专题03一元二次方程的应用寒假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题03一元二次方程的应用寒假预习讲义 【10大经典题型+同步专练共计46题】 重点突破（必须吃透的核心内容） 1.找准等量关系，完成 “实际问题→数学方程” 的转化 这是解应用题的核心抓手。无论是增长率、面积、利润还是传播问题，都要从题干中圈画关键信息，匹配对应题型的核心公式，建立一元二次方程模型。 2.规范解题步骤，落实 “验根” 的关键环节 解一元二次方程应用题的 “审、设、列、解、验、答” 六步中，“验” 是得分关键。不仅要检验解是否满足方程，更要检验是否符合实际意义（如长度、人数不能为负，增长率需在 0∼1 之间），避免出现 “解题正确，答案无效” 的情况。 3.掌握五大经典题型的解题套路 增长率 / 下降率、几何面积、营销利润、数字、传播问题是考试高频考点，需熟记每种题型的公式模型 + 设未知数技巧，做到 “见题辨型，快速建模”。 难点攻坚（易混淆、易丢分的易错内容） 1.复杂场景下的等量关系辨析 *几何面积问题中，涉及 “修路、裁边、拼接” 时，易混淆图形边长的变化关系。 *利润问题中，售价变化与销量变化的 “反向关系” 易出错，需牢记 “售价涨→销量减，售价降→销量增” 的对应规律。 2.“直接设元” 与 “间接设元” 的灵活选择 部分题目直接设所求量会导致方程复杂，需用间接设元法简化计算。 3.含参数方程的解的合理性判断 遇到题干中含未知参数的应用题时，不仅要解出方程的根，还要结合参数的取值范围，进一步筛选符合实际的解。 1.一元二次方程应用:传播问题 2.一元二次方程应用:增长率问题 3.一元二次方程应用:与图形有关的问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程问题 8一元二次方程应用:行程问题 9.一元二次方程应用:其他应用问题 10.一元二次方程应用:握手 循环赛问题 同步 专练 单选题(5) 填空题(4) 解答题(7). · 审：审题，找出已知量和未知量，明确数量关系； · 设：设未知数（直接设或间接设，带单位）； · 列：根据等量关系列出一元二次方程； · 解：解这个方程，求出未知数的值； · 验：检验方程的解是否符合实际意义（如长度、人数不能为负，不能为小数等）； · 答：写出答案（带单位）。 题型1.一元一次方程应用之传播问题 核心规律 若 1 人传播，每人每次传播x人，则： 第 1 轮传播后：1+x 人感染 第 2 轮传播后：1+x+x(1+x)=(1+x)2 人感染 【典例】张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【答案】每人每周能够号召10人加入“志愿服务团” 【分析】设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据每人每周能够号召相同人数加入列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得： ， 即， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 【跟踪专练1】诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 【跟踪专练2】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 题型2.一元二次方程应用之增长率问题 核心公式 若初始量为a，平均增长率为x，则： 1 次增长后：a(1+x) 2 次连续增长后：a(1+x)2=b（b为最终量） 若平均下降率为x，则 2 次连续下降后：a(1−x)2=b 注意：增长率 / 下降率 x 是小于 1 的正数（即 0<x<1） 【典例】宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为． 【跟踪专练1】为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【答案】(1)一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 (2)四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，读懂题意是解题的关键． （1）根据变化前数量变化后数量，列出方程求解即可． （2）根据（1）中月平均增长率，先求出四月份新建智能充电桩个数，再作差求出下半月新建智能充电桩个数，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得（负值已舍去）， 故一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：∵（个）， （个）， （个）， ∴四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个． 【跟踪专练2】安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 题型3.一元二次方程应用之与图形有关的问题 1.基础矩形 / 正方形 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽；正方形面积 = 边长 ² 核心等量关系：① 已知周长时：2×(长 + 宽)= 周长，结合长 × 宽 = 面积列方程；② 已知边长关系时：用未知数表示长和宽，代入面积公式。 2.靠墙围矩形 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：① 篱笆总长 = 2× 垂直墙边长 + 平行墙边长；② 垂直墙边长 × 平行墙边长 = 矩形面积。 3.矩形内修单条横 / 竖小路 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：① 修竖路：剩余面积 = (原长 - 路宽)× 原宽；② 修横路：剩余面积 = 原长 ×(原宽 - 路宽)。 4.矩形内修横竖各一条小路（宽度相同） 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：剩余面积 = (原长 - 路宽)×(原宽 - 路宽)。 5.矩形内修两条平行小路 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：① 两条竖路：剩余面积 = (原长 - 2× 路宽)× 原宽；② 两条横路：剩余面积 = 原长 ×(原宽 - 2× 路宽)。 补充提醒 解出的边长、路宽必须为正数，且不能超过原图形的尺寸。 靠墙围图形时，需额外检验平行墙的边长 ≤ 墙的长度。 【典例】如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长．    【答案】8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式面积的计算方法是解题的关键． 设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，根据围成一个面积为平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设矩形草坪边的长为米，则边的长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：的长为米． 【跟踪专练1】如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了代数式，一元二次方程的应用，掌握长方体的体积公式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式可得，求出，再结合图形求解即可． （2）根据图中阴影部分的面积为平方米，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米， ， ， 长方形纸板的长为米，长方形纸板的宽为米， 故答案为：，； （2）图中阴影部分的面积为平方米， ，即， 解得， 纸盒的容积为立方米． 【跟踪专练2】如图，在面积为的正方形的四个直角处，分别剪去四个面积均为的小正方形，制成一个无盖的长方体盒子． (1)用含a的式子表示这个长方体盒子的底面边长； (2)若该长方体盒子的容积为，求a的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和一元二次方程的解法，解决此题的关键是根据题意列出式子和方程； （1）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长即可； （2）根据体积公式得到方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题可知： ， 故这个长方体盒子的底面边长为； （2）解：由长方体的体积公式可知：， 整理得，， 解得：（舍去） ∴a的值为． 题型4.一元二次方程应用之数字问题 核心思路 两位数表示方法：十位数字为a，个位数字为b，则两位数为 10a+b； 三位数表示方法：百位a、十位b、个位c，则三位数为 100a+10b+c。. 【典例】已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x，则： ， 整理得， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 则这个数为或． 【跟踪专练1】《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 【跟踪专练2】.第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 题型4.一元二次方程应用之营销问题 核心公式 单件利润 = 单件售价 - 单件进价 总利润 = 单件利润 × 销售量 销量变化规律：售价每涨 / 降m元，销量对应减 / 增n件 【典例】某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元． (1)根据题意，填表： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 ___________ 涨价后 ___________ ___________ / (2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)3元 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意用代数式填表即可； （2）设每件应涨价元，结合（1）中的表格，再根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，填表如下： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 2100 涨价后 / （2）解：设每件应涨价元， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：每件应涨价3元． 【跟踪专练1】某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【答案】(1)4000元 (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）利用总收入销售单价销售数量，即可求出结论； （2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为千克，根据要使该农户一天的销售总收入为4300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要扩大销售，即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）， 答：该农户这一天销售的总收入为4000元； （2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得： ， ， ， ， 解得或． 当时，销售量为； 当时，销售量为， 因为要扩大销售，， 故． 答：在县城内销售单价应该降价3元． 【跟踪专练2】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加_______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价10元或20元 (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见详解 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每件衣服降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每件服装降价10元或20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解， 即不可能每天盈利1800元． 题型6.一元二次方程应用之动态几何问题 核心公式与等量关系必记 动态问题仍基于基础几何公式，重点关注“变化量的表示”，核心关系如下： 运动基础：路程 = 速度 × 时间（设运动速度为v，时间为t，则移动距离为vt，用于表示边长变化）。 面积公式：同静态图形（矩形=长×宽、三角形=底×高÷2、梯形=（上底+下底）×高÷2），仅边长/高用含未知数的代数式表示。 关键等量：① 面积等量（某时刻面积等于定值）；② 边长等量（移动后线段相等、垂直或平行对应的长度关系）；③ 重叠/剩余面积等量（动态过程中重叠部分或剩余部分面积给定）。 【典例】如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 【跟踪专练2】如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理； （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 题型7.一元二次方程应用之工程问题 基础核心公式 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 工程问题中，通常将总工作量设为1由此推导： 单人 / 单队工作效率 = 工作效率 = 核心等量关系（结合一元二次方程应用场景） 1. 效率提升 / 下降类（高频考点，列一元二次方程） 若原工作效率为a，平均每次效率提升率为x，则 1 次提升后效率：a(1+x) 2 次连续提升后效率：a(1+x)2 等量关系：次提升后的效率对应时间总工作量（或指定工作量） 同理，效率下降率为x时，2 次连续下降后效率：a(1−x)2 2. 多人 / 多队合作类 总工作效率 = 各队 / 各人工作效率之和 等量关系 1：总效率×合作时间=1（完成全部工作） 等量关系 2：甲工作量+乙工作量=1（甲、乙分阶段完成工作） 3. 分阶段完成工作类 等量关系：第一阶段工作量+第二阶段工作量=总工作量（1） 【典例】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 【跟踪专练1】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【跟踪专练2】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型8.一元二次方程应用之行程问题 基础核心公式 1.路程 = 速度 × 时间（s=vt） 2.变形公式：速度 v=​；时间 t= 3.行程问题中，总路程、固定路段长度是列方程的关键依据 【典例】是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【跟踪专练1】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【跟踪专练2】一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 题型9.一元二次方程应用之其他应用问题 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度，稀释/混合后溶质总量不变，核心为“溶质守恒”。 配套问题：按比例配套（如1个部件配2个零件），总量需满足配套比例，避免过剩。 【典例】某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，全班共互赠了182张，那么兴趣班有多少位学生？ 【答案】14位 【分析】根据共送出贺卡数=共有人数×每人需送出的贺卡数，列出方程，求出方程的解即可，注意x取正整数． 【详解】解：设兴趣班有位学生， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍） 答：兴趣班有14位学生． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意除了不给自己送贺卡外，其余同学都需送出． 【跟踪专练1】高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 【答案】(1)一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒 (2)该物品坠落到地面大约用了3秒 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可得，然后问题可求解； （2）由题意可得，然后把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：（负根舍去）； 答：该物品坠落到地面大约用了3秒． 【跟踪专练2】某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘． 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 年平均亩产量达到． (1)若 年到年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率． (2) 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积亩，每亩种植成本为万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变． 【答案】(1)“红美人”平均亩产量的年增长率为 (2)年该合作社应增加种植面积亩 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，如增长率问题等，解题中需掌握不同类型应用题的对应方法． （1）增长率问题，可根据（其中为基数，为最终值，为增长率，为年份间隔），即可求解； （2）设增加种植面积亩，根据两种成本相同列方程即可． 【详解】（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为，可得： ， 解得，（舍去） 答：种植“红美人”平均亩产量的年增长率为； （2）解：设2025年该合作社应增加种植面积m亩，可得： ， 解得，（舍去），， 答：2025年该合作社应增加种植面积20亩． 题型10.一元二次方程应用之握手.循环赛问题 核心公式 设参与的人数（或球队数）为n 握手总次数 = ​ 原理：每个人要和其余n−1人握手，总共n(n−1)次，但每两人的握手会被重复计算一次，因此除以 2。 单循环赛总场数 = 原理：和握手问题一致，每两队只赛一场，无重复对阵。 核心等量关系 总握手次数/总比赛场数 【典例】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 【跟踪专练1】八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 【跟踪专练2】象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 一.单选题 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故每个支干长出7支小分支， 故选：B． 2．股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．先设原价为a元，可得跌停后的价格，再根据增长两天回到原价列出方程即可． 【详解】解：设原价为a元，则跌停后的价格，根据题意，得 ， 即． 故选：B． 3．如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 4．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 5．某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得． 故答案为：B 二.填空题 6．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【答案】10 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出，的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则，，根据图形知，根据勾股定理列出方程，解出即可． 【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 7．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可列方程为， 故答案为：． 9．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 三.解答题 10．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 11．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 12．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再用40米长的篱笆围三面，形成一个矩形花园（院墙长25米）． (1)设米，则 米； (2)若矩形花园的面积为150平方米，求篱笆的长． 【答案】(1) (2)篱笆长为15米． 【分析】本题主要考查列代数式、一元二次方程的应用，注意篱笆只围三面有一面是墙. （1）根据题意知道的长度=篱笆总长列出式子即可； （2）根据（1）中的代数式列出一元二次方程方程，解方程即可. 【详解】（1）解：∵米，，米， ∴(米)． 故答案为：； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，（符合题意）． 答：花园面积为150平方米时，篱笆长为米． 13．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 14．如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1 (3)点D、E运动时，的长不可以是，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，列代数式，勾股定理，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）根据图形面积之间的关系可得的面积是的面积的4倍，求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）利用勾股定理可建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴； （2）解：∵在，，， ∴； ∵的面积等于四边形的面积的， ∴四边形的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的4倍， ∴的面积为， ∴， ∴， 解得； （3）解：点D、E运动时，的长不可以是，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∴当时，有， 解得， 此时， ∴原方程无解， ∴点D、E运动时，的长不可以是． 15．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 16．某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． (1)若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ (2)原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【答案】(1)B生产线至少生产护目镜7小时 (2)该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量的关系，正确列出一元一次不等式；列出一元二次方程． （1）设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂每天生产护目镜总数量不少于个，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂实际一天生产的护目镜将比原计划多个，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为7． 答：生产线至少生产护目镜7小时； （2）解：设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元二次方程的应用寒假预习讲义 【10大经典题型+同步专练共计46题】 重点突破（必须吃透的核心内容） 1.找准等量关系，完成 “实际问题→数学方程” 的转化 这是解应用题的核心抓手。无论是增长率、面积、利润还是传播问题，都要从题干中圈画关键信息，匹配对应题型的核心公式，建立一元二次方程模型。 2.规范解题步骤，落实 “验根” 的关键环节 解一元二次方程应用题的 “审、设、列、解、验、答” 六步中，“验” 是得分关键。不仅要检验解是否满足方程，更要检验是否符合实际意义（如长度、人数不能为负，增长率需在 0∼1 之间），避免出现 “解题正确，答案无效” 的情况。 3.掌握五大经典题型的解题套路 增长率 / 下降率、几何面积、营销利润、数字、传播问题是考试高频考点，需熟记每种题型的公式模型 + 设未知数技巧，做到 “见题辨型，快速建模”。 难点攻坚（易混淆、易丢分的易错内容） 1.复杂场景下的等量关系辨析 *几何面积问题中，涉及 “修路、裁边、拼接” 时，易混淆图形边长的变化关系。 *利润问题中，售价变化与销量变化的 “反向关系” 易出错，需牢记 “售价涨→销量减，售价降→销量增” 的对应规律。 2.“直接设元” 与 “间接设元” 的灵活选择 部分题目直接设所求量会导致方程复杂，需用间接设元法简化计算。 3.含参数方程的解的合理性判断 遇到题干中含未知参数的应用题时，不仅要解出方程的根，还要结合参数的取值范围，进一步筛选符合实际的解。 1.一元二次方程应用:传播问题 2.一元二次方程应用:增长率问题 3.一元二次方程应用:与图形有关的问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程问题 8一元二次方程应用:行程问题 9.一元二次方程应用:其他应用问题 10.一元二次方程应用:握手 循环赛问题 同步 专练 单选题(5) 填空题(4) 解答题(7). · 审：审题，找出已知量和未知量，明确数量关系； · 设：设未知数（直接设或间接设，带单位）； · 列：根据等量关系列出一元二次方程； · 解：解这个方程，求出未知数的值； · 验：检验方程的解是否符合实际意义（如长度、人数不能为负，不能为小数等）； · 答：写出答案（带单位）。 题型1.一元一次方程应用之传播问题 核心规律 若 1 人传播，每人每次传播x人，则： 第 1 轮传播后：1+x 人感染 第 2 轮传播后：1+x+x(1+x)=(1+x)2 人感染 【典例】张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【跟踪专练1】诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【跟踪专练2】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 题型2.一元二次方程应用之增长率问题 核心公式 若初始量为a，平均增长率为x，则： 1 次增长后：a(1+x) 2 次连续增长后：a(1+x)2=b（b为最终量） 若平均下降率为x，则 2 次连续下降后：a(1−x)2=b 注意：增长率 / 下降率 x 是小于 1 的正数（即 0<x<1） 【典例】宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【跟踪专练1】为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【跟踪专练2】安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 题型3.一元二次方程应用之与图形有关的问题 1.基础矩形 / 正方形 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽；正方形面积 = 边长 ² 核心等量关系：① 已知周长时：2×(长 + 宽)= 周长，结合长 × 宽 = 面积列方程；② 已知边长关系时：用未知数表示长和宽，代入面积公式。 2.靠墙围矩形 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：① 篱笆总长 = 2× 垂直墙边长 + 平行墙边长；② 垂直墙边长 × 平行墙边长 = 矩形面积。 3.矩形内修单条横 / 竖小路 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：① 修竖路：剩余面积 = (原长 - 路宽)× 原宽；② 修横路：剩余面积 = 原长 ×(原宽 - 路宽)。 4.矩形内修横竖各一条小路（宽度相同） 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：剩余面积 = (原长 - 路宽)×(原宽 - 路宽)。 5.矩形内修两条平行小路 基础面积公式：矩形面积 = 长 × 宽 核心等量关系：① 两条竖路：剩余面积 = (原长 - 2× 路宽)× 原宽；② 两条横路：剩余面积 = 原长 ×(原宽 - 2× 路宽)。 补充提醒 解出的边长、路宽必须为正数，且不能超过原图形的尺寸。 靠墙围图形时，需额外检验平行墙的边长 ≤ 墙的长度。 【典例】如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长．    【跟踪专练1】如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 【跟踪专练2】如图，在面积为的正方形的四个直角处，分别剪去四个面积均为的小正方形，制成一个无盖的长方体盒子． (1)用含a的式子表示这个长方体盒子的底面边长； (2)若该长方体盒子的容积为，求a的值． 题型4.一元二次方程应用之数字问题 核心思路 两位数表示方法：十位数字为a，个位数字为b，则两位数为 10a+b； 三位数表示方法：百位a、十位b、个位c，则三位数为 100a+10b+c。. 【典例】已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【跟踪专练1】《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【跟踪专练2】.第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 题型4.一元二次方程应用之营销问题 核心公式 单件利润 = 单件售价 - 单件进价 总利润 = 单件利润 × 销售量 销量变化规律：售价每涨 / 降m元，销量对应减 / 增n件 【典例】某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元． (1)根据题意，填表： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 ___________ 涨价后 ___________ ___________ / (2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？ 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 2100 涨价后 / 【跟踪专练1】某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【跟踪专练2】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加_______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 题型6.一元二次方程应用之动态几何问题 核心公式与等量关系必记 动态问题仍基于基础几何公式，重点关注“变化量的表示”，核心关系如下： 运动基础：路程 = 速度 × 时间（设运动速度为v，时间为t，则移动距离为vt，用于表示边长变化）。 面积公式：同静态图形（矩形=长×宽、三角形=底×高÷2、梯形=（上底+下底）×高÷2），仅边长/高用含未知数的代数式表示。 关键等量：① 面积等量（某时刻面积等于定值）；② 边长等量（移动后线段相等、垂直或平行对应的长度关系）；③ 重叠/剩余面积等量（动态过程中重叠部分或剩余部分面积给定）。 【典例】如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【跟踪专练2】如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 题型7.一元二次方程应用之工程问题 基础核心公式 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 工程问题中，通常将总工作量设为1由此推导： 单人 / 单队工作效率 = 工作效率 = 核心等量关系（结合一元二次方程应用场景） 1. 效率提升 / 下降类（高频考点，列一元二次方程） 若原工作效率为a，平均每次效率提升率为x，则 1 次提升后效率：a(1+x) 2 次连续提升后效率：a(1+x)2 等量关系：次提升后的效率对应时间总工作量（或指定工作量） 同理，效率下降率为x时，2 次连续下降后效率：a(1−x)2 2. 多人 / 多队合作类 总工作效率 = 各队 / 各人工作效率之和 等量关系 1：总效率×合作时间=1（完成全部工作） 等量关系 2：甲工作量+乙工作量=1（甲、乙分阶段完成工作） 3. 分阶段完成工作类 等量关系：第一阶段工作量+第二阶段工作量=总工作量（1） 【典例】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【跟踪专练1】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【跟踪专练2】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 题型8.一元二次方程应用之行程问题 基础核心公式 1.路程 = 速度 × 时间（s=vt） 2.变形公式：速度 v=​；时间 t= 3.行程问题中，总路程、固定路段长度是列方程的关键依据 【典例】是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【跟踪专练1】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【跟踪专练2】一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 题型9.一元二次方程应用之其他应用问题 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度，稀释/混合后溶质总量不变，核心为“溶质守恒”。 配套问题：按比例配套（如1个部件配2个零件），总量需满足配套比例，避免过剩。 【典例】某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，全班共互赠了182张，那么兴趣班有多少位学生？ 【跟踪专练1】高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 【跟踪专练2】某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘． 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 年平均亩产量达到． (1)若 年到年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率． (2) 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积亩，每亩种植成本为万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变． 题型10.一元二次方程应用之握手.循环赛问题 核心公式 设参与的人数（或球队数）为n 握手总次数 = ​ 原理：每个人要和其余n−1人握手，总共n(n−1)次，但每两人的握手会被重复计算一次，因此除以 2。 单循环赛总场数 = 原理：和握手问题一致，每两队只赛一场，无重复对阵。 核心等量关系 总握手次数/总比赛场数 【典例】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【跟踪专练1】八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【跟踪专练2】象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 一.单选题 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 2．股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ）． A． B． C． D． 3．如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 4．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 5．某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二.填空题 6．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 7．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为 ． 9．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 三.解答题 10．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 11．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 12．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再用40米长的篱笆围三面，形成一个矩形花园（院墙长25米）． (1)设米，则 米； (2)若矩形花园的面积为150平方米，求篱笆的长． 13．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 14．如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 15．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 16．某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． (1)若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ (2)原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $