数列的综合问题专项练-2026届高三数学二轮专题复习

数列的综合问题 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 3．已知是等差数列的前n项和，若，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D．21 4．设为数列的前n项和，若对，均有，则称数列为“天梯数列”．在数列中，，，若数列为“天梯数列”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的首项为，若的前n项积，则（   ） A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项 6．在递增数列中，，．已知表示前n项和的最小值，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．对于给定数列，如果存在常数使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”．下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是“数列” B．若，则数列是“数列” C．若数列是“数列”，则数列是“数列” D．若数列满足为常数，则数列前2024项的和为 8．过圆内一点有条弦的长度成等差数列，数列的首项等于过点的最短弦的长度，等于过点的最长弦的长度，若公差，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（    ） A．数列是单调数列 B．当时， C．当时， D．数列的个数为 三、填空题 10．已知数列中，（为自然对数的底数），当其前项和最小时， ． 11．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.如果设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； . 12．记为数列的前n项和，且，已知每一项中每个数字出现的可能性相同，则是奇数的概率为 ． 13．已知等比数列的公比，且，则当取得最小值时， . 14．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ． ①存在递增数列，使得它是“超神数列”； ②存在周期数列，使得它是“超神数列”； ③存在等差数列，使得它是“超神数列”； ④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列． 四、解答题 15．已知函数在上有定义，，且满足对任意有，在数列中，． (1)求证：在上为奇函数． (2)求的解析式． (3)是否存在自然数，使得对于任意，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 16．已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 17．已知的首项为整数，其奇数项依次成公差为2的等差数列，偶数项依次成公差为3的等差数列．记为数列的前项和，是等比数列，，，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求满足的的最小值． 18．设数列的前项的和为. (1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求； (2)若，求证：. 19．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B B D B C AC CD BCD 1．D 根据充分必要的定义判断． 对于充分性：当时，单调递增，但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，充分性不成立； 对于必要性：当时，单调递增， 但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，必要性不成立； 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件． 故选：． 2．B 由高阶等差数列的定义，通过列举即可求解. 由， ， ， ，可知： ，即 ，即 ，即， 即第8项是， 故选：B 3．B 本题可先根据等差数列的性质求出，再表示出，进而得到的表达式，最后根据二次函数的性质求最小值. 在等差数列中，已知， ， 则，解得. 根据等差数列的前项和公式可得. 所以， 将其看作关于的二次函数，二次函数， 当时，取得最小值，最小值为 . 故选：B 4．D 根据条件可先推出为等比数列，由天梯数列的定义，等比数列的求和公式，列出关系式得出关于等比数列公比的不等式即可求解. 由整理可得， 即，则数列为等比数列， 设其公比为q，，由为“天梯数列”可知，则． 由得，整理得，则． 由题得，， 因为函数在单调递减，值域为， 因此，解得， 故的取值范围，即的取值范围为． 故选：D 5．B 由与关系可得，化简可得，从而得即可求解. 因为，所以， 所以，则． 又，所以是首项为3，公差为1的等差数列， 所以，故， 所以是递增数列，故有最小项，无最大项． 故选:B 6．C 由题意依次确定数列的前9项的值，结合三角函数诱导公式，即可得答案. 由题意在递增数列中，，， 则，故， 则或，结合题意取； 又，则或， 结合题意取； 同理，则或， 结合题意取， 同理，则或， 结合题意取， 同理，则或， 结合题意取，同理可得，，， 故前9项和的最小值 ， 可得， 故选：C 7．AC 由“数列”的定义代入计算，即可判断ABC，由分组求和以及等比数列的求和公式代入计算，即可判断D. 对于A，因为，所以， 由“数列”的定义知，数列是“数列”，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以数列是“数列”，故B错误； 对于C，因为数列是“”，所以存在常数使得对于任意都成立， 显然对于任意都成立， 所以对于任意都成立， 数列是“数列”，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以数列前2024项的和为 ，故D错误． 故选：AC． 8．CD 将圆的方程化为标准方程的形式，其中为圆心坐标，为半径.通过配方可得圆的标准方程，从而确定圆心和半径. 过圆内一点的最短弦是与圆心和该点连线垂直的弦，最长弦是直径.根据圆的性质求出和. 再根据等差数列的通项公式，结合公差的范围求出的取值范围，进而确定可能的值. 圆的方程可化为. 所以圆心，半径. 过点的最短弦是与垂直的弦， 因为，，所以. 根据勾股定理，. 过点的最长弦为直径，所以. 由等差数列通项公式，可得，即. 因为，所以，，. 故的值可能是5或6. 故选：CD. 9．BCD 根据已知条件以及数列的性质对选项逐一判断. 因为数列满足，即必须在和之间， 无法满足单调性，所以A错误； 对于B，当时，各项大小关系为： ； 或者 从而或， 故，B正确； 当时，同B的分析可得： 或： ， 而各项均为正整数，故，C正确； 从项中选项有种方式，由BC的分析可得： 当时，各项的排列次序唯一确定，且为所有项中的最大项， 为所有项中的最小项，为余下项的最大项，为余下项中的最小值， 类似确定； 当时，同理可得各项的排列次序唯一确定； 故数列的个数为，D正确. 故选：BCD. 10．5或6 根据已知分析数列中，当时，且，根据前项和的概念即可求解. 因为，所以当时， 且当时，， 所以数列中，当时，且， 因为， 所以最小时，或6. 故答案为：或. 11． 记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，利用全概率公式列式，再借助数列递推公式求通项判断作答. 记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，， ，则， 于是得，即， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是. . 故答案为：①；②. 12． 记“为奇数”的概率为，“为奇数”的概率为，分析可知，然后利用等比数列通项公式求得，即可求解. 记“为奇数”的概率为，“为奇数”的概率为， 分析可知，当为奇数时，若，则仍然为奇数， 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，又，， 所以数列为等比数列， 所以，即， 故． 故答案为： 13．16 将用含的一元函数进行表示，再求导得到符合条件的值即可得解. 由等比数列的概念可得，设，要使取得最小值，则函数要取得最小值，等价于函数取得最小值， 易得， 令，解得，因为， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 故当时，取得最小值，此时. 故答案为：16 14．①②④ 可通过列举数列判断①②，对于③，可分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，设等比数列首项为，公差为，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 对于①，当时，，， ，即，故①正确； 对于②，当周期数列为，周期为2，对任意的，都有，故②正确； 对于③设等差数列首项为，公差为，则，， ，对任意的恒成立， 当，是开口向上的二次函数， 当，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，也不符合题意； 综上，不存在等差数列，使得它是“超神数列”，故③错误； 对于④，设等比数列首项为，公差为，， ， 当为奇数时，，则，要使， 所以就符合题意； 当为偶数时，， ， 又，，所以，即， 综上，当，对于任意，存在，使得为超神数列，故④正确. 故答案为：①②④ 15．(1)证明见解析 (2) (3)存在， （1）利用赋值法结合奇函数定义求解； （2）令，再利用奇偶性求得，利用等比数列的通项公式求通项； （3）由等比数列求和公式求得，从而问题转化为恒成立，即可求解. （1）当时，；令，得，即， 对任意的，故在上为奇函数． （2）由满足，得． 由在上为奇函数，得； 由，得， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所有． （3）， 假设存在自然数，使得对于任意，有成立， 即恒成立，则，解得． 故的最小值为16． 16．(1)； (2)证明见解析. （1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到， 可得，累加即可证. （1）由，又由题意知，， 左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； （2）令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以. 17．(1)； (2). （1）利用基本量法可求即可求解； （2）先由(1)求出数列的通项公式，就的奇偶性分类计算可求满足的的最小值． （1）因为，故，故即， 而，故，故， 而即为，故， 故或，当时，，不合题意，舍； 故，此时，故. （2）由（1）得，， 所以，即，即， 当为偶数时，， 令， 因为，； 当为奇数时，， 令， 因为，， 又因为和均单调递增， 故的最小值为. 18．(1)或 (2)证明见解析 （1）由等差数列前n项和公式以及等比中项公式列出等量关系式并转化成首项和公差来表示即可求解. （2）先由，进而由累乘法结合求出即可由得解. （1）由题意知，故， 解得，所以或. （2）因为①，所以②， 所以由②①得，， 所以时，， 所以由得， 所以， 显然也符合上式，所以， 所以. 19．(1) (2)证明见解析 （1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立. （1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $