的x范围为（ ） A. (-∞，-) B. (-，+∞) C. (-∞，) D. (，+∞) 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性与函数图像的“平移变换”可得的图像关于对称，由在上递增，可得在上递增，，化为，利用单调性可得结果. 【详解】是奇函数，关于原点对称， 因为的图像向右平移2个单位，可得到的图像， 的图像关于对称， 在[2，＋∞)上递增，在上递增， 在上递增， 是奇函数，， ， ，化为， 在上递增，，解得， 所以的范围是，故A，B，D错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 8. 已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出在上的值域及在上的值域，则可得，计算即可得解. 【详解】， 由，则， 当时，则， 则， 由任意的，均存在，使得， 则有，即. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分析函数的单调性，可得出，然后分、解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，故函数在上也为增函数， 且， 由可知，当时，，可得； 当时， ，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：BC. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”的否定为“” B. 若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 C. 函数与函数是同一个函数 D. 用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是  【答案】BD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、相同函数、二分法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，“”的否定为“”，所以A选项错误. B选项，函数的定义域为， 当时，如是偶函数. 当为奇函数，则， 所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确. C选项，函数的值域为；函数的值域是， 所以不是同一函数，C选项错误. D选项，令 方程在区间上有实数解， 所以下一个有根区间是 ，D选项正确. 故选：BD 11. 下列命题为真命题的有（    ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则 C. 函数的零点是， D. 函数的零点所在区间可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数型函数的性质可判定A正确；根据函数奇偶性求出函数的周期为4，从而可判定B正确；根据函数零点的定义和解法可判定C错误；根据零点存在性定理可判定D正确. 【详解】对于A：函数（且）, 令，即，代入得， 所以函数（且）的图像恒过定点，故A正确； 对于B：因为是定义在上的奇函数，所以且， 又是偶函数，所以， 所以，， 所以是以为周期的周期函数， 所以，故B正确； 对于C：令得和， 所以函数的零点是和1， 函数的零点是使的自变量的值（不是点）,故C错误； 对于D：函数是定义域为上的连续函数，且在时单调递增， 又，，所以的零点所在区间可以是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的单调递增区间为________． 【答案】和 【解析】 【分析】先求出函数定义域，构造反比例函数，利用反比例函数性质得出的单调性，进而得出的单调性及单调区间． 【详解】函数中，故定义域为和， 令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减， 在定义域和内单调递增， 的单调递增区间为和． 故答案为：和． 13. 函数的单调递减区间是_____________; 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性得到答案. 【详解】由得或，令，该函数在上递减，在上递增， 函数在上单调递增，求函数的单调递减区间， 即求在定义域上的单调递减区间，所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 14. 已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出． 【详解】是上的单调递增函数， 在，上单调递增， 可得， 且，即， 作出和的函数草图如图所示： 由图象可知在上有且只有一解， 可得，或，即有△， 即有或； 由，解得，即时，有且只有一解． 则的范围是，． 故答案为，． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤） 15. 已知函数，其中a，b为常数，且，． （1）求a，b的值； （2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求解即得. （2）利用减函数的定义推理得证. （3）利用（2）的结论，求出函数在指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数，由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，任取， 则， 由，得，，， 则，即， 所以函数在区间上是减函数. 【小问3详解】 由（2）得函数在区间上是减函数， 则当时，，当时，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 计算： （1） （2） （3）若，求的值； 【答案】（1） （2）5 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合指数幂的运算性质、完全平方公式进行求解即可； （2）运用对数的运算性质，结合换底公式进行求解即可； （3）根据指数式和对数式的互化公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为， 所以， 则. 17. （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18. 已知函数，记集合A为的定义域. （1）求集合A； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域关于原点对称， 又， 故为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数型复合函数定义域的求法即可得解； （2）利用函数的奇偶性判断即可； （3）令，利用二次函数与指数函数的单调性求复合函数的值域即可. 【小问1详解】 对于， 有，解得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则其图象开口向上，对称轴为，又， 所以在上单调递增， 当时，；当时，； 所以，又在上递减， 所以，即 故的值域为. 19. 函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． （1）求的值； （2）求证：是R上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据题中条件，令，即可求出结果； （2）设且，取，，根据题中条件，作差比较，根据单调性的定义，即可证明结论成立； （3）由（1）（2），将不等式化为，求出的最大值，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数对任意的实数a，b，都有， 令，则，所以； （2）设且，取，， 则，即， 由于当时，，因为，所以， 即， 由增函数的定义可知是R上的增函数； （3）不等式等价于， 由（2）可知是R上的增函数， 故在R上恒成立， 下面求函数的最大值： 令，，其对称轴为，故有： 当时， 函数递增，函数递增，故函数递增； 当时，函数递增，函数递减，故函数递减； 因此，函数在时有最大值，即所求范围为. 【点睛】方法点睛： 定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取，，规定， 2.作差：计算； 3.定号：确定的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $