第二十六章 反比例函数 章末综合题-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章 反比例函数 一、单选题 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象位于（    ） A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二三象限 D．第二四象限 3．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数过点，则的值为（    ）． A．9 B． C．3 D． 7．已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 9．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 10．反比例函数与一次函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．  B．   C．  D．   二、填空题 11．反比例函数的图象在第一、三象限，则k的取值范围为 ． 12．反比例函数与一次函数的图象交于点，则k的值为 ． 13．若一个反比例函数的图象经过点和点，则这个反比例函数的解析式为 ． 14．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（单位：）与汽缸内气体的体积V（单位：）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加到，则气体体积压缩了 ． 15．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的解析式是 ． 16．如图，已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上．若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ． 三、解答题 17．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． (1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)出口到轴的距离的长是多少？ 18．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 19．如图，红十字会的图标是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，把它置于一平面直角坐标系中，已知，某反比例函数的图象经过红十字图形上方左侧的端点A． (1)求该反比例函数的解析式． (2)该反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点 B 吗? 并说明理由． 20．如图，，都是等腰直角三角形，点在的图象上，斜边都在x轴上，求点的坐标． 21．如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 22．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求的值； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 24．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当面积最大时，求点的坐标． 25．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D A D D B D 1．B 本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k为常数，的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有B选项中的函数是反比例函数， 故选：B． 2．B 根据图象过点，求出值，进行判断即可． 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴双曲线过一、三象限； 故选B． 本题考查判断反比例函数图象所经过的象限．解题的关键是求出值，熟练掌握反比例函数的性质． 3．C 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 4．C 本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而减小，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 解：∵点，，在反比例函数上，， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 5．D 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意可得，即得或，再根据图象分布的象限即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 解：∵轴于点，的面积为， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 6．A 将代入中得到，进行计算即可得到答案． 解：反比例函数过点， ， 解得：， 故选：A． 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 7．D 根据反比例函数的性质分别判断各选项即可解答． 解：反比例函数，点，都在其图象上， A、，图像分布在第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； B、，当时，y随x的增大而增大，正确，故本选项不符合题意； C、，则图像经过点，正确，故本选项不符合题意； D、点，都在其图象上但不一定在同一象限，若，则错误，故本选项符合题意； 故选：D． 本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握：反例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 8．D 本题考查反比例函数的图象与应用，掌握好系数k的意义是解题关键． 根据反比例的图象先求出系数k，再逐一判断选项． 解：设反比例函数的解析式为：， 由图可知，反比例函数的图象过点， 将，，代入解析式得， ，即， ∴，故A错误； 对于选项B，由欧姆定律可知，蓄电池电压，故B错误； 对于选项C，当时，，故C错误； 对于选项D，当时，，即，故D正确． 故选：D． 9．B 利用函数图象法进行求解即可． 解： 由函数图象可知，当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即此时， ∴若，则的取值范围是或， 故选：B． 本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确找出正比例函数图象在反比例函数图象的上方时自变量的取值范围是解题的关键． 10．D 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 解：当 ∴比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故A，B选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，一次函数经过一、二、四象限，故C选项错误，D选项正确， 故选：D． 本题考查了反比例函数图象与性质，一次函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 11． 12．6 13． 14．20 易得p关于V的函数解析式为．当时，V；当时，，若压强由加到，则气体体积压缩了． 15． 设，则．点B，E在同一个反比例函数的图象上，（非正值已舍去），，∴该反比例函数的解析式为． 16．5或或 分两种情况讨论：当为腰时，；当为底，即时，．设，（负值已舍去），点A的坐标为或，或．综上所述，的长为5或或． 17．(1) (2) 本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． （1）解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． （2）解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长时米 18．(1) (2) 本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案； 对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案． （1）如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴点； （2）将点代入， 得， ∴． 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 19．(1)该反比例函数的解析式为 (2)反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B，理由见解析 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据题意得出点A的坐标，根据待定系数法即可求得； （2）根据题意得出点B的坐标，把代入，求得函数值，即可判断． （1）解：由题意可知红十字图形的每个正方形的边长为1，且， ∴， 设反比例函数的解析式为，则， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可得，点B的坐标是， 把代入，得， ∴反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B． 20．点的坐标为． 本题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴，由于是等腰直角三角形，因而，因而可以设点的坐标是，把代入解析式即可求出，因而求出的坐标是，进一步得到，再根据是等腰直角三角形，设的纵坐标是，因而横坐标是，把的坐标代入解析式，即可求出，然后即可求出点的坐标． 解：如图，过点作轴于， 是等腰直角三角形， ∴， ， 设点的坐标是， 把代入解析式得到， 的坐标是， 则， 是等腰直角三角形，过点作轴于， 设的纵坐标是， 横坐标是， 把的坐标代入解析式， ， （负值已舍）， 点的横坐标为， 点的横坐标是， 点的坐标是． 21．(1)，自变量的取值范围为 (2)当，时，围建矩形小花园所需材料最省 （）根据矩形的面积可得与之间的函数表达式，再根据墙长可得自变量的取值范围； （）根据与的函数表达式及的取值范围且，都为整数，可得可取值为，对应的取值为，进而根据得到有两种情况：，或，，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）解：由题意知，， 与之间的函数表达式为， ∵墙长为， ∴自变量的取值范围为； （2）解：由（）知，，且，都为整数， 可取值为，对应的取值为， ∵， ∴有两种情况：，或，， 当，时，需要材料：； 当，时，需要材料：； ， ∴当，时，围建矩形小花园所需材料最省． 22．(1)， (2) 本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式 是解题的关键． （1）根据解析式求出点的坐标，根据点的坐标和点的坐标得出三角形的面积，根据面积比求出三角形的面积，设出点的坐标，根据面积求出的值，再用待定系数法求出即可； （2）根据点的坐标得出点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可． （1）解：∵直线与y轴交点为， ∴， 即 ， ∵点的横坐标为， ， ， ， 设， ， 解得， ∵点在双曲线上， 把点代入得 ，； （2）解： ∵将四边形分成两个面积相等的三角形， 解得 或 (不符合题意，舍去)， ∴点的坐标为． 23．(1) (2)4 本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． （1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 24．(1) (2) 本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入反比例函数解析式并求解即可； （2）设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可． （1）解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴将点代入直线， 可得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）如下图，设与轴交于点， ∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图像于点， ∴可设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为4， 此时． 25．(1)， (2)点P坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 此题考查了反比例函数和一次函数交点问题． （1）先求出，再利用待定系数法进行解答即可； （2）先求出，根据，又，解得：，则，即可求出答案； （3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可． （1）解：把代入得， ， ， 把代入， 得， 反比例函数的函数表达式为 （2）解：当时， ， ， ， ， ， 又， 解得：， ， 点P坐标为； （3）解：①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则， 点； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：，               ∴， 设直线表达式为，则有 ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $